Đối với bài toán tìm số hạng độc lập với x trong khai triển nhị thức a + bn a, b chứa x, ta làm như sau : - Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là :... Đối với bài toán tìm số hạ[r]
(1)ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chöông V NHỊ THỨC NEWTON (phần 1) Nhị thức Newton có dạng : (a + b)n = C0n anb0 + C1n an-1b1 + … + Cnn a0bn n = ∑ Cnk an − k b k (n = 0, 1, 2, …) k =0 Các hệ số C nk các lũy thừa (a + b)n với n là 0, 1, 2, 3, … thành hàng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal : (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 1 + 10 10 Caùc tính chaát cuûa tam giaùc Pascal : (i) C0n = Cnn = : các số hạng đầu và cuối hàng là (ii) Cnk = Cnn − k (0 ≤ k ≤ n) : các số hạng cách số hạng đầu và cuối (iii) Cnk + Cnk +1 = Cnk ++11 (0 ≤ k ≤ n – 1) : tổng số hạng liên tiếp hàng trên số hạng số hạng đó hàng (iv) C0n + C1n + … + C nn = (1 + 1)n = 2n Các tính chất nhị thức Newton : (i) Số các số hạng khai triển nhị thức (a + b)n là n + (ii) Tổng số mũ a và b số hạng khai triển nhị thức (a + b)n là n (iii) Số hạng thứ k + là C nk an – k bk Lop12.net (2) Daïng 1: TRỰC TIẾP KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Khai triển (ax + b)n với a, b = ± 1, ± 2, ± … Cho x giá trị thích hợp ta chứng minh đẳng thức C0n , C1n , …, Cnn Hai kết thường dùng (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + … + Cnn xn = n ∑C x k =0 (1 – x)n = C0n – C1n x + C2n x2 + … + (–1)n Cnn xn = k n (1) k n ∑ (−1) k =0 k Cnk x k (2) • Ví dụ : Chứng minh a) C 0n + C1n + … + Cnn = 2n b) C 0n – C1n + C2n + … + (–1)n C nn = Giaûi a) Viết lại đẳng thức (1) chọn x = ta điều phải chứng minh b) Viết lại đẳng thức (2) chọn x = ta điều phải chứng minh Tìm số hạng đứng trước xi (i đã cho) khai triển nhị thức Newton biểu thức cho sẵn • Ví dụ : Giả sử số hạng thứ k + (a + b)n là Cnk an – k bk Tính số hạng thứ 13 khai trieån (3 – x)15 Giaûi Ta coù : 15 k 315 – C115 314x + … + C15 315 – k (–x)k + … + – C15 (3 – x)15 = C15 15 x Do k = ứng với số hạng thứ nên k = 12 ứng với số hạng thứ 13 Vậy số hạng thứ 13 khai triển trên là : 12 C12 = 27x12 15 (–x) 15! = 12.285x12 12!3! Đối với bài toán tìm số hạng độc lập với x khai triển nhị thức (a + b)n (a, b chứa x), ta làm sau : - Số hạng tổng quát khai triển nhị thức là : Cnk an – k bk =cm xm Lop12.net (3) - Số hạng độc lập