Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.. Hỏi có mấy cách chọn..[r]
(1)Chuyên đề đại số tổ hợp Giai thừa : n! = 1.2 n; 0! = 1; n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n Quy tắc cộng : Trường hợp có m cách chọn, trường hợp có n cách chọn; cách chọn thuộc đúng trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n Quy tắc nhân : Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn này lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai tượng là : m x n Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác Số cách xếp : Pn = n ! Chỉnh hợp : Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ khác số cách : Ank n! , Ank Cnk Pk (n k )! (n N; k ≤ n) Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn k vật Số cách chọn : Cnk n! k !(n k )! Chỉnh hợp = tổ hợp hoán vị Cnk Cnn k ; Cnk11 Cnk1 Cnk Công thức nhị thức Niutơn n (a+b)n = Cn0 a n Cn1 a n 1b Cnk a n k b k Cnn b n = Cnk a k b n k k 0 Chú ý: Vế phải có n+1 số hạng Mũ a và b mỡi số hạng có tổng n Số hạng tổng quát thứ k+1 có dạng : Tk+1= Cnk ann k b k Tổng các hệ số là : n Một số công thức đặc biệt: (1 x) n Cn0 Cn1 x Cnk x k Cnn x n Cn0 Cn1 Cnn 2n ; Cn0 Cn1 Cn2 (1) k Cnk (1) n Cnn Đặt P(x) = (1 x)n Cn0 Cn1 x Cnn x n P(x) là đa thức bậc n nên ta có thể tính giá trị điểm bất kì; lấy đạo hàm; tích phân trên đoạn bất kì Khi đó ta có các bài toán Ví dụ: P(2001) = C 2009C 2009 C 2010 P'(x)=C +2xC +3x C + +nx C = (1+x) '=n(1+x) P '(1) C 2C 3C nC n.2 P '(1) C 2C 3C (1) nC P '(a) C 2aC 3a C na C n(1 a) xP '( x ) xC x C 3x C nx C nx(1 x ) C xC x C n x C n(1 x ) n(n 1) x(1 x ) P ''( x ) 2C 3.2 xC 4.3x C n(n 1) x C n n n n 2 n n n n 2 n n a n 1 n n n-1 n 1 n n n 1 n n 1 n n n n n n n 1 n n n 2 n ' n(n 1)(1 x ) n 2 n 2 n n 1 n n n 1 n 2 n n n 2 3.2C 4.3Cn4 n(n 1)Cnn n(n 1)2 n2 n a P( x )dx (C n n n n 3 n n(1 x ) P ''(1) 2C n-1 n n n n n n n n n n a 1 n1 n (1 a)n1 Cn1 x Cnn x n )dx (1 x )n dx aCn0 a Cn1 a3Cn2 a Cn n 1 n 1 Các bài toán phép đếm: PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Thường lập luận để có thể coi việc mà ta phải đếm chọn là việc lấy k phần tử từ tập hợp A có n phần tử (k≤ n) Nếu k phần tử lấy từ tập A không có vấn đề thứ tự thì dùng số tổ hợp chập k n phần tư tập A Nếu k phần tử lấy từ A có vấn đề thứ tự phải chú ý Nếu vai trò các phần tử lấy từ A nhau(nghĩa là các phần tử A có hội đồng lựa chọn)thì dùng số chỉnh hợp k< n và dùng hoán vị k = n Nếu vai trò các phần tử lấy từ A khác thì lý luận qui tắc đếm Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho mà số có chữ số khác HD: Xét trường hợp ĐS: 9.8.7 8.8.7 952 Lop12.net (2) Chuyên đề đại số tổ hợp Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên a) Chẵn gồm chữ số ĐS : 3.63 b) Lẻ gồm chữ số ĐS : 3.63 c) Chẵn không ít chữ số và không vượt quá chữ số d) chữ số khác có mặt số ? e) chữ số khác có mặt số và ? f) chữ số khác và số đó tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị HD: c) Xét trường hợp TH1 : Gồm chữ số TH2 : Gồm chữ số TH3 : Gồm chữ số ĐS : 3(63 + 64 + 65) d) Chữ số có có vị trí có A 120 5= 600 số e) Số 1và có A , xếp số vào vị trí còn lại là A ĐS A A = 480 f) Vì tổng tất các số là 21 nên tổng ba số đầu là 10, ba số cuối là 11 Có cặp số thoả mãn là: + Cặp số đầu gồm 1, 4, ba số cuối gồm 2, 3, Có 3!.3! = 36 số + Cặp số đầu gồm 2, 3, ba số cuối gồm 1, 4, Có 3!.3! = 36 số + Cặp số đầu gồm 1, 3, ba số cuối gồm 2, 4, Có 3!.3! = 36 số Vậy có: 3.36 = 108 số Bài 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập bao nhiêu số tự nhiên mà số có chữ số khác và chữ số đứng cạnh HD: Coi hai số và là cặp Xét trường hợp: + TH1: cặp 2,3 đứng đầu, có: 2.4! = 48 số + TH2: cặp 2, đứng các vị trí khác, có:4.2.3.3! = 144 ĐS: 192 Bài 4:Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập bao nhiêu số tự nhiên chữ số khác và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Bài 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên, số gồm chữ số khác và thiết phải có chữ số và Bài 6: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và nữ hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm đó phải có ít nữ ĐS 4: A 3! 