Chuyên đề 11: Đại số tổ hợp và xác suất25345

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Chuyên đề 11: ĐẠI SỐ TỔ HP VÀ XÁC SUẤT SỬ DỤNG CÔNG THỨC Pn ,Ank ,Cnk  Vấn đề 1: A PHƯƠNG PHÁP GIẢI HOÁN VỊ Số hoán vị n phần tử: Pn =n! CHỈNH HP: Số chỉnh hợp: Am n  n(n  1)(n  2) (n  m  1) Am n  n! (n  m)!  Điều kiện: n  m n, m nguyên dương TỔ HP: n(n  1)(n  2) (n  m  1) Số tổ hợp: Cm n  1.2.3 m n! Cm n  m!(n  m)! n  m  Điều kiện:  n, m nguyê n dương Ta có công thức: m m 1 2/ Cm n 1  Cn 1  Cn n m 1/ Cm n  Cn 3/ C0n  C1n  C2n   Cnn  2n Số tập hợp tập hợp n phân tử 2n B.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 Chứng minh n 1  1   k  k 1   k n   Cn 1 Cn 1  Cn (n, k số nguyên dương, k  n, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) Giải Ta có: n 1  1  n  k!(n   k)! (k  1)!(n  k)!  k  k 1   n   Cn 1 Cn 1  n  (n  1)!  k!(n  k)! (n   k)  (k  1) n2 n!  300 ThuVienDeThi.com k!(n  k)!  k n! Cn TT Luy n Thi i H c V NH VI N Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k  {1, 2…, n} cho số tập gồm k phần tử A lớn Giải Số tập k phần tử tập hợp A Cnk Từ giả thiết suy ra: C4n  20C2n  n2  5n  234   n  18 (vì n  4) Do k 1 C18 k C18  18  k 9 10 18   k < neân C118  C18   C18  C18  C18   C18 k 1 Vậy số tập gồm k phần tử A lớn k = Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Tính giá trị biểu thức M  A 4n 1  3A3n , biết : (n  1)! C2n1  2C2n2  2C2n3  C2n4  149 (n số nguyên dương, A nk số chỉnh hợp chập k n phần tử Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) Giải Điều kiện: n  Ta có C2n1  2C2n2  2C2n3  C2n4  149 (n  1)! (n  2)! (n  3)! (n  4)! 2 2   149  2!(n  1)! 2!n! 2!(n  1)! 2!(n  2)!  n2 + 4n  45 =  n = hay n = 9 (loaïi) 6! 5!  A64  3A35 2! 2!  suy M =  6! 6! Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Tìm số nguyên n lớn thỏa mãn đẳng thức: 2Pn  6A2n  Pn A2n  12 ( Pn số hoán vị n phần tử A nk số chỉnh hợp chập k n phần tử) Giải Ta có:  12 (n  , n  2) n! n!  2.n!  n!  12 (n  2)! (n  2)! n!  n!   (6  n!)  2(6  n!)   (6  n!)   2  (n  2)!  (n  2)!    n!   n!  n    n!    20  n(n  1)   n   (n  2)! 2Pn  6A2n  Pn A2n 301 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Vấn đề 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI NGUYÊN TẮC ĐẾM biến cố A B A có m cách xảy B có n cách xảy biến cố A B xảy có m  n cách Biến cố A B xảy có m + n cách  Chú ý: Nguyên tắc áp dụng cho nhiều biến cố CHÚ Ý  Nếu thay đổi vị trí mà biến cố thay đổi ta có hoán vị chỉnh hợp  Nếu thay đổi vị trí mà biến cố không đổi ta có tổ hợp XÁC SUẤT KHÔNG GIAN MẪU Không gian mẫu tập hợp tất kết xảy Biến cố A tập không gian mẫu XÁC SUẤT Nếu phần tử không gian mẫu có khả xảy ra, h số phân tử biến cố A, n số phân tử không gian mẫu Xác suất để biến cố A xảy ra: h p(A)  n CÁC CÔNG THỨC  Không gian mẫu E biến cố chắn xảy ra: p(E) =  Biến cố  biến cố xảy ra: p () =  Biến cố kéo theo A  B biến cố A xảy biến cố B xảy ra: A  B P(A)  p(B)  A  B biến cố (A xảy hay B xảy ra) p(A  B) = p(A) + p(B)  p(A  B)  A  B biến cố A B xảy  Biến cố A B đối lập không xảy Khi đó, ta có A  B = ; p(A  B) = 0; p(A  B) = p(A) + p(B)  Biến cố A đối lập A: p( A ) =  p(A)  Xác xuất có điều kiện: p(A  B) Biến cố A xảy với điều kiện biến cố B xảy ra: p(A B)  p(B) hay p(A