với x có tính chất : m = và ≤ k ≤ n, k ∈ N Giải phương trình này ta k = k0 Suy ra, số hạng độc lập với x là Cnk an − k b k 18 ⎛x 4⎞ Ví dụ : Tìm số hạng độc lập với x khai triển nhị thức ⎜ + ⎟ ⎝2 x⎠ • Giaûi Số hạng tổng quát khai triển nhị thức là : 18 − k ⎛x⎞ C ⎜ ⎟ ⎝2⎠ k 18 k ⎛4⎞ k k 3k −18 18 − 2k ⎜ ⎟ = C18 2k −18.22k.x18− k x − k = C18 x ⎝x⎠ Số hạng độc lập với x khai triển nhị thức có tính chất : 18 – 2k = k=9 ⇔ Vaäy, soá haïng caàn tìm laø : C18 29 Đối với bài toán tìm số hạng hữu tỉ khai triển nhị thức (a + b)n với a, b chứa căn, ta làm sau : – Số hạng tổng quát khai triển nhị thức là : k n Ca – n −k m p n q b = K c d với c, d ∈ ¤ Số hạng hữu tỷ có tính chất : k m n ∈ N vaø ∈ N vaø ≤ k ≤ n, k ∈ N p q Giải hệ trên, ta tìm k = k0 Suy số hạng cần tìm là : Ckn0 a n − k0 b k0 • Ví dụ : Tìm số hạng hữu tỷ khai triển nhị thức Giaûi Số hạng tổng quát khai triển nhị thức là : ⎛ 13 ⎞ C ⎜16 ⎟ ⎝ ⎠ k 7−k k 7−k k ⎛ 12 ⎞ k ⎜ ⎟ = C7 16 3 ⎝ ⎠ Số hạng hữu tỷ khai triển có tính chất : Lop12.net ( 16 + ) (4) ⎧7 − k ⎪ ∈N ⎪ ⎪k ⎨ ∈N ⎪2 ⎪0 ≤ k ≤ 7, k ∈ N ⎪ ⎩ ⎧7 − k = 3m ⎪ ⇔ ⎨ k chaün ⎪0 ≤ k ≤ ⎩ ⎧ k = − 3m (m ∈ Z) ⎪ ⇔ ⎨ k chaün ⇔ k=4 ⎪0 ≤ k ≤ ⎩ Vaäy, soá haïng caàn tìm laø : C17 16.32 Baøi 120 Khai trieån (3x – 1)16 Suy 16 316 C16 – 315 C116 + 314 C16 – … + C16 16 = Đại học Bách khoa Hà Nội 1998 Giaûi Ta coù : (3x – 1)16 = 16 ∑ (3x) i =0 16 − i i (−1)i C16 = C16 (3x)16 – C116 (3x)15 + C16 (3x)14 + … + C16 16 Chọn x = ta : 316 – C116 315 + C16 314 – … + C16 216 = C16 16 Bài 121 Chứng minh : a) 2n C0n + 2n −1 C1n + 2n − C n2 + + Cnn = 3n b) 3n C0n − 3n −1 C1n + 3n − C2n + + (−1) n Cnn = 2n Giaûi a) Ta coù : (x + 1)n = C0n x n + C1n x n −1 + + Cnn Chọn x = ta : 3n = C0n 2n + C1n 2n −1 + + Cnn b) Ta coù : (x – 1)n = C0n x n − C1n x n −1 + + (−1) n Cnn Chọn x = ta : 2n = 3n C0n − 3n −1 C1n + 3n − Cn2 + + (−1) n Cnn Bài 122 Chứng minh : n −1 ∑ Ckn = 2(2n −1 − 1) ; k =1 Lop12.net n ∑C k =0 k n (−1) k = (5) Đại học Lâm nghiệp 2000 Giaûi n Ta coù : (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x + + Cnn x n = ∑ Cnk x k (*) k =0 Chọn x = ta 2n = n ∑C k =0 k n =C0n + C1n + Cn2 + + Cnn −1 + Cnn ⇔ 2n = + C1n + Cn2 + + Cnn −1 + ⇔ 2n – = n −1 ∑C k =1 k n Trong biểu thức (*) chọn x = – ta = n ∑C k =0 k n (−1) k 2n Bài 123 Chứng minh : C02n + C 22n 32 + C42n 34 + + C2n = 22n −1 (22n + 1) 2n Đại học Hàng hải 