1440 ĐS B5: 5.4 A 1200 ĐS6: 5 C53 C105 C54 C104 C55 C310 Bài 7: Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ, và nhà vật lí nam Lập đoàn công tác gồm nguời có nam và nữ, cần có nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS: 90 cách Bài 8: Có cầu xanh đánh số từ đến 6, cầu đỏ đánh số từ đến và cầu vàng đánh số từ đến Hỏi có bao nhiêu cách lấy cầu vừa khác màu vừa khác số? ĐS: 64 cách Bài 9: Có bao nhiêu cách phân phối đồ vật khác cho người, cho người nhận ít đồ vật ĐS: 150 cách Bài 10: Cho hình thập giác 1) Hỏi có thể lập bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh thập giác, cạnh tam giác không là cạnh nào thập giác đó? ĐS: 50 tam giác; 10 hcn 2) Hỏi có thể lập bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh thập giác? Bài 11: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A và học sinh trường B vào bàn nói trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trường hợp sau: 1) Bất hai học sinh nào ngồi cạnh ngồi đối diện thì khác trường ĐS: 1) 2.6!.6! 2) 12.10.8.6.4.2.6! 2) Bất hai học sinh nào ngồi đối diện thì khác trường Bài 12: Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em Trong đó có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có ít học sinh chọn HD: C (C C C ) 41811 18 11 12 13 Các bài toán nhị thức, phương trình bất phương trình tổ hợp, chỉnh hợp 1) Giải các PT, BPT: a) Cn4 Cn5 3Cn61 (n = 6) b) Cnn21 Cnn 2,5 An2 (n=5) c) 23 An4 24( An31 Cnn ) (n ≥ 2) d) An3 2Cnn 9n (n{3;4}) Lop12.net (3) Chuyên đề đại số tổ hợp 2) Pn 60 Ank32 (n k )! Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k 0: ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3) Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4) Biết số tập hợp gồm phần tử A 20 lần số tập hợp gồm phần tử A ĐS: A có 18 phần tử 4) CMR : Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn n.2n 1 HD: (1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x3 Cnn x n Lấy đạo hàm hai vế ta có : chọn x = đpcm 3) 5) CMR : Cn0 HD: Xét : 2 23 2n 1 n 3n 1 Cn Cn Cn n 1 n 1 I (1 x )n dx = Mà I (C n I 2Cn0 (1 x )n 1 n 1 1 x Cn1 x Cn2 x Cnn x n 1 ) n 1 22 23 2n n Cn Cn Cn n 1 (1 ) (2) Từ (1) và (2) đpcm 6) n 1 1 n 1 =3 2 Tính : I (1 x)n dx và S = Cn0 Cn1 Cn2 HD : I (1 x ) dx n = Cnn n 1 (1 x )n1 n1 0 n 1 n 1 x2 x n1 I (Cn0 Cn1 x Cnn )dx Cn0 x Cn1 Cnn n 10 1 1 Cnn Cn0 Cn1 Cn2 n 1 => S = n1 n 1 CMR: 4Cn1 42 Cn2 4n 1 Cnn 1 4n 5n HD : Khai triển : ( 1+x ) n thay x= đpcm 8) CMR: 316 C160 315 C161 314 C162 C1616 216 HD: Khai triển : ( 3x-1)16 chọn x = đpcm 7) 9) Cxy1 Cxy 1 Cxy 1 Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn n 2n 1 Tìm x ; y thuộc N* : ĐS : x=8 ; y = CmR : HD: Xét : (1+x) n khai triển Lấy đạo hàm vế Chọn x = đpcm 10) 11) hãy tìm số hạng không chứa x Biết : C 28 n Trong khai triển : x x x 15 n n Cnn 1 Cnn 79 HD: k = C125 792 12) n 1 1 3(n 1) Đổi biến: u= 1+x3 có I Tính I x (1 x3 )n dx Mặt khác ta có : (1 x ) C C x C x C x Nhân hai vế cho x2 , lấy tích phân hai vế Tìm nguyên hàm cận từ −> ta vế trái n n A-2002 Cho khai triển : 2 n x1 2 n x n n 3n Biết : C n n 5Cn1 và số hạng thứ tư 20 Hãy tìm n và x ? ĐS : n = và x= D-2002 Tìm n N*: Cn0 2Cn1 4Cn3 2n Cnn 243 ĐS : Xét (1+x ) n và chọn x= => n= n A- 2003 Tìm hệ số x8 khai triển Biết : Cnn41 Cnn 7(n 3) B-03 Cho nN* HD : K= x5 x => C12 495 n 1 tính: S Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 N 1 Xét : (1+x) n Khai triển tính hai vế ta có : S n1 n 1 D2003 Với n N*, gọi a3n - là hệ số x3n -3 khai triển thành đa thức biểu thức (x2 +1)n(x+2)n Tìm n để a3n-3 = 26n ĐS: n = A-2004 Tìm hệ số x khai triển :[1+x2( 1-x)]8 Lop12.net (4) Chuyên đề đại số tổ hợp Hd:Số hạng thứ và thứ 5: C x (1 x )3 ; C84 x (1 x )4 KQ : 3C83 C84 238 x D04 Tìm số hạng không chứa x: x (x > 0)ĐS : k = 35 B- 2004 Thầy giáo có 30 câu hỏi khác : câu khó ;10 câu tb ; 15 câu dễ Hỏi từ 30 câu trên lập bao nhiêu đề kiểm tra cho đề có câu khác đó đề thiết phải có loại câu hỏi : khó ; tb ; dễ và câu dễ không ít hai Giải : Có ba THợp 2dễ + 1TB + khó: 10500 2d + 2TB +1khó: 23625 3d + 1TB + khó: 22750 Tổng : 56.875 A- 2005Tìm số nguyên dương n cho : C21n 1 2.2C22n 1 3.22 C23n 1 4.23 C24n 1 (2n 1)22 n C22nn11 2005 Xét:( 1-x) 2n+1 Khai triển, lấy đạo hàm hai vế, chọn x=2: (2n+1)=2005n=1002 B2005 Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội niên tình nguyện đó giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam và nữ ĐS: C124 C31 C84 C21 C44 C11 207.900 D.2005 Tính giá trị biểu thức : M An41 An4 (n 1)! Biết : Cn21 2Cn2 2Cn2 Cn2 149 HD: n = 5; n = − 9(l) M= ¾ CĐ05 Cho ( 1-x)n +x(1+x) n-1=Px Biết : a0+a1+a2+…+an = 512 Tìm a 3=? HD: Khai triển Px= a0+a1x+a2x2+….