Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ I: SỬ DỤNG CÁC PHÁP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP Tính tích phân sau:
Bài 1:
2
4 3 1
1 x x dx
Bài 2: π
6
π
4
4 sin22x dx Bài 3:
0
x3dx
x2+1 Bài 4:
2
xdx
√x −1
Bài 5:
0
π
2
2sinx(sin2x −1)dx 1+cosx
Bài 6:
x+1¿3 ¿ ¿
x2dx ¿
0
¿
Bài 7:
0
e3xdx
ex +1 Bài 8:
2
dx
x2(x −1
) Bài 9:
1
x(2√x4−1+1)dx
√x2
+1 Bài 10:
0
(3x2−3)dx (x2+1)(x2+3x+1) Bài 11:
1
e
x3+2+lnx
x dx
Bài 12:
√2
x3+x2− x+1 x4−2x2+1 dx
Bài 13:
e2x−1¿2 ¿ ¿
(e3x+ex)dx
¿
1 lne
¿
Bài 14: π
4
π
3
(tanx+cotx)2dx Bài 15:
1
2x√x −2√x+ln(1+√x)
2√x(1+√x) dx
Bài 16:
1
√x+4x√x+ln√x
2x dx Bài 17:
π
4
π
2
cotx[1+ln(sinx)]dx
Bài 18:
0
x+ln(x+√x2+1)
√x2+1 dx Bài 19:
1
x2−1
2x(x2+1)dx Bài 20:
0
e2x+ex ln(ex+1)−1 ex+1 dx Bài 21:
e e2
ln3x+1 xln3x dx Bài 22:
π
4
π
3
dx sin4x
Bài 23:
2 sinx+cosx¿2 ¿ ¿ dx
¿
0
π
4
¿
Bài 24:
0
π
3
sin xdx 2sin2x
+3 cos2x Bài 25:
−1
1 4− x2ln
2+x
2− xdx Bài 26:
0
π
3
sin 3xcos xdx
Bài 27: π
6
π
4
4+sin32x
sin22x dx Bài 28:
0
π
4
sin 2x√1+sin2xdx Bài 29:
0
π
4
sinx+√1+tanx
cos2x dx Bài 30:
0
π
4
(2)Bài 31:
0
π
6
dx
1−sin 2x Bài 32:
0
π
2
dx 1+sinx Bài 33:
π
6
π
4
1+cos 2x
sin 2x dx
Bài 34:
1− x¿11dx
2x¿
0
¿
Bài 35:
0
π
2
2sin3xdx 1+cosx Bài 36:
0
(4x2− x+1)dx x3
+1 Bài 37:
0
(x4+1)dx x6+1 Bài 38:
1 2
1 ln(1 )
0
x
x dx
x
Bài 39:
0
(ex− e− x)ln(ex+e− x) ex+e− x dx Bài 40:
π
6
π
4
ln(tanx)
sin 2x dx
Bài 41:
2 6 6
sin cos
0 x x dx
Bài 42:
0
π
6
cos4xdx Bài 43:
0
π
6
cos3xdx
Bài 44:
0
π
4
(sin4x −cos4x)dx Bài 45:
0
π
cos3xcosx sinx 2dx
Bài 46: π
4
π
3
(tanx −2 cotx)2dx
Bài 47:
4 2
4
0 tg x tg x dx
Bài 48:
0
π
4
1
cos2x√tanx+3 dx Bài 49:
0
x6(1− x7)dx Bài 50:
0
π
2
sin 2x(3−cos2x)5dx
Bài 51:
0
π
6
(2 cos2x −1)dx 1−sin 2x
Bài 52:
1+sin 3x¿2 ¿ ¿
(4 cos2x −3)cos xdx
¿
0
π
6
¿
Bài 53:
0
π
2
sinx(ecosx
+sinx)dx Bài 54:
−1
8x −4
(x+2)(x2+1)dx Bài 55:
0
π
2
sin xdx 1+sinx Bài 56:
π
4
π
3
1
sin2x cos2x dx Bài 57:
0
π
2
sin xdx cosx+sinx Bài 58:
π
6
π
4
dx sin 2x Bài 59:
0
π
2
sin3x(1+cosx)dx Bài 60:
0
π
2
cos4x
(3)CHUYÊN ĐỀ II: ĐỔI BIẾN SỐ Tính tích phân sau:
Bài 1:
√2
√3
dx
x√x2−1
Bài 2:
1
x3+x2+1 x4+1 dx Bài 3:
0
e3xdx
e2x+1 Bài 4:
1
√3
dx
x√x2+1 Bài 5:
1
√2
x3+x2−2