2000 Giaûi −1 2n −1 2n 2n Ta coù : (1 + x)2n = C02n + C12n x + C22n x + + C 2n + C2n x 2n x −1 2n −1 2n 2n (1 – x)2n = C02n − C12n x + C22n x + − C2n + C2n x 2n x (1) (2) Lấy (1) + (2) ta : 2n ⎤ x + + C2n (1 + x)2n + (1 – x)2n = ⎡⎣C02n + C2n 2n x ⎦ Chọn x = ta : 2n ⎤ 32 + + C2n 42n + (–2)2n = ⎡⎣C02n + C2n 2n ⎦ ⇔ 24n + 22n 2n = C02n + C22n 32 + + C2n 2n ⇔ 22n (22n + 1) 2n = C02n + C22n 32 + + C2n 2n ⇔ 2n 2n 22n −1 (22n + 1) = C02n + C22n 32 + + C2n Bài 124 Tìm hệ số đứng trước x5 khai triển biểu thức sau đây thành đa thức : f(x) = (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7 Lop12.net (6) Đại học Kiến trúc Hà Nội 1998 Giaûi Ta coù : (2x + 1)4 = ∑ Ci4 (2x)4−i ; (2x + 1)5 = i =0 (2x + 1)6 = ∑ C (2x) i i =0 ∑ Ci6 (2x)6−i ; (2x + 1)7 = i =0 Vaäy 5−i ∑ C (2x) i =0 i 7 −i số hạng chứa x5 (2x + 1)4 là số hạng chứa x5 (2x + 1)5 là C50 (2x)5 số hạng chứa x5 (2x + 1)6 là C16 (2x)5 số hạng chứa x5 (2x + 1)7 là C72 (2x)5 Do đó hệ số cần tìm là = + C50 25 + C16 25 + C72 25 = (1 + C16 + C72 )25 = 28 × 32 = 896 n ⎛ ⎞ Bài 125 Tìm số hạng chứa x khai triển ⎜ + x ⎟ biết ⎝x ⎠ Cnn ++14 − Cnn +3 = 7(n + 3) Tuyển sinh Đại học khối A 2003 Giaûi Ta coù : Cnn ++14 − Cnn +3 = 7(n + 3) ⇔ (n + 4)! (n + 3)! = 7(n + 3) − 3!( n + 1) ! 3!n! ⇔ (n + 4)(n + 3)(n + 2) (n + 3)(n + 2)(n + 1) = 7(n + 3) − 6 ⇔ (n + 4)(n + 2) – (n + 2)(n + 1) = 42 ⇔ (n2 + 6n + 8) – (n2 + 3n + 2) = 42 ⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12 12 Ta coù : (với n ∈ N) 11 12 12 −36 + i ⎛ ⎞ i i −3 12 − i i + = = x C (x ) (x ) C x ∑ ∑ 12 12 ⎜ ⎟ ⎝x ⎠ i=0 i =0 Lop12.net (7) Yêu cầu bài toán 11 i =8 ⇔ –36 + ⇔ 11i = 44 (với i ∈ N và ≤ i ≤ 12) i = (thoûa ñieàu kieän) ⇔ Vậy số hạng chứa x8 là 8 C12 x = 12!x 12 × 11×10 × x = 495x8 = 8!4! × 3× Baøi 126 Bieát raèng toång caùc heä soá cuûa khai trieån (x2 + 1)n baèng 1024 Haõy tìm heä soá a số hạng ax12 khai triển đó Đại học Sư phạm Hà Nội 2000 Giaûi Ta coù : (x2 + 1)n = C0n (x ) n + C1n (x ) n −1 + + Cin (x ) n −i + + C nn Theo giả thiết bài toán, ta C0n + C1n + + Cin + + Cnn = 1024 ⇔ 2n = 1024 = 210 ⇔ n = 10 Để tìm hệ số a đứng trước x12 ta phải có 2(n – i) = 12 Vaäy = a = C10 ⇔ 10 – i = ⇔ i=4 10! 