B) = p(B).p(AB)  Biến cố A B độc lập biến cố B có xảy hay không xác suất A không đổi: p(AB)=p(A) p(A B) = p(A)p(B) 302 ThuVienDeThi.com TT Luy n Thi i H c V NH VI N B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy? Giải Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh cho C12  495 Số cách chọn học sinh mà lớp có em tính sau:  Lớp A có học sinh, lớp B, C lớp có học sinh Số cách chọn là: C25 C14 C13  120  Lớp B có học sinh, lớp C, A lớp có học sinh Số cách chọn là: C15 C24 C13  90  Lớp C có học sinh, lớp A, B lớp có học sinh Số cách chọn là: C15 C14 C32  60 Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn phải tìm 495  270 = 225 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ? Giải Có C13C12 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ Với cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ có C12 C84 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ hai Với cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ tỉnh thứ hai có C11C44 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ ba Số cách phân công niên tình nguyện tỉnh thỏa mãn yêu cầu toán là: C13 C12 C12 C84 C11.C44  207900 cách Bài 3: Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ ba loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ không 2? 303 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Giải Có trường hợp xảy 2  Trường hợp 1: dễ + 1trung bình + khó: C15 C10C5  10.500 2  Trường hợp 2: dễ + trung bình + khó: C15 C10C5  23.625 1  Trường hợp 3: dễ + trung bình + khó: C15 C10C5  22750 2 2 1 Theo qui tắc cộng ta có: C15 C10 C5 + C15 C10 C5 + C15 C10 C5 = 56875 đề Bài 4: Cho đa giác A1A2 A2n (n  2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O), biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1, A2, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1, A2, , A2n Tìm n Giải  Số tam giác thỏa mãn đề C32n  Số đường chéo qua tâm đường tròn n, đường chéo qua tâm có hình chữ nhật suy ta có C2n hình chữ nhật Theo giả thiết ta có C22n  20C2n  n2  9n    n = V n = (loại) Kết luận n = Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em chọn Giải  Số cách chọn học sinh từ 18 học sinh đội tuyển là: 18! C18   43758 cách 8!10!  Số cách chọn học sinh gồm có hai khối là: Số cách chọn học sinh khối 12 11 C13 Số cách chọn học sinh khối 11 10 C11 Số cách chọn học sinh từ khối 10 vaø 12 laø C12   8  C11  C12 = 41811 cách  Số cách chọn theo ycbt: 43758  C13 304 ThuVienDeThi.com TT Luy n Thi i H c V NH VI N NHỊ THỨC NIUTƠN  Vấn đề 3: A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHỊ THỨC NIUTÔN: n (a + b) = C0n an  C1n an1b   Cnn bn Chú ý: Số mũ a tăng dần, số mũ b giảm dần có tổng n n m Các hệ số đối xứng: Cm n  Cn Tam giaùc Pascal: n=0 1 n=1 1 3 n=2 n=3  Chú ý: Dựa vào bảng Pascal ta viết khai triển Niutơn B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Cho khai trieån (1 + 2x)n = a0 + a1x + … + anxn, n  N* hệ số a0, a a a1, …, an thỏa mãn hệ thức a0    nn  4096 Tìm số lớn số 2 a0, a1, … , an Giải n Từ khai triển: (1 + 2x) = a0 + a1x + … + anxn a a  Chọn x  ta được: 2n  a0    nn  4096  212  n  12 2  Vậy biểu thức khai triển là: (1 + 2x)12 k k k  Số hạng tổng quát C12 x (k  ,  k  12) k 1 k  hệ số tổng quát ak  2k.C12 ; ak 1  2k 1.C12 k k 1 ak < ak +  2k.C12  2k 1.C12  2k 12! 