x4+4 dx Bài 6:
0 13
x −2
3
√2x+1dx Bài 7:
0
π
3
sin xdx
cos2x −cosx −6
Bài 8:
0
(2x+1)dx
√x2+4 Bài 9:
1
√3
(x −1)dx
√4− x2 Bài 10:
√2
x+1
√x2−1dx
Bài 11:
0
(x+1)dx x2+4 Bài 12:
0
π
2
cosx.esinxdx
Bài 13:
0
π
3
(ecosx
+√4+3 cosx)sin xdx Bài 14:
1
e
lnx√1+ln2x
x dx
Bài 15:
1
e
lnx√1+lnx
x dx
Bài 16:
0
π
4
(sin3x −tanx)cos2xdx
Bài 17: π
6
π
4
(cotx+ sinx
1+3 cosx)dx
Bài 34: π
3
π
2
dx sinx
Bài 18: π
4
π
3
(sin14x+
1
cos4x)
Bài 19:
0
(3x5+x4+1)dx x6+1 Bài 20:
1
√3
4x3+x2+2x+1 x4+x2+1 dx Bài 21:
1 1+√5
2
4x3
+x2−2x+1 x4− x2+1 dx Bài 22:
3 2√5
dx
x√x2+16 Bài 23:
−1
(x4+x)dx x2
+1 Bài 24:
−1
(x4+tanx)dx x2
+1 Bài 25:
− π
2
π
2
sin3xdx 1+cos2x Bài 26:
−1
xdx
x10+1 Bài 27:
− π
4
π
4
sin3xdx 1+cosx Bài 28:
0
√7
x3 3√1+x2dx Bài 29:
0
(2x+2)dx x2+3x+2 Bài 30:
1
√3
dx
x4
(x2+1) Bài 31:
x −3¿10dx
x2¿
3
¿
Bài 32:
x+1¿4 ¿ ¿
x3dx ¿
0
¿
Bài 33:
0 ln
dx
(4)Bài 35:
0
π
4
dx cos6x
Bài 36:
0
π
2
sin 2x[(1+sin2x)2+(1+cosx)2]dx Bài 37:
1
e
lnx(1+√4+ln2x)dx x
Bài 38:
0
π
xcos2x sin xdx
Bài 39:
0
π
xsinx
1+sin2xdx Bài 40:
0
π
xsinx
1+cos2xdx Bài 41:
0
π
6
tan2xdx
cos 2x Bài 42:
0
π
2
cos22x sin xdx
Bài 43:
1−sinx¿ncos xdx(n∈N)
¿
0
π
2
¿
Bài 44:
0
π
2
sin 4x
sin4x+cos4x dx Bài 45:
0
π x
1+sinxdx Bài 46:
0
π
2
cosx.esinxdx
Bài 47: π
3 2π
3
xsin xdx
Bài 48:
0
π
xcos2xdx
Bài 49:
0
π
2
(sin 2x+cosx)√2+sinxdx
Bài 50:
0
π
2
sin 2x+cosx
√4−3sinx dx Bài 51:
0
π
2
3 cosx(1−sinx)
2+√1+3 sinx dx Bài 52:
−1
2x3
+5x2+8x+4 (x2
+4) (x2
+2x+4)dx Bài 53:
−π
2
(ecosx
+sin2x −2 sinx)sin xdx
Bài 54:
1
e e3
√1+lnx lnx
x dx Bài 55:
1
e e
√1+lnx ln2x
x dx
Bài 56:
√3
(x2
+3)dx x√x3
+1 Bài 57:
1
√2
x3
1+√x2−1
dx Bài 58:
0
4
√2xdx
(1+√32x)2 Bài 59:
0
x+1
x2+4dx Bài 60:
0
x7
(1− x4)dx
Tổng quát :
1 2n-1 n m
x (1-x ) dx
0 với m,n N
Bài 61:
1
dx
x(xm+1) Bài 62:
0
π
2
cos xdx √2+cos 2x Bài 63:
0
π
2
sin xdx sinx+cosx
CHUYÊN ĐỀ III : TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Tính tích phân sau:
Bài 1: π
4
π
2
xcosx
sin2x dx
Bài 18:
1
e
lnx
x2 dx Bài 19:
e
ln2xdx
Bài 20:
0
(5)Bài 2:
3 3
cos
x dx
Bài 3:
0
π2
sin√xdx Bài 4:
1
√xln xdx
Bài 5:
0
x.e2xdx
Bài 6: − π
2
π
2
x2sin xdx Bài 7:
0
π
x2cos xdx Bài 8:
0
x 2xdx
Bài 9:
0
π
4
(2x+1) sin2xdx Bài 10:
