Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kích thước khác nhau đôi một bao nhiêu cách sắp các bi này thành 1 hàng dài sao cho hai bi cùng màu không được nằm kề nhau.. Sau đó lấy 5 bi traéng boû vaøo 5[r]
(1)ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chöông II HOÁN VỊ Giai thừa Với số nguyên dương n, ta định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n!, là tích các số nguyên liên tiếp từ đến n n! = 1.2.3…(n – 2) (n – 1)n Vì tiện lợi, người ta qui ước : 0! = Từ định nghĩa, ta có : n(n – 1) … (n – r + 1) = n! (n − r)! vaø (n – 1)!n = n! Ví duï : a) 5! = 1.2.3.4.5 = 120; b) 9! = 9.8.7.6 = 3024; 5! c) 3!4 = 4! = 1.2.3.4 = 24; d) (n + 2)! = (n + 2)(n + 1)n(n – 1)(n – 2) (n − 3)! Hoán vị Có n vật khác nhau, vào n chỗ khác Mỗi cách gọi là hoán vị n phần tử Theo qui tắc nhân, chỗ thứ có n cách (do có n vật), chỗ thứ nhì có n – cách (do còn n – vật), chỗ thứ ba có n – cách (do còn n – vật), …, chỗ thứ n có cách (do còn vật) Vậy, số hoán vị n phần tử, kí hiệu Pn, là : Pn = n(n – 1)(n – 2)… × = n! Ví dụ Từ chữ số 1, 2, có thể tạo bao nhiêu số gồm chữ số khác ? Giaûi Lop12.net (2) Mỗi số gồm chữ số khác tạo từ 1, 2, là hoán vị phần tử Vaäy coù : P3 = 3! = soá (các số đó là : 123, 132, 213, 231, 312, 321) Ví dụ Trong lớp học, thầy giáo phát phiếu thăm dò yêu cầu học sinh ghi thứ tự môn Toán, Lý, Hóa học theo mức độ yêu thích giảm dần Hỏi có bao nhieâu caùch ghi khaùc ? Giaûi Đây là hoán vị phần tử Vậy có: P3 = 3! = cách, đó có cách ghi là: (T,L,H), (T,H,L), (L,T,H), (L,H,T), (H,T,L), (H,L,T) Ví dụ Có sách toán khác nhau, sách lý khác và sách hóa khác Cần xếp các sách thành hàng cho các sách cùng môn đứng keá Hoûi coù bao nhieâu caùch saép ? Giaûi Trước tiên, ta theo môn thì có P3 = 3! = cách Tiếp đến, các sách môn đổi chỗ cho nhau, toán có P2 = 2! = cách, lý có P3 = 3! = caùch, hoùa coù P4 = 4! = 24 caùch Vaäy, theo qui taéc nhaân, coù : × × × 24 = 1728 caùch Baøi 18 Giaûi phöông trình : x !− (x − 1) ! = (x + 1)! với x ∈ ¥ * Giaûi x !− (x − 1) ! = (x + 1)! ⇔ 6[x! – (x – 1)!] = (x + 1)! ⇔ 6[x(x – 1)! – (x – 1)!] = (x + 1)! ⇔ 6(x – 1)!(x – 1) = (x + 1)x(x – 1)! ⇔ 6(x – 1) = x(x + 1) ⇔ ⎡x = x2 – 5x + = ⇔ ⎢ ⎣x = Nhaän x ∈ ¥ * Baøi 19 Giaûi baát phöông trình : Pn + 15 < Pn −1 Pn Pn + Ñieàu kieän n > 1, n ∈ ¥ Lop12.net (*) (3) Ta coù : (*) ⇔ (n + 4) ! 15 < n !(n + 2)! (n − 1)! ⇔ (n + 4)(n + 3)(n + 2)! 15 < n(n − 1) !(n + 2)! (n − 1)! ⇔ (n + 4)(n + 3) < 15 n ⇔ n2 + 7n + 12 < 15n ⇔ n2 – 8n + 12 < ⇔ Do ñieàu kieän neân n ∈ {3, 4, 5} Bài 20 Gọi Pn là số hoán vị n phần tử Chứng minh : a) Pn – Pn-1 = (n – 1)Pn-1 b) + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n – 1)Pn-1 = Pn Giaûi a) Pn – Pn-1 = n! – (n – 1)! Ta coù = n(n – 1)! – (n – 1)! = (n – 1)(n – 1)! = (n – 1)Pn-1 b) Từ kết trên, ta có : ⎧P2 ⎪P ⎪ ⎪⎪P +⎨ ⎪: ⎪: ⎪ ⎪⎩Pn − P1 = (2 − 1)P1 − P2 = (3 − 1)P2 − P3 = (4 − 1)P3 : : : : : : − Pn −1 = (n − 1)Pn −1 Pn – P1 = P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n – 1)Pn-1 Vaäy : ⇔ Pn = + P1 + 2P2 + … + (n – 1)Pn-1 n ⎛ n + 1⎞ Bài 21 Chứng minh với n ∈ ¥ : n! ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Giaûi Theo bất đẳng thức Cauchy Lop12.net 2<n<6 (4) + + + … + n ≥ n n × × × n maø 1, 2, …, n taïo moät caáp soá coäng neân 1+2+3+…+n= n(n + 1) n(n + 1) Do đó : ≥ n n n! n +1 ≥ ⇔ n n! ⇔ n ⎛ n + 1⎞ ⎜ ⎟ ≥ n! ⎝ ⎠ Bài 22 Một tạp chí thể thao định cho 22 kì báo chuyên đề 22 đội bóng, kì đội Hỏi có bao nhiêu cách cho : a) Kì báo đầu tiên nói đội bóng A ? b) Hai kì báo liên tiếp nói hai đội bóng A và B ? Giaûi a) Còn lại 21 kì báo cho 21 đội bóng Đây là hoán vị 21 phần tử Vaäy coù : 21! caùch b) Xem hai đội A và B là phần tử Ta có hoán vị 21 phần tử, có 21! cách Ngoài ra, cách trên, có thể đổi thứ tự A và B, có cách Vaäy, coù : × 21! caùch Bài 23 Tên 12 tháng năm liệt kê theo thứ tự tuỳ ý cho tháng và tháng không đứng kế Hỏi có cách ? Giaûi Tên 12 tháng năm liệt kê tùy ý, có : 12! cách Nếu tháng và tháng đứng kế nhau, ta xem tháng và tháng là phần tử, ta có hoán vị 11 phần tử, có 11! cách Ngoài ra, cách này, thứ tự tháng và tháng có thể đổi cho nhau, nên có : × 11! cách Vậy số cách để hai tháng và tháng không đứng kế là : 12! – 2.11! = 10.11! caùch Bài 24 Người ta cần soạn đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành chủ đề, chủ đề gồm 10 câu Cần thứ tự 50 câu hỏi cho các câu cùng chủ đề đứng gần nhau, chủ đề đứng đầu và chủ đề 2, không đứng kế Hoûi coù bao nhieâu caùch saép ? Giaûi Lop12.net (5) Chủ đề 2, đứng tùy ý : Trước tiên, theo chủ đề, đây là hoán vị bốn chủ đề 2, 3, 4, 5, có 4! cách Tiếp đến, các câu chủ đề, chủ đề có 10! cách Vaäy coù : 4!5.10! caùch = 120.10! caùch Chủ đề 2, đứng kế : xem chủ đề và là phần tử, ta có hoán vị phần tử (2, 3), 4, hay (3, 2), 4, 5, có : 2.3! cách Tiếp đến, các câu chủ đề, có : 5.10! cách Nên có : 60.10! cách Vaäy soá caùch saép theo yeâu caàu laø : 120.10! – 60.10! = 60.10! = 217728000 caùch Bài 25 Một công ty cần thực điều tra thăm dò thị hiếu người tiêu dùng veà saûn phaåm cuûa mình Coâng ty ñöa 10 tính chaát cuûa saûn phaåm vaø yeâu caàu khách hàng thứ tự theo mức độ quan trọng giảm dần Giả sử tính chất và tính chất 10 đã xếp hạng Hoûi coù maáy caùch xeáp ? Giaûi Còn lại tính chất cần xếp hạng Đây là hoán vị phần tử Vaäy, coù : 8! = 40320 caùch Bài 26 Có bi đỏ và bi trắng có kích thước khác đôi bao nhiêu cách các bi này thành hàng dài cho hai bi cùng màu không nằm kề Giaûi Xét hộc đựng bi có 10 ô trống, ô đánh số theo thứ tự từ đến 10 • Lấy bi đỏ bỏ vào vị trí ô mang số chẵn 2, 4, 6, 8, 10 ta có 5! cách Sau đó lấy bi traéng boû vaøo oâ coøn laïi ta cuõng coù 5! caùch Vậy trường hợp này ta có 5! × 5! cách • Lập luận tương tự lấy bi đỏ bỏ vào các ô mang số lẻ; lấy bi trắng bỏ vào ô soá chaün ta cuõng coù 5! × 5! caùch • Do đó số cách thỏa yêu cầu bài toán là : 2(5!)2 = 2(120)2 = 28 800 caùch Baøi 27 Coù bao nhieâu caùch xeáp hoïc sinh A, B, C, D, E vaøo gheá daøi cho : a) C ngồi chính b) A, E ngồi hai đầu ghế Đại học Hàng hải 1999 Lop12.net (6) Giaûi a) Soá caùch xeáp hoïc sinh A, B, D, E vaøo gheá laø : 4! = 24 b) Số cách xếp A, E ngồi hai đầu ghế là : 2! Soá caùch xeáp hoïc sinh coøn laïi : 3! Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán : 2! × 3! = × = 12 Bài 28 Trong phòng có bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi a) Caùc hoïc sinh ngoài tuøy yù b) Các học sinh nam ngồi bàn, học sinh nữ ngồi bàn Đại học Cần Thơ 1999 Giaûi a) Soá caùch xeáp 10 hoïc sinh ngoài tuøy yù laø : 10! = 3628800 b) Soá caùch xeáp nam sinh ngoài baøn : 5! Số cách nữ sinh ngồi bàn : 5! Soá caùch xeáp baøn : 2! Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán : 2! × 5! × 5! = 28800 Bài 29 Một học sinh có 12 sách đôi khác đó có sách Văn, sách Toán, sách Anh văn Hỏi có bao nhiêu cách các sách lên kệ daøi neáu caùc cuoán cuøng moân saép keà Đại học Quốc gia TP HCM khối D 1999 Giaûi Soá caùch saép saùch Vaên keà : 4! Số cách sách Toán kề : 2! Soá caùch saép saùch Anh keà : 6! Số cách loại sách Văn, Toán, Anh lên kệ : 3! Số cách thỏa yêu cầu bài toán : 4! × 2! × 6! × 3! = 207360 Bài 30 Từ X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} thiết lập các số có chữ số khác Hỏi các số lập có bao nhiêu số mà hai chữ số và không đứng cạnh Đại học Ngoại thương khối A 2001 Lop12.net (7) Giaûi Goïi n = a1 a Số các số có chữ số lập từ X : 6! Đặt a = 16 Số các số tạo nên hoán vị a và 2, 3, 4, là 5! Đặt b = 61 Số các số tạo nên hoán vị b và 2, 3, 4, là 5! Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán : 6! – × 5! = 480 Bài 31 Xét các số gồm chữ số đó có số và chữ số còn lại là 2, 3, 4, Hỏi coù bao nhieâu soá maø a) Năm chữ số kề b) Các chữ số xếp tùy ý Hoïc vieän Ngaân haøng khoái D 1999 Giaûi a) Ñaët a = 11111 Để số a và 2, 3, 4, có 5! = 120 cách b) Số các số có chữ số lấy từ số trên : 9! Do chữ số nên số lần trùng lặp lại là 5! Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán : 9! × × × × 5! = = 3024 5! 5! Bài 32 Có bao nhiêu số gồm chữ số đôi khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, cho hai chữ số chẵn không nằm liền Cao đẳng Kinh tế Đối ngoại 2000 Giaûi Số các số có chữ số khác lập từ chữ số trên là P7 = 7! Trong các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, có hai chữ số chẵn là và Goïi a = 24 Số hoán vị a và 1, 3, 5, 7, là 6! Goïi b = 42 Số hoán vị b và 1, 3, 5, 7, là 6! Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán : 7! – 2(6!) = 3600 số Lop12.net (8) Bài 33 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số lớn và đôi khác Tính toång caùc soá treân Đại học Huế khối D 1997 Giaûi Goïi n = a1a 2a 3a a vaø X = {5, 6, 7, 8, 9} Số các số n chọn từ X là 5! = 120 Xét các chữ số hàng đơn vị Do số lần xuất loại chữ số nên chữ số xuất = 24 laàn 120 Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là : 24(5 + + + + 9) = 24 × 35 = 840 Tương tự, tổng các chữ số hàng chục là 840 × 10 tổng các chữ số hàng trăm là 840 × 102 tổng các chữ số hàng nghìn là 840 × 103 tổng các chữ số hàng vạn là 840 × 104 Do đó S = 840 + 840 × 10 + 840 × 102 + 840 × 103 + 840 × 104 S = 840 (1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) S = 840 (11111) = 9333240 Chú ý : Ta có thể tính S qua công thức tổng n số hạng cấp số cộng S= = (nmax + nmin) × 120 (98 765 + 56 789) × 120 = 9333240 Bài 34 Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, có thể lập bao nhiêu số có chữ số đó chữ số có mặt đúng lần còn các chữ số khác có mặt đúng lần Đại học An ninh khối D 2001 Giaûi Caùch : Goïi n = a1a a Lop12.net (9) Số các số n bất kì (a1 có thể là 0) mà có mặt đúng lần và các chữ số khác 7! đúng lần : 3! Số các số n mà a1 = 0; có mặt đúng lần và các chữ số 1, 2, 3, có mặt đúng 6! laàn : 3! Số các số thỏa yêu cầu bài toán : 7! 6! – = × × × – × × = 720 3! 3! Caùch : Xeùt hoäc coù oâ troáng Laáy soá boû vaøo hoäc coù caùch Laáy soá boû vaøo hoäc coù caùch Laáy soá boû vaøo hoäc coù caùch Laáy soá boû vaøo hoäc coù caùch Laáy soá boû vaøo hoäc coù caùch Lấy các số thỏa yêu cầu bài toán : × × × = 720 (coøn tieáp) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và luyện thi đại học Vĩnh Viễn) Lop12.net (10)