12!  2k 1 k!(12  k)! (k  1)!(12  k  1)!  k + < 24 – 2k  k  Mà k  23 Do đó: a0 < a1 < a2 < … < a8 Tương tự: ak > ak +  k > Do đó: a8 > a9 > … > a12  126720 Số lớn số a0, a1, …, a12 là: a8  28.C12 305 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 2n 1 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C12n  C32n   C2n  2048 ( Cnk số tổ hợp chập k n phân tử) Giải C12n  C32n 2n 1   C2n 2n Ta coù: 1  x   2048 (*) 2n 1 2n 1  C2n  C12n x  C22n x2  C32n x3   C2n  C2n 2n x 2n x Với x = thay vào (*) ta được: 1 2n 22n  C2n  C12n  C32n   C2n 2n  C2n (1) Với x = 1 thay vào (*) ta được: 2n 1  C2n  C12n  C2n  C32n   C2n  C2n 2n (2)   2n 1 Lấy (1) trừ (2) ta được: 22n  C12n  C32n   C2n  4096  212  n  Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Chứng minh rằng: 1 1 2n 1 22n  C2n  C32n  C52n   C2n  2n 2n  (n số nguyên dương, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) Giải Ta có: 2n 2n 2n 2n (1  x)2n  C2n x ,(1  x)2n  C2n x  C12n x   C2n  C12n x   C2n 2n1 2n 1  (1  x)2n  (1  x)2n  2(C12n x  C32n x3   C2n x )      (1  x)2n  (1  x)2n 1 2n 1 dx  (C12n x  C32n x3  C52n x5   C2n )dx 2n x  (1  x)2n  (1  x)2n (1  x)2n 1  (1  x)2n 1 dx  2(2n  1)   C2n x  C2n x 3  22n  2n  (1)  5 2n 1 2n 1  C2n x   C2n x dx 2n  x2 x4 x 2n 1 x   C12n  C32n  C2n   C2n  2n  1 2n 1  C2n  C12n  C32n  C2n 2n Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh 306 ThuVienDeThi.com   0 (2) TT Luy n Thi i H c V NH VI N Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Tìm hệ số số hạng chứa x10trong khai triển nhị thức Niutơn (2 + x)n, biết: 3n C0n  3n1 C1n  3n2 C2n  3n3 C3n   (1)n Cnn  2048 (n laø số nguyên dương, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) Giải n Ta có: C0n  3n1 C1n n 2 C2n 3   (1)n Cnn  (3  1)n  2n Từ giả thiết suy n = 11 Hệ số số hạng chứa x10 khai triển Niutơn (2 + x)11 là: C10 11  22 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức của: x(1 –2x)5 + x2(1 + 3x)10 Giải Hệ số x khai triển x(1  2x)5 (2)4 C54 Hệ số x5 khai triển x2(1 + 3x)10 33 C10 Hệ số x5 khai triển x(1  2x)5 + x2(1 + 3x)10 là: (2)4 C54  33 C10  3320 Baøi 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Niutơn cuûa n  1 n 20 7   x  biết C2n1  C2n1   C2n1   x  (n nguyên dương, Cnk số tổ hợp chập k n phân tử) Giải  Từ giả thiết suy ra: C2n 1  C12n1 n 20   C2n 1  (1) k 2n 1 k Vì C2n k,  k  2n +1 neân: 1  C2n1 n C2n 1  C2n 1   C2n 1  2n 1 C2n 1  C12n 1   C2n 1   (2) Từ khai triển nhị thức Niutơn cuûa (1  1)2n1 suy ra: 2n 1 2n 1 C2n  22n1 1  C2n 1   C2n 1  (1  1) 2n Từ (1), (2) vaø (3) suy : 10    Ta coù:   x7  x   10 20 2 (3) hay n = 10 10     x7    C10k x11k40 k 0 k 0 k C10 x4 10 k k k với k thỏa mãn: 11k  40 = 26  k = Hệ số x26 C10 Vậy hệ số số hạng chứa x26 : C10  210 307 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005 Tìm số nguyên dương n cho: 2n 2n 1 C12n1  2.2C22n1  3.22 C32n1  4.23 C2n 1   (2n  1).2 C2n1 = 2005 ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử ) Giải 2n1 Ta coù: 1  x  2  C2n 1  C2n 1x  C2n 1x 1 2n 1  C32n1x3   C2n x  2n 1x Đạo hàm hai vế ta có: 2n (2n  1) 1  x  1 2n  C12n1  2C22n1x  3C32n1x2   (2n  1)C2n x  2n1x Thay x = 2 ta coù: 2 n 2n 1 C12n1  2.2C2n 1  3.2 C2n1  