1
e
xln2xdx
Bài 11:
1
xlog3xdx Bài 12:
0
π
4
x
cos2x dx Bài 13:
π
6
π
4
xsinx
cos2x dx Bài 14:
0
.exln(ex+1)dx Bài 15:
π
6
π
4
ln(cosx)
sin2x dx
Bài 16:
0
1
(x2+1)2
dx
Bài 17:
1
eπ
sin(lnx)dx
Bài 36: π
6
π
4
cosx ln(tanx)dx
Bài 37:
0
π
3
ln(cosx) cos2x dx
Bài 21: π
6
π
3
x
sin2x dx
Bài 22:
0
π
2
xcos2xdx
Bài 23: e e2
lnx
x3 dx Bài 24:
0
xln(x2
+1)dx Bài 25:
0
π
4
xtan2xdx
Bài 26:
1
(2x+1)ln(x2+x+2)dx
Bài 27:
0
π
2
cosxln(1+sinx)dx Bài 28:
0
π
2
sinxln(1+cosx)dx
Bài 29:
0
√3
ln(x+√1+x2)dx Bài 30:
0
x2.exdx
Bài 31:
0
π
2
exsin xdx Bài 32:
0
x ln1+x
2
1− x2dx
Bài 33:
0
x3.ex2
dx
Bài 34:
0
√x.e√xdx
Bài 35: e e2
(
ln2x−
1
lnx)dx Bài 43:
0
π
2
esinxsin xdx
Bài 44:
0
π
4
(6)Bài 38:
0
x.ex (x+1)2dx Bài 39:
0
x2
√x2+1
dx
Bài 40:
0
e4x
√e2x+1
dx
Bài 41:
1
(2x+1)ln xdx Bài 42:
0
π
4
x+sin 2x
1+cos 2xdx
Bài 45:
0
π
xcos2xdx
Bài 46: π
3 2π
3
xsin xdx
Bài 47:
0
π
x2(e❑−x
+cos 2x)dx Bài 48:
0
√e−1
x ln(1+x2)dx Bài 49:
0 ln
(2e2x+ex)xdx
CHUYÊN ĐỀ IV: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ PHƯƠNG PHÁP: + Giả sử ta phải tính tích phân I.
+ Ta đưa vào tích phân phụ J cho việc tính I + J thực dễ dàng. + Tính I+J I-J
(7)Bài 1: I =
0
π
2
sinnxdx cosnx
+sinnx
J =
0
π
2
cosnxdx cosnx
+sinnx Bài 2:
0
π
6
cos2xdx
cos2x Bài 3:
π
2 3π
4
cos2xdx
sinx+cosx Bài 4:
0
π
2
sin xdx sinx+cosx Bài 5:
0
π
x2sin2xdx
Bài 6:
0
π
4
dx 1+tanx Bài 7:
0
exdx
ex+e− x Bài 8:
0
π
2
exsin2xdx
Bài 9:
0
π
6
sin2x
cos 2x dx Bài 10:
0
π
2
sin4xcos xdx cos3x+sin3x
tổng quát
0
π
2
sinn+1xcos xdx
cosnx+sinnx ;(n∈Z)
CHUYÊN ĐỀ V: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ PHƯƠNG PHÁP : Giả sử phải tính tích phân I =
α β
f(x)dx ,trong :
f(x) =
m m-1
m m-1
m n
n n-1
n n-1
a x +a x + +a x+a
P(x) = ;(a ,b 0)
Q(x) b x +b x + +b x+b
Khi m n chia P(x) cho Q(x) để tổng đa thức với phân thức thực (phân thức đúng)
(8)Vì đa thức bậc n với hệ số thực Q(x) ln phân tích thành tích thừa số nhị thức bậc tam thức bậc hai vơ nghiệm có thừa số trùng Do phân thức ta ý đến bốn dạng phân thức sau :
Dạng I: A x-a
Dạng II : A
k (x-a)
Dạng III : Ax+B x +px+q
Dạng IV: Ax+B
k (x +px+q)
Trong k N ; k 2và A,B,a,p,q R ; p2- 4q < (tức x2+px+q vô nghiệm).