+ anxn Cho x=1 thì: 2n-1 = a0 + a1 + a2 +…+ an = 512 = 29 n = 10 ( 1-x)10 +x(1+x) a3 = C C 84 10 n A2006 Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển x , biết C21n 1 C22n 1 C23n 1 C2nn 1 220 x ĐS: n =10, hệ số = 210 D2006 Có 12 HS : dó HS lớp A; HS lớp B và HS lớp C Cần HS trực cho HS nầy không quá lớp trên Hỏi có cách chọn HD : Số cách chọn HS: C * 1A,1B;2C: C C C =60; *1A,2B;1C: C C C 90 ; * 2A,1B;2C: C C C 120 ĐS : C - ( 60+90+120) = 495-270=225 12 5 3 12 A2007 Cm 1 22 n C2 n C2 n C2 n C22nn 20 2n B2007 Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức (2+x)n , biết ĐS: n = 11, hệ số = 22 3n Cn0 3n 1 Cn1 3n Cn2 3n 3 Cn3 (1) n Cnn 2048 D2007 Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức sau: P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ĐS: 3320 Ax2 C y3 22 Bdb07 Tìm x, y N thỏa mãn hệ Ay Cx 66 ĐK: x 2, y 6 x x y y y 132 x x 1 y y 1 y 22 2 y y 1 y x x 1 66 y y y x x 132 (1) x hay x 3 (l ) 6 x x y y y 132 (2) y y y 60 11x 11x 132 x y Ddb07 Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết: An3 8Cn2 Cn1 49 n Điều kiện n Ta có: x Cnk x k 2n k n k 0 Hệ số số hạng chứa x8 là Cn4 2n Ta có: An3 8Cn2 Cn1 49 (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 n3 – 7n2 + 7n – 49 = (n – 7)(n2 + 7) = n = Hs x8 là C74 23 280 Lop12.net (5) Chuyên đề đại số tổ hợp B2008 Chứng minh n phần tử) n 1 1 = n2C k n 1 k 1 n 1 C n 1 1 k k 1 k n Cn 1 Cn 1 Cn n Cnk21 n Cnk1.Cnk11 = (n, k là các số nguyên dương, k ≤ n, Cnk là số tổ hợp chập k k !(n k )! k n! Cn D2008 Tìm n N* thoả hệ thức C21n C23n C22nn 1 2048 (1 x)2 n C20n xC21n x 2C22n x3C23n x n 1C22nn 1 x n C22nn x = : 22 n C20n C21n C22n C23n C22nn 1 C22nn (1) C20n C21n C22n C23n C22nn 1 C22nn (2) x=-1: (1) - (2) : 22 n 2(C21n C23n C22nn 1 ) 4096 212 n = Bài tập tham khảo Câu 1: Một lớp có 33 học sinh, đó có nữ Cần chia lớp thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có ít học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia vậy? Giải: Có trường hợp: Trường hợp 1: Tổ có nữ, nam C73C267 Tổ có nữ, nam C42C199 Tổ có nữ, 10 nam C22C1010 Vậy ta có: C73C267 C42C199 cách Trường hợp 2: Tổ có nữ, nam C72C268 Tổ có nữ, nam C53C188 , Tổ có nữ, 10 nam C22C1010 Vậy ta có: C72C268 C53C188 cách Trường hợp 3: Tổ có nữ, nam C72C268 , Tổ có nữ, nam C52C189 , Tổ có nữ, nam C33C99 , Vậy ta có: C72C268 C52C189 cách Theo quy tắc cộng ta có: C73C26 C42C19 + C72C268 C53C188 + C72C268 C52C189 cách Câu 2: Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt n Biết 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n thoả mãn điều kiện trên Giải: Số tam giác có đỉnh thuộc d1, hai đỉnh thuộc d2 là: 10Cn2 Số tam giác có đỉnh thuộc d2, hai đỉnh thuộc d1 là: nC102 Theo đề bài ta có: 10Cn2 nC102 2800 n 8n 560 n 20 Câu 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác và số lập nhỏ 25000 Giải: Gọi n a1a2a3 a4 a5 chẵn, a j i j , n 25000 Vì n 25000 a1 1;2 ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: a1 = Ta có cách chọn a1 Ta có cách chọn a5 ( n chẵn) A53 cách chọn a2a3 a4 Vậy ta có: 1.4.A53 240 số n Trường hợp 2: a1 = 2, a2 chẵn nhỏ Ta có cách chọn a1 Ta có cách chọn a2 Ta có cách chọn a5 A42 cách chọn a3a4 Vậy ta có: 1.2.2.A42 48 số n Trường hợp 3: a1 = 2, a2 lẻ nhỏ Ta có cách chọn a1 Ta có cách chọn a2 Ta có cách chọn a5 A42 cách chọn a3a4 Vậy ta có; 1.2.3.A42 72 số n Theo quy tắc cộng ta có: 240 48 72 360 số n Câu 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số chẵn, số có chữ số khác đó có đúng chữ số lẻ và chữ số lẻ đó đứng cạnh Giải: Số cách chọn hai chữ số lẻ đứng cạnh từ chữ số 1, 3, là: A53 cách Ta xem cặp số lẻ phần tử x.Vậy số cần lập gồm phần tử x và chữ số chẵn 0, 2, 4, Gọi n a4 a3 a2a1a0 ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: a0 = Đưa x vào vị trí đầu: Có cách Đưa chữ số chẵn 2,4, vào vị trí còn lại có A32 cách Vậy có: 3.A32 18 cách Lop12.net (6) Chuyên đề đại số tổ hợp Trường hợp 2: a0 chẵn khác và x hai vị trí a3a4 Có 3.A32 18 cách Trường hợp 3: a0 chẵn khác và x hai vị trí a3a2 a2a1 Có 24 cách Vậy ta có: 18 18 24 360 số n Câu 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau? Tính tổng tất các số tự nhiên đó Giải: Cách 1: Gọi n a4 a3 a2a1a0 a4 104 a3 103 a2 102 a110 a0 là số cần lập Ta có cách chọn a4, cách chọn a3, cách chọn a2, cách chọn a1, cách chọn a0 Vậy có: 4.4.3.2.1 96 số n Cách 2: Ta có cách chọn và 4! Cách xếp số còn lại Vậy có: 4! = 96 số n * Tính tổng 96 số n lập được: Cách 1: Có 24 số n n a4 a3 a2a1a0 , có 18 số n a4 a3 a2a11, có 18 số n a4 a3 a2a1 , có 18 số n a4 a3 a2a1 , có 18 số n a4 a3 a2 a1 Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 18(1 4) 180 Tương tự: Tổng các chữ số hàng chục là 1800, tổng các chữ số hàng trăm