10 × × × = = 210 4!6! × 3× Bài 127 Tìm hệ số đứng trước x4 khai triển (1 + x + 3x2)10 Giaûi Ta coù : (1 + x + 3x2)10 = [1 + x(1 + 3x)]10 2 3 = C10 + C10 x(1 + 3x) + C10 x (1 + 3x)2 + C10 x (1 + 3x)3 + 4 10 C10 x (1 + 3x) + + C10 10 (1 + 3x) 2 3 x (1 + 3x) , C10 x (1 + 3x)3 , Hệ số đứng trước x4 khai triển có C10 4 C10 x (1 + 3x) đó là : C10 + C10 + C10 = 10! 10! 10! +9 + 8!2! 3!7! 6!4! Lop12.net (8) = 405 + 1080 + 210 = 1695 Baøi 128 Tìm heä soá cuûa x8 khai trieån [1 + x2(1 – x)]8 Tuyển sinh Đại học khối A 2004 Giaûi Ta coù : [1 + x2(1 – x)]8 = C80 + C18 x (1 − x) + C82 x (1 − x) + + C83 x (1 − x)3 + C84 x (1 − x) + C85 x10 (1 − x)5 + C86 x12 (1 − x)6 + + C87 x14 (1 − x)7 + C88 x16 (1 − x)8 Số hạng chứa x8 khai triển trên có C83 x (1 − x)3 và C84 x (1 − x) đó là C83 x 3x và C84 x Vaäy heä soá cuûa x8 laø : 3C83 + C84 = 238 x − ⎞ ⎛ x2−1 Baøi 129 Cho ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ n n x −1 ⎛ x2−1 ⎞ ⎞ ⎛ = C ⎜ ⎟ + Cn ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n −1 n +…+ C n −1 n ⎛ x2−1 ⎞ ⎛ − x3 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ − x3 ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ n −1 n ⎛ −x ⎞ +C ⎜2 ⎟ ⎝ ⎠ n n Biết C3n = 5C1n và số hạng thứ tư 20n Tìm n và x Tuyển sinh Đại học khối A 2002 Giaûi Ta coù : (ñieàu kieän n ∈ N vaø n ≥ 3) C3n = 5C1n ⇔ n! n! =5 3!( n − 3) ! ( n − 1)! ⇔ n(n − 1)(n − 2) = 5n ⇔ (n – 1)(n – 2) = 30 ⇔ n2 – 3n – 28 = ⇔ n = ∨ n = –4 (loại n ≥ 3) ⇔ n=7 ⇔ 7! x − 2 = 140 3!4! ⇔ x = a4 = 20n = 140 Ta coù : ⇔ ⎛ x −1 ⎞ C ⎜2 ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ 2x – = 22 ⎛ −x ⎞ ⎜ ⎟ = 140 ⎝ ⎠ ⇔ x–2=2 Lop12.net (9) 12 1⎞ ⎛ Bài 130 Tìm số hạng không chứa x khai triển ⎜ x + ⎟ x⎠ ⎝ Đại học Kinh tế Quốc dân 1997 Giaûi Ta coù : 12 i 1⎞ ⎛ 12 11 ⎛ ⎞ i 12 − i ⎛ ⎞ 12 ⎜ x + ⎟ = C12 x + C12 x ⎜ ⎟ + + C12 x ⎜ ⎟ + + C12 12 x x⎠ ⎝ ⎝x⎠ ⎝x⎠ Để số hạng không chứa x ta phải có i x 12 −i ⎛1⎞ ⎜ ⎟ =x ⇔ x ⎝ ⎠ x12 – 2i = x0 = Vaäy soá haïng caàn tìm laø : C12 ⇔ 12 – 2i = ⇔ i=6 12! 12 ×11×10 × × × = = 924 6!6! × 5× × 3× ⎞ ⎛ Bài 131 Tìm số hạng không chứa x (với x > 0) khai triển ⎜ x + ⎟ x⎠ ⎝ Tuyển sinh Đại học khối D 2004 Giaûi Ta coù : ⎞ ⎛3 − ⎞ ⎛ 13 x + ⎜ ⎟ = ⎜x + x ⎟ x⎠ ⎝ ⎝ ⎠ − −i − i − = C (x ) + C (x ) (x ) + + C (x ) (x ) + + C (x ) 7 i 7 Để tìm số hạng không chứa x ta phải có 1 (7 − i) − i = ⇔ 4(7 – i ) – 3i = ⇔ i=4 Vậy số hạng không chứa x là C 74 = 28 − ⎛ ⎞ Baøi 132 Trong khai trieån ⎜ x x + x 15 ⎟ ⎝ ⎠ raèng ⇔ 28 – 7i = 7! × × = = 35 4!3! 