Một phân thức phân tích thành tổng phân thức nêu (Dùng phương pháp đồng hai đa thức)
Tổng quát cho cách phân tích :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P x P x
Q x x a x b x pxq x lx s ( 2)2 ( )
A A A
x a x a x a
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
B M x N
B B M x N P x Q P x Q
x b x b x b x px q x px q x lx s x lx s
Cách tính tích phân phân thức dạng :
Dạng xA dx A x a ca ln
Dạng
1
( ) ( ) ( )
1
( )
A dx A x a kd x a A x a k c
k k
x a
Dạng 2 2
A x B dx b du b dt u
x px q t a
với b
1,b2,a số
Dạng ( ) ( 2)
A x B b du b dt
k k k
x px q u t a
Để tính Ik = ( 2)
dt k t a
ta có : I
k = ( 2)
dt k t a
2 2
( )
1
2 ( 2) ( 2)
t a t dt dt
k k
a t a a t a
1 .
2 2
2 ( )
tdt t
k
a t a
1
1
2 2 2( 1) ( 2)
t
I I
k k k
a a k t a
0 1
I A A I
k k
(1)
Dựa vào (1) ta tính Ik qua Ik-1 , Ik-1 qua Ik-2 ,…,I2 qua I1.Trong I1= 2
dt t a
Chú ý :
1 .
2 2
2 ( )
tdt t
k
a t a
1
1
2 2
2 ( 1) ( )
t I
k k
a k t a
tính nhờ phương pháp tích phân phần
Tính tích phân sau: Bài 1:
1
(9)Bài 2:
x2+4¿2 ¿ ¿ dx
¿
0
¿
Bài 3:
x+1¿4 ¿
x¿ dx
¿
1
¿
Bài 4:
0
(x+2)dx
x2+1 Bài 5:
0
(4x −2)dx
(x+2)(x2+1) Bài 6:
3 2√3+1
(2x2−3x −3)dx (x −1)(x2−2x+5)
Bài 7: x2
+1¿2 ¿ ¿ dx
¿
0
¿
Bài 8:
x2+1¿2 ¿ ¿
(3x+4)dx
¿
0
¿
Bài 9:
2
3x2
+3x+3 x3−3x+2 dx
Bài 10:
x −1¿3 ¿ ¿
x2+x+1
¿
2
¿
Bài 11:
0
x3dx
x8−2
Bài 12:
1
√6+√2
(x2+1)dx x4+1 Bài 13:
1
√3
(10)Bài 14:
0
(x2−2)dx x4+3x2+4 Bài 15:
1
(x2−1)dx
x4+1 Dạng tổng quát : α β
x2± a
x4±bx2+a2dx
CHUYÊN ĐỀ VI: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP
A)Tích phân dạng: F(sinx;cosx)dx
Trong F(sinx;cosx) phân thức hữu tỉ sinx cosx
1) Nếu F(sinx;cosx)là hàm số chẵn sinx cosx tức
F(sinx;cosx) = F(-sinx;-cosx) đặt t = tanx (hay t = cotx) 2) Nếu F(sinx;cosx)là hàm số lẻ sinx tức là:
F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) đặt t = cosx 3) Nếu F(sinx;cosx)là hàm số lẻ cosx tức là: F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) đặt t = sinx
4) Nếu F(sinx;cosx) khơng thoả mãn ba dạng đặt t = tanx/2 biểu diễn Sinx ;cosx theo t bỡi công thức :
2t sinx=
1+t
2
1-t cosx=
1+t
B)Tích phân dạng : sin x.cos xdxm n với m ,n∈Z