là 18000, tổng các chữ số hàng nghìn là 180000 Có 24 số n 1a3 a2a1a0 , có 24 số n 2a3 a2a1a0 , có 24 số n 3a3 a2a1a0 , có 24 số n 4a3 a2a1a0 Tổng các chữ số hàng chục nghìn là 24(1 4).10000 2400000 Vậy tổng 96 số n là: 180 1800 18000 180000 2400000 2599980 Cách 2: Có 24 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng vị trí a4 Có 18 số với số k ( k = 1, 2, 3, 4) đứng vị trí ai, với i = 0, 1, 2, Vậy tổng 96 số n là: (1 4) 24.10 18(103 102 101 100 ) Câu 6: áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn x x , chứng minh rằng: 100 99 100 1 1 100C100 101C101 Giải: Ta có: x x 198 99 199C100 2 100 199 100 200C100 2 0 ( Cnk là tổ hợp chập k n phần tử) 100 200 C100 x 100 C100 x 101 C100 x 102 C100 x , lấy đạo hàm hai vế, cho x và nhân hai vế với ( -1), ta có kết quả: 99 100 1 1 100C100 101C101 198 99 199C100 2 199 100 200C100 2 0 Câu 7: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên, số gồm chữ số khác và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Giải: Gọi n a1a2a3 a4 a5 a6 là số cần lập Yêu cầu bài toán: a3 a4 a5 a3 , a4 , a5 1,2,5 hay a3 , a4 , a5 1,3,4 a) Khi a3 , a4 , a5 1,2,5 Có cách chọn a1; có cách chọn a2 Có 3! Cách chọn a3, a4, a5 Có cách chọn a6 Vậy ta có: 6.5.6.4 720 số n b) Khi a3 , a4 , a5 1,3,4 tương tự ta có 720 số n Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n Cách khác: * Khi a3 , a4 , a5 1,2,5 Có 3! = cách chọn a3 a4 a5 , có A63 cách chọn a1, a2, a6 Vậy ta có: 6.5.6.4 720 số n * Khi a3 , a4 , a5 1,3,4 , tương tự ta có 720 số n Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n 2n Câu 8: Tìm hệ số x7 khai triển đa thức x , đó n là số nguyên dương thoả mãn: C21n 1 C23n 1 C25n 1 C22nn11 1024 ( Cnk là tổ hợp chập k n phần tử) Giải:Ta có: 1 x C20n 1 C21n 1x C22n 1x C23n 1x C22nn11x 2n 1 Cho x = 1, ta có: 22n 1 C20n 1 C21n 1 C22n 1 C23n 1 C22nn11 1 n 1 Cho x = -1, ta có: C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2 n 1 Lây (1) – (2) 22n 1 C21n 1 C23n 1 C25n 1 C22nn11 Lop12.net (7) Chuyên đề đại số tổ hợp 22n C21n 1 C23n 1 C25n 1 C22nn11 1024 210 Vậy 2n = 10 10 Ta có: x ( 1)k C10k 210 k (3 x )k 10 k 0 x7 Suy hệ số là: C107 37.23 hay C103 37.23 Câu 9: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đồng ca gồm người biết đó phải có ít nữ Giải: Ta có trường hợp: * nữ và nam: có C53C105 2520 cách * nữ và nam: Có C54C104 1050 cách * nữ và nam: có C55C103 120 cách Theo quy tắc cộng, ta có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách Câu 10: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên, số gồm chữ số khác và thiết phải có chữ số 1, Giải: Gọi n a1a2a3 a4 a5 là số cần lập Ta có thể xếp 1, vào vị trí A52 4.5 20 cách Xếp 1, ta có cách chọn chữ số cho ô còn lại đầu tiên cách chọn chữ số cho ô còn lại thứ cách chọn chữ số cho ô còn lại thứ * Theo quy tắc nhân ta có: A52 5.4.3 20.60 1200 số n Cách khác: Bước 1: Xếp 1, vào vị trí: Ta có: A52 4.5 20 cách Bước 2: Có A53 3.4.5 60 cách bốc số còn lại xếp vào vị trí còn lại Vậy có 20 60 = 1200 số n thoả mãn yêu cầu bài toán k Câu 11: Tìm k 0;1;2; ;2005 cho C2005 đạt giá trị lớn ( với Cnk là tổ hợp chập k n phần tử) Giải: k 1 C k C2005 k C2005 lớn 2005 k N k k 1 C2005 C2005 2005! 2005! k !(2005 k )! (k 1)!(2004 k )! k 2005 k 2005! 2005! 2006 k k k !(2005 k )! (k 1)!(2006 k )! k 1002 k 1002 1002 k 1003, k N k 1003 k 1003 Câu 12: Tìm số nguyên n lớn thoả mãn đẳng thức: 2Pn An2 Pn An2 12 ( Pn là số hoán vị n phần tử và Ank là số chỉnh hợp chập k n phần tử) Giải: Ta có: 2Pn An2 Pn An2 12 n N, n 1 6.n ! n! n! 6.n ! n! 12 2(6 n !) (n 2)! (n 2)! (n 2)! (n 2)! 6 n ! n n ! n n! 2 n(n 1) n n n (n 2)! 2.n ! Ax2 Cy3 22 Câu 13: Tìm x, y N thoả mãn hệ: Ay Cx 66 Giải: Với điều kiện: x 2, y , ta có: Lop12.net ( Vì n ) (8) Chuyên đề đại số tổ hợp 6 x x y y 2y 132 (1) x ( x 1) y ( y 1)( y 2) 22 2 y ( y 1)( y 2) x ( x 1) 66 y y 2y x x 132 2 6 x x y y 2y 132 x hay x 3 loai 2 11x 11x 132 y y 2y 60 x x y ( y 5)( y 2y 12) Ax2 Cy3 22 Ay Cx 66 Câu 14: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA hình vuông ABCD cho 1, 2, và n điểm phân biệ khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có đỉnh lấy từ n + điểm đã cho là 439 Giải: Nếu n thì n Do dó số tam giác có đỉnh lấy từ n + điểm không vượt quá C83 56 439 ( loại) Vậy n Vì tam giác tạo thành ứng với tổ hợp chập n + phần tử Nhưng trên cạnh CD có đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là: (n 4)(n 5)(n 6) (n 2)(n 1)n 1 439 6 (n 4)(n 5)(n 6) (n 2)(n 1)n 2540 Cn3 C33 Cn3 n 4n 140 n 10 hay