3× n haõy tìm soá haïng khoâng phuï thuoäc x bieát C nn + C nn −1 + C nn − = 79 Lop12.net (10) Đại học sư phạm Hà Nội năm 2000 Giaûi Ta coù : C nn + C nn −1 + C nn − = 79 ⇔ + ⇔ n + n – 156 = n! n! + = 79 ( n − 1)! 2!( n − )! n ( n − 1) = 78 ⇔ n + ⇔ n = –13 ∨ n = 12 Do n ∈ N neân n = 12 12 12 28 28 − − ⎛ ⎞ ⎛ 43 ⎞ 15 15 Ta coù : ⎜ x x + x ⎟ = ⎜x + x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 12 −i ⎛ 43 ⎞ = ∑C ⎜ x ⎟ i =0 ⎝ ⎠ 12 i 12 Yêu cầu bài toán ⇔ 16 – Vaäy soá haïng caàn tìm C12 = .x − 28 i 15 12 = ∑C x i 12 i =0 16 i=0 16 − 16 i ⇔ i=5 12! = 792 5!7! Bài 133 Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ: ( 3−4 ) 124 Giaûi Ta coù : ( 3− ) 124 124 ⎛ 12 ⎞ = ⎜ − 54 ⎟ ⎝ ⎠ = ∑ (−1) ∑C = k 124 62 − C k =0 Số hạng thứ k là hữu tỉ Lop12.net k 124 k =0 124 k 124 k .5 k 124 − k ⎛ 12 ⎞ ⎜3 ⎟ ⎝ ⎠ k .(−5 ) (11) k ⎧ ⎪62 − ∈ N ⎪ ⎪k ∈N ⇔ ⎨ ⎪4 ⎪k ∈ N ⎪0 ≤ k ≤ 124 ⎩ ⎧i ∈ N ⎪ ⎨0 ≤ k ≤ 124 ⇔ ⎪ k = 4i ⎩ ⎧0 ≤ k ≤ 124 ⎪ ⇔ ⎨k ⎪⎩ ∈ N ⎧i ∈ N ⎪ ⎨0 ≤ i ≤ 31 ⎪ k = 4i ⎩ i ∈ {0,1, ,31} ⇔ Do đó khai triển trên có 32 số hạng hữu tỉ Baøi 134 ∗ Goïi a là hệ số x3n-3 khai triển thành đa thức 3n -3 (x2 + 1) n (x + 2)n Tìm n để a3n-3 = 26n Tuyển sinh Đại học khối D 2003 Giaûi n n Ta coù : ( x + ) (x + 2) n = ∑C i =0 n = Do yêu cầu bài toán nên ⇒ i n n −i (x ) n ∑ ∑C C i =0 k =0 i n k n n ∑C x k =0 k n n −k .2 k 2k.x 3n − 2i − k 3n – = 3n – (2i + k) 2i + k = ⎧i = ⎨ ⎩k = Do i, k ∈ N vaø i, k ∈ [0, n] neân Vaäy a3n – = C0n C3n 23 + C1n C1n 21 = 26n ⇔ ⇔ n(n – 1)(n – 2) + 2n2 = 26n ⇔ 2(n – 1)(n – 2) + 3n = 39 ⇔ n=5 ∨ n= − hay ⎧i = ⎨ ⎩k = n! + 2n2 = 26n 3! ( n − )! (loại n ∈ N) Lop12.net ⇔ 2n2 – 3n – 35 = ⇔ n = (12) 10 ⎛1 ⎞ Baøi 135* Trong khai trieån ⎜ + x ⎟ ⎝3 ⎠ a0 + a1x + … + a9x9 + a10x10 (ak ∈ R) Hãy tìm số hạng ak lớn Đại học Sư phạm Hà Nội 2001 Giaûi 10 1 ⎛1 ⎞ Ta coù : ⎜ + x ⎟ = 10 (1 + 2x)10 = 10 3 ⎝3 ⎠ Do đó : ak = 10 ∑C k =0 k 10 (2x)k k k C10 310 Ta có : ak đạt max ⇒ ⎧ak ≥ ak −1 ⎨ ⎩ak ≥ ak +1 ⇔ k k −1 k −1 ⎧⎪C10 k ≥ C10 ⎨ k k k +1 k +1 ⎪⎩C10 ≥ C10 ⎧ k10! k −1.10! ≥ ⎪ k! 10 − k ! (k − 1)! 11 − k ! ) ( ) ⎪ ( ⇔ ⎨ k k +1 10! ⎪ 10! ≥ ⎪ k! (10 − k )! (k + 1)! ( − k )! ⎩ ⎧2 ⎪⎪ k ≥ 11 − k ⇔ ⇔ ⎨ ⎪ ≥ ⎩⎪10 − k k + 19 22 ≤k≤ 3 Do k ∈ N vaø k ∈ [0, 10] neân k = 7.Hieån nhieân ak taêng k ∈ [0, 7], vaø ak giaûm k ∈ [7, 10] 27 Vaäy max ak = a7 = 10 C10 (coøn tieáp) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và luyện thi đại học Vĩnh Viễn) Lop12.net (13)