1) Nếu có hai số m,n lẻ,chẳng hạn : + Nếu m lẻ (có thể xem hàm số lẻ theo sinx) đặt t = cosx + Nếu n lẻ (Có thể cem hàm số lẻ theo cosx) đặt t = sinx
2) Nếu hai số m,n chẵn dương dùng cơng thức hạ bậc sau để biến đổi hàm số dấu tích phân:
sinxcosx=1
2sin 2x ; sin
2x=1−cos 2x
2 ; cos
2x=1+cos 2x
2
3) Nếu m,n chẵn có số âm (có thể xem hàm số chẵn theo sinx cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
C)Tích phân dạng : cos ax cos bxdx ; sin ax cos bxdx ; sin ax sin bxdx
Dùng cơng thức lượng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào công thức: cos ax cos bx=1
2[cos(a+b)x −cos(a −b)x]
sin ax sin bx=−1
2[cos(a+b)x −cos(a − b)x]
sin ax sin bx=1
2[sin(a+b)+sin(a −b)x]
D)Một số phương pháp giải tích phân đặc biệt: 1)Nếu f(x) hàm số lẻ
− a a
(11)2)Nếu hàm f liên tục đoạn [a;b] f(a+b-x) = f(x) a b
xf(x)dx=a+b
2 a
b
f(x)dx ( thường gặp :
0
π
xf(sinx)dx=π
20
π
(sinx)dx )
Cách tính loại tích phân là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t = π − x ) 3)Cho a > ,f hàm số chẵn liên tục xác định R :
− b b
f(x)dx ax
+1 = 2−b
b
f(x)dx(
0
b
f(x)dx) Cách tính loại tích phân là: đổi biến x = -t Chú ý: f hàm số chẵn nên
− b b
f(x)dx=2
0
b
f(x)dx Cách chứng minh điều
như sau:
f (x)dx+¿
0
b
f(x)dx
− b b
f(x)dx= − b
0
¿
tính − b
0
f(x)dx cách đặt x= -t
Tính tích phân sau: Bài 1:
0
π
4
dx cos6x
Bài 2: π
6
π
2
dx sin4x
Bài 3:
0
π
4
tg4xdx
Bài 4: π
3
π
2
cos3dx sin4x
Bài 5:
0
π
2
(sin4x+sin5x)dx Bài 6:
0
π
4
(tan4x+tan3x)dx Bài 7:
0
π
2
(sin3x+sin2x)cos2xdx Bài 8:
0
π
4
(cos2x
1+sinxcosx+
sin3x
cosx )dx Bài 9:
0
π
sin 3x(cosx+sin 5x)dx Bài 10:
0
π
3
1+sinx 1−sinxdx
Bài 14: π
4
π
3
dx
sin3xcos3x
Bài 15:
0 2π
(sin2x+√1+sinx)dx Bài 16:
0
π
2
dx
1+sinx+cosx Bài 17:
0
π
2
4 sin3xdx
1+cosx Bài 18:
0
π
xsin3x
1+cos2xdx Bài 19:
0
π
xsinx
1+sin2xdx Bài 20:
−π2 π
2
x2
+cosx
2x
+1 dx Bài 21:
−π
4
π
4
sin4x+cos4x
3x+1 dx Bài 22:
0
π
4
dx 1+tanx Bài 23:
0
π
3
tanx
cos 2x dx Bài 24:
0
π
4
(12)Bài 11: π
6
π
2
(1+cosx)dx
sinx Bài 12:
0
π
4
sin2x
cos4x dx Bài 13:
π
6
π
3
dx
sin4xcos4x
Bài 27: π
4
π
3
dx
sinxcos3x Bài 28:
0
π
4
sinx
cosx√1+sin2x
dx
Bài 29: π
6
π
3
dx tg4x
Bài 30:
0
π
2
cos3xcos3 xdx
Bài 31:
0
π
2
sin2xcos xdx
Bài 32:
0
π
2
dx