n 14 loai Đáp số: n = 10 Câu 15: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn 2007 mà số gồm chữ số khác nhau? Giải: Gọi n a1a2a3 a4 là số cần lập * Trường hợp 1: a4 = 0, ta có: cách chọn a1 ( Vì a1 ) cách chọn a2, cách chọn a3; cách chọn a4 Vậy ta có: 8 7.1 = 448 số n * Trường hợp 2: a4 vì a4 chẵn Ta có: cách chọn a4; cách chọn a1; cách chọn a2; cách chọn a3 Vậy ta có: = 1568 số n Vậy hai trường hợp ta có: 448 + 1568 = 2016 số n Câu 16: Chứng minh rằng: k n phần tử) Giải: Ta có: 1 x C C 2n 1 x (1 x ) C 2n 2n 2n 2n 1 1 2n 1 22n C2n C23n C25n C2n 2n 2n x C22nn x n , 1 x 2n C20n C21n x C22nn x n (1 x )2n C21n x C23n x C22nn 1x 2n 1 2n (1 x ) 2n C 2n ( n là số nguyên dương, Cnk là tổ hợp chập (1 x )2n (1 x )2n (1 x )2n 1 (1 x )2n 1 0 2(2n 1) x C23n x C22nn 1x 2n 1 dx x C23n x C22nn 1x 2n 1 dx x2 x4 C21n C23n C22nn x 2n 0 1 2n 1 C21n C23n C2n 2 2n Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh Câu 17: Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức: x 1 x x (1 x )10 Giải: Hệ số x5 khai triển x(1 x )5 là ( 2)4 C54 Hệ số x5 khai triển x (1 x )10 là 33.C103 Hệ số x5 khai triển x(1 x )5 x (1 x )10 là ( 2)4 C54 33.C103 3320 Lop12.net 22 n 1 2n (9) Chuyên đề đại số tổ hợp Câu 18: Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Niu tơn (2 x )n , biết 3n Cn0 3n 1Cn1 3n Cn2 3n 3 Cn3 ( 1)n Cnn 2048 (n là số nguyên dương, Cnk là tổ hợp chập k n phần tử) Giải:Ta có: 3n Cn0 3n 1Cn1 3n Cn2 3n 3 Cn3 ( 1)n Cnn (3 1)n Từ giả thiết suy n = 11 11 Ta có: x C11k 21 k x k Suy hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Niutơn (2 x )x là: 11 k 0 10 11 1110 C 22 Câu 19: Cho khai triển 1 x a0 a1x an x n , đó n N * và các hệ số a0, a1, ….,an thoả mãn hệ thức n a0 a1 a nn 4096 2 Giải: Đặt f ( x ) 1 2x n Tìm hệ số lớn các số a0, a1, …., an a0 a1x an x n a0 a1 a 1 nn f 2n 2 2 Từ giả thiết suy ra: 2n 4096 212 n 12 Với k 0;1;2;3 ;11 ta có: ak 2k C12k , ak 1 2k 1C12k 1 ak 2k C k k 1 23 k 1 12k 1 1 k ak 1 2(12 k ) C12 Mà k Z k Do đó a0 < a1 < ….< a8 Tương tự : ak 1 k ak 1 Do đó a8 > a9 > ….> a12 Số lớn các số a0, a1, ……, an là: a8 28 C128 126720 Câu 20: Chứng minh rằng: n 1 1 k k 1 k n Cn 1 Cn 1 Cn ( n, k là các số nguyên dương, k n , Cnk là tổ hợp chập k n phần tử) Giải: Ta có: n 1 1 n k !(n k )! (k 1)!(n k )! n Cnk1 Cnk11 n (n 1)! k !(n k )! k !(n k )! k (n k ) (k 1) n2 n! n! Cn Câu 21: Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức: C21n C23n C22nn 1 2048 ( Cnk là tổ hợp chập k n phần tử) Giải: (1 x )2n C20n C21n x C22n x C23n x C22nn 1x 2n 1 C22nn x 2n * x 1: 22n C20n C21n C22n C23n C22nn 1 C22nn 1 * x 1: C20n C21n C22n C23n C22nn 1 C22nn Lấy (1) – (2): 22n 2(C21n C23n C22nn 1 ) 4096 212 n Câu 22: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn 2x 18 x ( x > 0) Giải: 18 2x x 18 k C (2 x ) k 0 k 18 18 k 18 18 k 51 k 18 k x C18 x k 0 Yêu cầu bài toán 18 k k 15 Vậy số hạng không chứa x là: 23.C1815 6528 n Câu 23: Cho khai triển nhị thức: n là số nguyên dương) Biết Giải: Từ Cn3 5Cn1 ta có: n và n n 1 n 1 x x x 1 x 1 x 1 x21 x x 0 1 n 1 n Cn 2 Cn 2 Cn 2 Cn khai triển đó Cn 5Cn và số hạng thứ 20n, tìm x và n n n! n! n(n 1)(n 2) 5 5n n 3n 28 3!(n 3)! (n 1)! n 4 Lop12.net n ( (10) Chuyên đề đại số tổ hợp Với n = ta có: x 1 x C73 2 140 35.22 x 2.2 x 140 2x x Câu 24: Cho đa giác A1A2… A2n ( n nguyên) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có các đỉnh là 2n điểm A1, A2, …., A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 2n điểm A1,A2, …, A2n Tìm n Giải: Số tam giác có các đỉnh là 2n điểm A1A2… A2n là: C2n Gọi đường chéo đa giác A1A2… A2n qua tâm đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có n đường chéo lớn Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 2n điểm A1,A2, …, A2n có các đường chéo là hai đường chéo lớn Ngược lại, với cặp đường chéo lớn ta có các đầu mút chúng là đỉnh hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật nói trên số cặp đường chéo lớn đa giác A1A2… A2n tức Cn2 Theo giả thiết thì: C23n 20Cn2 (2n )! n! 20 3!(2n 3)! 2!(n 2)! 2n.(2n 1)(2n 2) n(n 1) 20 2n 15 n Câu 25: Tìm số nguyên dương n cho: Cn0 2Cn1 4Cn2 2n Cnn 243 n Giải: Ta có: x 1 Cnk x k n k 0 n Cho x = ta được: 3n Cnk 2k 3n 243 35 n k 0 n Câu 26: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn x , biết rằng: x n 1 n4 C C n n 3 7(n 3) ( n là số nguyên dương, x > 0, C là tổ hợp chập k n phần tử) Giải:Ta có: Cnn41 Cnn 7(n 3) Cnn31 Cnn Cnn 7(n 3) (n 2)(n 3) 7(n 3) n 7.2! 