4.2C2n1   (2n  1).2 C2n1  2n  Theo giả thiết ta coù 2n + = 2005  n = 1002 Bài 8: Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức 1  x2 1  x     Giaûi 1  x 1  x   C8  C8x 1  x   C82 x4 1  x 2  C38x6 1  x 3     + C88x16 1  x  Số hạng chứa x8 khai triển có C38x6 1  x  vaø C84 x8 1  x  Suy hệ số x8 3C38  C84  238 Bài 9: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn  3  x   với x > x  Giải 7  3 C7k  x4   x  k 0 k 7 k k   x C7k x 4    x k 0 7k k Số hạng không chứa x ứng với    28  4k  3k =  k = 4 7! Soá hạng không chứa x C7k   35 3!4! Bài 10: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn  5  3 x  x     n 7 k   biế t rằ ng Cnn14  Cnn 3  7(n  3) (n laø số nguyên dương, x > 0, Cnk số tổ hợp chập k n phân tử) 308 ThuVienDeThi.com TT Luy n Thi Cnn14  Cnn 3 i H c V NH VI N Giaûi  n + !  n  3!   n  3     n  3  n  1!3! n!3!  (n + 3) (3n  36) =  n = 12 12  5  3 x  x  Vaäy   Cho x 3   k 0 12 k k 5 x2   12   k C12 12 k 3 k   x x       12  k   x8 x   3k  12   Vậy hệ số x8 khai triển   x5  x  =8k=4 laø C12  495 Bài 11: Cho n số nguyên dương Tính tổng: C0n  22  1 23  2n1  n Cn  Cn   Cn n 1 ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) Giải Xét 1  x n  C0n  C1n x  C2n x2   Cnn x4  n  1  x  dx   Cn  Cn x  Cn x   2 1  x n1 n 1   Cnn xn dx   x2 x3 xn 1   Cn x  C1n  C2n   Cnn   n   3n1  2n1 22  1 23  2n 1  n  C0n  Cn  Cn   Cn n 1 n 1 Bài 12: Với n số nguyên dương, gọi a3n3 hệ số x3n3 khai triển thành đa thức của: (x2 + 1)n (x + 2)n Tìm n để a3n 3 = 26n Giải   x2  n x2  n   k 0 n  Cnk x2n 2k n  h 0 Cnh x n  h 2h  n n   Cnk Cnh x3n(2kh) k 0 h 0 Ycbt  2k + h =  k = h = hay (k = vaø h = 3)  a3n3  2C1n C1n  23 Cn0 C3n  26n  n = 309 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 13: Cho khai triển nhị thức: 2 x 1 2   x n  C0n 2  x 1 n  C1n 2  2   + C   2  x 1 n 1  x n 1 n x 1  x n 1  Cnn 2   x n (n laø số nguyên dương) Biết khai triển C3n  5C1n số hạng thứ tư 20n Tìm n x Giải +  n  Z , n  Ta coù C3n  5C1n    n = V n =  (loaï i)   n   (n  1)  30 Số hạng thứ tư 20n nên ta coù C37   2  x 1 2  x 3  140  2x2   22  x  =  x = Bài 14: Tìm số nguyên dương n cho C0n  2C1n  4C2n   2n Cnn  243 Giaûi C0n  2C1n  4C2n   2n Cnn  243 (*) n Ta coù 1  x   C0n  xC1n  x2C2n   xn Cnn (* *) Theá x = vào (* *) ta có: 1  2n  C0n  2C1n  4C2n   2n Cnn  243  3n = 243  n = Bài 15: n Giả sử n số nguyên dương 1  x   a0  a1x  a2 x2   ak x k   an xn Biết tồn số k nguyeân (1  k  n  1) cho ak  ak ak 1   24 Hãy tính n Giải Ta có: (1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn a a a Ck 1 Ck Ck 1 Vì k 1  k  k 1  n  n  n 24 24 k k   Cn Cn 2n    k  2  n  k  1  9k   11     k k 1 3  n  k    k  1  Cn Cn  k  3n    24  11  3n – = 2n +  n = 10 310 ThuVienDeThi.com ... ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k  {1, 2…, n} cho số tập gồm k phần tử A lớn Giải Số tập k phần tử tập hợp. .. 3k  12   Vậy hệ số x8 khai triển   x5  x  =8k=4 laø C12  495 Bài 11: Cho n số nguyên dương Tính tổng: C0n  22  1 23  2n1  n Cn  Cn   Cn n 1 ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử)... Chú ý: Số mũ a tăng dần, số mũ b giảm dần có tổng n n m Các hệ số đối xứng: Cm n  Cn Tam giaùc Pascal: n=0 1 n=1 1 3 n=2 n=3  Chú ý: Dựa vào bảng Pascal ta viết khai triển Niutơn B ĐỀ THI