3+2 cosx
Bài 25:
0
π
2
dx 2+cosx Bài 26:
0
π
4
sin 2x
cos4x+sin4x dx
Bài 33:
0
π
2
4 cos3xdx 1+sinx
Bài 34:
0
π
2
cosxcos2xsin xdx
Bài 35:
0
π
xsinx
7+cos 2xdx Bài 36:
0
π2
4
xsin√x Bài 37:
0
π
2
(sinx −cosx+1)dx sinx+2 cosx+3 Bài 38:
−1
x6+sin3x
(13)CHUN ĐỀ VII: TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ PHƯƠNG PHÁP
Gọi F là hàm hữu tỉ theo biến x
1)VỚI TÍCH PHÂN CĨ DẠNG : I = F(x ,√n xp,m√xq, ,√r xs)dx
Cách giải : Ở số thức n,m,…r Gọi k = BCNN(n,m,…,r) Đổi biến số x = tk
2) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = F(x ,√nax+b
cx+d)dx Cách giải : Đổi biến số t = √nax+b
cx+d
3) VỚI TÍCH PHÂN CĨ DẠNG : I = F(x ,√ax2+bx+c)dx Cách giải thứ : Đổi biến số t = √ax2+bx+c
Cách giải thứ hai : Biến đổi √ax2+bx+c theo ba kết sau :
√ax2+bx+c = √A2− u2 (1)
√ax2
+bx+c = √A2+u2 (2)
√ax2
+bx+c = √u2− A2 (3) (Trong A số dương ; u hàm số x )
Với (1) đổi biến u = Acost Với t ≤ π (hoặc u = Asint , với − π
2 ≤t ≤
π
2 )
Với (2) đổi biến u = Atant Với − π
2 <t<
π
2
Với (3) đổi biến u = A/cost Với t ≤ π t π
2
4) VỚI TÍCH PHÂN CĨ DẠNG : I = (αx+β)
(mx+n)√ax2+bx+cdx . Cách giải : Đổi biến số t =
mx+n Tính tích phân sau:
Bài 1:
1 81
√x −√8 x x(√4 x+1)dx Bài 2:
0 15
dx
√x+1+√3 x+1
Bài 3:
1
√3
dx
x√x2+1 Bài 4:
1
dx
x√2x2
+2x+1 Bài 5:
√10
√17
dx
(x+2)√x2+4x+5
Bài 6:
6 11
√x −2 dx
√x −2−1
Bài 7:
0
dx
x+√1− x2 Bài 8:
1
dx
√x+1+√x −1
Bài 9:
1
1
x√
1− x
(14)Bài 11:
0 15
xdx
√x+1+√3 x+1
Bài 12:
0
(x+1)√x2+2x+2 dx Bài 13:
1
dx
x√2x − x2 Bài 14:
−2
dx
(x+1)√3+2x − x2 Bài 15:
0
xdx
√4− x4
Bài 16:
0
x2dx
√4− x6
Tổng quát :
0
n
√a
2
xn −1dx
√a2− x2n
với n∈N ;n ≥2 Bài 17:
0
dx
(x2+1)√1+x2 Bài 18:
1
e
ln xdx
x√1+lnx Bài 19:
2√6 2√2
dx
x√(x2−2)3
Bài 20:
1
√1− x2dx
x6 Bài 21:
1 2√3
3
√x2−1 dx
x Bài 22:
1
√5
√x2−1 dx
x3 Bài 23:
1
√3
√1+x2dx x2
Bài 24:
1− x2
¿5 ¿ ¿
√¿
0
¿
Bài 25:
0
x3√1− x2dx
Bài 26:
√2
dx
x5√x2−1
Bài 10:
x+1¿2 ¿
(x −1)¿
3
√¿ dx
¿
¿
Bài 27:
0
x5
√1+x2dx Bài 28:
0
√3
x2
√3− x2dx
Bài 29: −1
√1+x
1− xdx Bài 30:
0
√3
x3dx
√x2+1 Bài 31:
1
2 xdx
x+√x2−1
Bài 32:
√2
√x2−1 dx
Bài 33:
1
√2
√x2−1 dx
Bài 34:
0
xdx
√2+4x Bài 35:
2
dx
√5+4x − x2
Chú ý: Với tích phân câu 32 &33 dùng cơng thức sau để giải :
dx
√x2
+k