14 n 12 2! Số hạng tổng quát khai triển là: C k 12 Ta có: x k n 60 11k x8 x 3 12 k k 52 x k C12 x 60 11k 60 11k 8k 4 Do đó hệ số số hạng chứa x8 là: C124 12! 495 4!(12 4)! Câu 27: Cho n là số nguyên dương Tính tổng: Cn0 22 1 23 2 n 1 n Cn Cn Cn ( Cnk là tổ hợp chập k 2 n 1 n phần tử) Giải: n Ta có: 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n 2 1 Suy ra: (1 x )n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n dx x2 x3 x n 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn 1 n 1 n 1 n 1 n 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2 n 1 n 1 28: Với n là số nguyên dương, gọi a3 n 3 là hệ số x n 3 Câu x (1 x )n 1 n 1 khai triển thành đa thức n ( x 2)n Tìm n để a3 n 3 26n Giải: n Cách 1: Ta có: x 1 Cn0 x 2n Cn1 x 2n Cn2 x 2n Cnn ( x 2)n Cn0 x n 2Cn1 x n 1 22 Cn2 x n 2n Cnn Dễ dàng kiểm tra n = , n = không thoả mãn đk bài toán Với n thì x n 3 x 2n x n 3 x 2n x n 1 Do đó hệ số x3n-3 khai triển thành đa thức (x2 + 1)n(x + 2)n là a3 n 3 23.Cn0 Cn3 2.Cn1 Cn1 10 Lop12.net (11) Chuyên đề đại số tổ hợp Vậy a3 n 3 26n 2n 2n 3n 26n n n Vậy n = là giá trị cần tìm (vì n nguyên dương) Cách 2: Ta có : x 1 x x n n n n x n Cni i 0 x i n n n n 2 3n i 2 i k k k x x Cn x Cn x k 0 i 0 k C k 0 n 2 1 x x2 k n Trong khai triển trên , luỹ thừa x là 3n – -2i – k = -3 hay 2i + k = Ta có trường hợp thoả mãn đk này là i = , k = i = , k = Vậy hệ số x3n-3 là a3 n 3 Cn0 Cn3 23 Cn1 Cn1 Do đó a3 n 3 26n 2n 2n 3n 26n n n Vậy n = là giá trị cần tìm (vì n nguyên dương) Câu 29: Giải bất phương trình: n Cn4 2Cn3 An3 (trong đó Cnk là số tổ hợp chập k n phân tử và Ank là chỉnh hợp tập k n phân tử ) Giải : Điều kiện n N và n n n! Bất phương trình đã cho có dạng : n !4! 2 n! n! 2 n !3! n ! n n 2n n n n2 + (do 2n + 5) > , n) Kết hợp điều kiện nghiệm bất phương trình đã cho là n = , n = Câu 30: Tính hệ số x8 khai triển thành đa thức 1 x 1 x Giải: 1 x 1 x C80 C81 x (1 x ) C82 x (1 x )2 C83 x (1 x )3 C84 x (1 x )4 C85 x 10 (1 x )5 C86 x 12 (1 x )6 C87 x 14 (1 x )7 C88 x 16 (1 x )8 Bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Vậy x8 có các số hạng thứ 4, thứ với hệ số tương ứng là: C83 C32 ,C84 C40 Suy ra: a8 168 70 238 Câu 31: Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) và số câu hỏi dễ không ít 2? Giải:Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là nên có các trường hợp sau: * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, thì số cách chọn là: C152 C102 C51 23625 * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, thì số cách chọn là: C152 C101 C52 10500 * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, thì số cách chọn là: C153 C101 C51 22750 Vì cách chọn trên đôI khác nên số đề kiểm tra có thể lập là: 23625 + 10500 + 22750 = 56875 Câu 32: Tìm các số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn x Giải:Ta có: 7 3 k x C7 x k 0 x 7k k k C7 x x k 0 7k x k C7k x với x > 28 k 12 k 0 Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k k Z,0 k thoả mãn: Số hạng không chứa x cần tìm là: C47 35 Câu 33: Tìm số nguyên dương n cho: ( Cnk là số tổ hợp chập k n phân tử) x 28 7k 0k 4 12 C21n 1 2.2C22n 1 3.2C23n 1 4.2C24n 1 (2 x 1).22 n C22nn11 2005 11 Lop12.net (12) Chuyên đề đại số tổ hợp Giải:Ta có: (2 x 1)(1 x ) 2n n 1 C 2.2C 2 n 1 (1 x )2 n 1 C20n 1 C21n 1x C22n 1x C23n 1x C22nn11x n 1 C n 1 2C 2 n 1 3.2 C n 1 x 3C 2n 4.2 C n 1 x (2n 1)C 2 n 1 n 1 n 1 (2n 1).2 C 2n x 2n x R Lấy đạo hàm hai vế ta có: x R Thay x = - 2, ta có: 2n Theo giả thiết ta có: 2n 2005 n 1002 Câu 34: Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân đội niên tình nguyện đó giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam và nữ? Giải: Có C31.C124 cách phân công các niên tình nguyện tỉnh thứ Với cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ thì có C21C84 cách phân công các niên tình nguyện tỉnh thứ hai Với cách phân công niên tình nguyện tình thứ và tỉnh thứ hai thì có C11C44 cách phân công các niên tình nguyện tỉnh thứ Số cách phân công niên tình nguyện tỉnh theo yêu cầu bài toán là: C31.C124 C21.C84 C11C44 207900 Câu 35: Tính giá trị biểu thức: M An41 3A n3 (n 1)! Biết Cn21 2Cn2 2Cn2 Cn2 149 ( n là số nguyên dương, Ank là chỉnh hợp tập k n phân tử và Cnk là số tổ hợp chập k n phân tử) Giải: Điều kiện: n Ta có: Cn21 2Cn2 2Cn2 Cn2 149 (n 1)! (n 2)! (n 3)! (n 4)! 2 2 149 2!(n 1)! 2! n ! 2!(n 1)! 2!(n 2)! n n 4n 45 n 9 Vì n nguyên dương nên n = 6! 5! A64 3A 53 2! 2! M 6! 6! n Câu 36: Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Niutơn x , biết x n 1 C C 2 n 1 C n n 1 ( n là số nguyên dương, C là số tổ hợp chập k n phân tử) 20 k n Giải: Từ giả thiết suy ra: C20n 1 C21n 1 C22n 1 C2nn 1 220 Vì C2kn 1 C22nn11 k , k,0 k 2n nên: C2n 1 C21n 1 C22nn11 Từ (1 1)2n 1 22n 1 3 C20n 1 C21n 1 C22n 1 C2nn 1 C20n 1 C21n 1 C22nn11 1 khai triển nhị thức Niutơn (1 1)2n 1 suy ra: Từ (1), (2), (3) suy ra: 22n 220 hay n = 10 n 10 10 10 k Ta có: x C10k x 4 ( x )k C10k x11k 40 x k 0 k 0 Hệ số x26 là C10k với k thoả : 11k 40 26 k Vậy hệ số x26 là: C106 210 Câu 37: Cho tập hợp A gồm n phần tử n Biết số tập hợp gồm phần tử gấp 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k 1;2;3 n cho số tập gồm k phần tử A là lớn Giải: Số tập k phần tử tập hợp A Cnk Từ giả thiết suy ra: Cn4 20Cn2 n 5n 234 n 18 ( vì n ) Do k 1 C18 18 k 1 k k k 1 C18 nên C181 C182 C189 C189 C1810 C1818 Vậy số tập gồm k phần tử A là lớn k = Câu 38: Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh này thuộc không quá lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn vậy? Giải:Số cách chọn học sinh 12 học sinh đã cho là: C124 495 Số cách chọn học sinh mà lớp có ít nhấtmột em tính sau: 12 Lop12.net (13) Chuyên đề đại số tổ hợp - Lớp A có học sinh, lớp B, C lớp có học sinh Số cách chọn là: C52 C41 C31 120 - Lớp B có học sinh, lớp A, C lớp có học sinh Số cách chọn là: C51.C42 C31 90 - Lớp C có học sinh, lớp A, B lớp có học sinh Số cách chọn là: C51.C41 C32 60 Số cách chọn học sinh mà lớp có ít học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 Câu 39: Chứng minh bất đẳng thức sau: Giải:Xét tích phân: (1 x )n 0 x dx C n 1 ( 1)n 1 n Cn1 Cn2 Cn3 Cn n n Cn2 x ( 1)n 1Cnn x n dx ( 1)n 1 n Cn1 Cn2 Cn 1 n 1 n (1 x )n 1 t n t 1 dx ( 1) dt 0 x 0 t 0 t dt Mặt khác, đặt x = – t, ta có: 1 t t t n 1 dt 1 n 2 Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh Câu 40: Rút gọn tổng: S C190 C191 C192 18 18 19 19 x (1 x )19 x C19 C19 x C19 x C19 x C19 x Giải:Theo nhị thức Niutơn thì: C x C x C x C x 19 19 2 19 x x x 18 x 19 x x (1 x )19 dx C19 C19 C19 C19 C19 20 21 1 1 18 19 C19 C19 C19 C19 C19 S 20 21 Do đó S 18 19 C19 C19 20 21 20 21 18 19 19 C x 19 19 20 1 420 Câu 41: Tính tích phân: I x(1 x )n dx n N Từ đó cmr: * 1 1 ( 1)n Cn Cn Cn Cn Cnn 2(n 1) 2(n 1) Giải: Ta có; I 1 1 x2 0 n d (1 x ) (1 x )n 1 n 1 Mặt khác: 2(n 1) n n I x. Cnk ( 1)k x 2k dx Cnk ( 1)k x 2k 1 dx k 0 k 0 n Cnk ( 1)k k 0 x 2k 2k n Cnk ( 1)k k 0 Cnk 2(k 1) Từ đó ta có điều phải chứng minh Câu 42: Cho chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Hỏi có bao nhiêu cách viết số: 1) Có chữ số 2) Có chữ số đôi khác 3) Có chữ số 4) Có chữ số đôi khác 5) Chia hết cho và có chữ số khác 6) Có chữ số khác và là số lẻ 7) Có chữ số khác và lớn 3000 8) Có chữ số khác không lớn 243 9) Có chữ số khác nhỏ 243 Giải: 1) Để viết số có chữ số từ các số đã cho, ta có cách chọn số hàng trăm nghìn, tương tự với các số hàng còn lại có cách chọn Theo quy tắc nhân ta lập được: 66 = 46656 số thoả mãn điều kiện đề bài 2) Do yêu cầu chữ số đôi khác nên có cách chọn số hàng trăm nghìn, cách chọn số hàng vạn, cách chọn số hàng nghìn, …., cách chọn số hàng đơn vị Vậy có tất x x x x x = 720 ( số) thoả mãn đề bài 3) Lập luận tương tự câu ta lập được: 66 = 1296 số thoả mãn đề bài 13 Lop12.net (14) Chuyên đề đại số tổ hợp 4) Lập luận tương tự câu 2, có cách chọn số hàng nghìn, cách chọn số hàng trăm, cách chọn số hàng chục, cách chọn số hàng đơn vị Vậy có tất cả: x x x = 360 ( số) thoả mãn đề bài 5) Gọi abc là số thoả mãn đề bài, số đó chia hết cho nên có mọt cách chọn c = 5, số a, b có thể coi là chỉnh hợp chập số còn lại sau đã chọn số c Vậy có tất 1.A52 20 số 6) Do số thành lập là số lẻ nên số hàng đơn vị phải là: 1, 3, có cách chọn Các số còn lại coi hoán vị năm phần tử Vậy có tất cả: 3.P5 3.5! 360 ( số) 7) Gọi số có chữ số khác là: abcd Do số đó lớn 3000 nên a hay a 3;4;5;6 Vậy có cách chọn a, số còn lại coi chỉnh hợp chập phần tử Suy các số thoả mãn đề bài là: 4.A53 240 ( số) 8) Gọi số có chữ số khác là abc số đó không nhỏ 243 ( hay abc 243 ) nên a Vậy a 2;3;4;5;6 + Với a = để 2bc 243 b b 4;5;6 Nếu b = 4, lập luận tương tự, cần c 4, c đó có cách chọn c Vậy số có dạng 24c là: x = ( số) Nếu b = 5, thì c có thể chọn bất kì số còn lại số các số có dạng 25c 26c là: x x = (số) + Với a = 3; 4; 5; ta có thể chọn b, c là số bất kì số còn lại sau chọn a Tất các dạng này là: 4.A52 80 ( số) Vậy từ số đã cho, ta có thể lập + + 80 = 91 ( số)có chữ số khác không nhỏ 243 9) Ta có: abc 243 * Từ số đã cho, thành lập A63 120 ( số) có chữ số khác Trong đó số các số không nhỏ 243 là 91 số Vậy số các số thoả mãn (*) là: 120 – 91 = 29 ( số) Câu 43: Một lớp 12 có 15 học sinh nữ và 25 học sinh nam Hỏi có bao nhiêu cách chọn tổ có người: 1) Nam, nữ tuỳ ý, không phân biệt nhiệm vụ 2) Có nam, không phân biệt nhiệm vụ 3) Có ít nữ, không phân biệt nhiệm vụ 4) Tổ trưởng là nữ, số còn lại không phân biệt nhiệm vụ 5) Tổ trưởng là nam và có ít nam nữ 6) tổ trưởng, tổ phó và tổ viên 7) Mỗi người phụ trách đội thiếu niên cụ thể phường Giải: 1) Số học sinh lớp là: 15 + 25 = 40 ( học sinh) Do đó số cách chọn tổ người theo yêu cầu đề bài là: C405 658008 ( Cách) 2) Để chọn tổ có người: Gồm nam: có C253 2300 ( Cách chọn) nữ: có C152 150 ( cách chọn) Theo quy tắc nhân, số cách chọn tổ là: C253 C152 241500 ( cách) 3) Cách 1: Số học sinh nữ tổ có thể là: 2, 3, Số cách chọn tổ gồm nữ, nam là: C152 C253 241500 Số cách chọn tổ gồm nữ, nam là: C153 C252 136500 34125 Số cách chọn tổ gồm nữ, nam là: C154 C25 Số cách chọn tổ gồm nữ là: C15 3003 Cách 2: Tính số tổ có nữ và số tổ không có nữ là: C255 15C254 Số tổ phải tìm là: C405 (C255 15C254 ) 4) Để tổ trưởng là nữ, có C151 15 cách chọn Bốn tổ viên chọn 39 học sinh còn lại, có: C394 82251 cách chọn Vậy số cách chọn tổ là: C15 C39 1233765 ( cách chọn) 25 cách chọn 5) Để tổ trưởng là nam, có C25 Bốn người còn lại tổ gồm: + nam, nữ: C242 C152 28980 ( cách chọn) + nam, nữ: C243 C151 30360 ( cách chọn) + nam: C244 10626 ( cách chọn) Tổng số cách chọn là: 25 28980 30360 10626 1749150 14 Lop12.net (15) Chuyên đề đại số tổ hợp 6) Một tổ trưởng và tổ phó có thể coi là chỉnh hợp chập 40 học sinh lớp: A40 1560 ( cách chọn) Ba tổ viên là tổ hợp chập 38 học sinh còn lại ( sau đã chọn tổ trưởng và tổ phó ) : C38 8436 ( cách chọn) Vậy số cách chọn tổ là: A 240 C382 13160160 7) Do người phụ trách đội thiếu niên khác nên có thể tổ là chỉnh hợp chập 40 học sinh Vậy số cách chọn tổ là: A405 78960960 Câu 44: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, có thể viết bao nhiêu số? 1) Có chữ số khác 2) Có chữ số 3) Có chữ số khác 4) Có chữ số khác và là số lẻ 5) Có chữ số khác và thiết có mặt chữ số Giải: 1) Gọi số có chữ số khác là: abcde vì a nên có cách chọn Bộ số bcde có thể coi là hoán vị số còn lại sau đã chọn số a, có P4 4! 24 ( Số) Số cách thành lập số có chữ số khác là: x 24 = 96 ( cách) 2) Để thành lập số có chữ số, ta chọn hàng, a nên có cách chọn a; cách chọn b; cách chọn c; cách chọn d; cách chọn e Vậy số các số có chữ số thành lập từ chữ số đã cho là: 4.5 2500 ( số) 3) Gọi số có chữ số khác là: abc Vì a nên có cách chọn Bộ số bc có thể coi là chỉnh hợp chập phần tử, số các chỉnh hợp là: A42 12 Vậy các số thoả mãn đề bài: x 12 = 48 ( số) 4) Gọi số có chữ số khác là abc , đề số đó là số lẻ thì c 1;3 , có cách chọn c Còn lại số ( gồm số 0) để chọn a và b; a nên có cách chọn số a, từ đó còn cách chọn b Vậy số các số lẻ có chữ số khác là: x x = 18 (số) 5) Gọi số phải tìm là abc , đó thiết có vị trí là số 2: + Số vị trí a; các số b, c chọn số còn lại nên là chỉnh hợp chập số nên có A42 12 số loại này + Số vị trí số b; đó có cách chọn a; cách chọn c nên có x = số loại này + Số vị trí c; tương tự, ta số Vậy có tất cả: 12 + + = 30 số thoả mãn đề bài Câu 45: 1) Tính hệ số số hạng chứa x3 khai triển của: P ( x ) (2 x 1)3 (3 x 1)4 ( x 1)7 n 2) Khai triển x có tổng các hệ số số hạng đầu là 28 tìm số hạng thứ khai triển đó x 10 3) Tìm số hạng không chứa x khai triển 2x x 4) Xét khai triển ( x xy ) a) Tìm hai hạng tử chính b) Tính hệ số hạng tử chứa x 21y 12 Giải: 1) Số hạng chứa x3 khai triển x 1 là 8x3 15 Số hạng chứa x3 khai triển x 1 là: C41 (3 x )3 108 x Số hạng chứa x3 khai triển x 1 là: C74 x 35 x Vậy hệ số x3 đa thức P(x) là: – 108 + 35 = - 65 n k n n 1 2) Ta có: x ( 1)k Cnk x n k ( 1)k Cnk x n 2k x Theo giả thiết ta có: x C C C 38 k 0 n n Điều kiện: n N n k 0 n n(n 1) 28 n 3n 54 15 Lop12.net (16) Chuyên đề đại số tổ hợp Phương trình có nghiệm n = thoả mãn điều kiện Khi đó số hạng thứ khai triển là: ( 1)4 C94 x 2.4 126 x 10 k n n 1 3) Ta có: x ( 1)k C10k (2 x )10 k ( 1)k 210 k C10k x10 2k x x k 0 k 0 Do đó số hạng không chứa x tương ứng với 10 2k k Vậy số hạng cần tìm là: ( 1)25.C105 8064 4) Khai triển x xy gồm 16 hạng tử: 15 Số hạng tổng quát khai triển là: C15k ( x )15 k ( xy )k C15k x 45 2k y k a) Hai hạng tử chính khai triển là số hạng thứ và thứ dãy: C15 x 45 2.7 y 6435.x 31.y ;C15 x 45 2.8 y 6435.x 29 y b) Hạng tử chứa x 21y 12 tương ứng với k = 12 Vậy hệ số hạng tử đó là: C1512 455 16 Lop12.net (17)