Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh TÍCH PHÂN A ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục [ a; b] Giả sử F(x) ngun hàm hàm số f(x) thì: b ∫ f ( x )dx = [ F ( x )]a = F (b) − F (a) b ( Cơng thức NewTon - Leiptnitz) a Các tính chất tích phân: a • • • • • Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định a : anh Tính chất 2: a b a ∫ f ( x )dx = −∫ f ( x)dx a b b ∫ cdx = c(b − a) Tính chất 3: Với c số a Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục [ a; b] f ( x ) ≥ lê b ∫ f ( x )dx ≥ a Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục [ a; b] f ( x ) ≥ g( x ) ,∀x ∈ a;b b Thì ∫ a • ∫ f ( x )dx = b f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx a Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục [ a; b] m ≤ f ( x ) ≤ M ( m,M hai số) b văn m(b − a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a) a • Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục [ a; b] b b b a a ∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx a • Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục [ a; b] k số b b a a ∫ k f ( x )dx = k.∫ f ( x )dx • Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục [ a; b] c số b ∫ a • c b a c f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx Tính chất 10: Tích phân hàm số [ a; b] cho trước khơng phụ thuộc vào biến số , b nghĩa : ∫ a http://www.anhlevan.tk b b a a f ( x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh B CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : b 1) DẠNG 1: Tính I = ∫ f[u(x)].u' (x)dx cách đặt t = u(x) a Cơng thức đổi biến số dạng 1: b u (b ) a u(a) ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (1) Cách thực hiện: anh t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x)dx x=b t = u (b) ⇒ Bước 2: Đổi cận : x=a t = u (a) Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta Bước 1: Đặt b u (b ) a u (a) I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) b 2) DẠNG 2: Tính I = ∫ f(x)dx cách đặt x = ϕ(t) a Cơng thức đổi biến số dạng 2: b β a α lê I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt Cách thực hiện: x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt x=b t=β ⇒ Bước 2: Đổi cận : x=a t =α Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta Bước 1: Đặt b β a α I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Chú ý: • • • văn Nếu f(x) có chứa: −π π (a − x )n đặt x = a sin t với t ∈ ; , x = a cos t với t ∈ [0; π] 2 −π π (a + x )n đặt x = a tan t với t ∈ ; , x = a cot t với t ∈ (0; π) 2 n a a x = (x2 − a ) đặt x = sin t cos t http://www.anhlevan.tk Giải tích 12NC II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Cơng thức tích phân phần: b Thầy: Lê Văn Ánh b ∫ u ( x).v' ( x)dx = [u ( x).v( x)]a − ∫ v( x).u ' ( x)dx b a a b b ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu Hay: b a a Cách thực hiện: Bước 1: Đặt anh du = (?)'.dx u = ? ⇒ dv = (còn lại ) v ∈ ∫ (còn lại) (thường chọn C = 0) b b Bước 2: Thay vào cơng thức tích phân từng phần : ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu a Bước 3: Tính [u.v ] b a b ∫ vdu a b Chú ý: Giả sử cần tính tích phân ∫ f(x)g(x)dx ta thực a b a lê văn Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm ngun hàm v(x) vi phân du = u/ (x)dx b khơng q phức tạp Hơn nữa, tích phân ∫ vdu phải tính a Đặc biệt: b i/ Nếu gặp b b ∫ P(x) sin axdx, ∫ P(x) cos axdx, ∫ e a a ax P(x)dx với P(x) đa thức đặt u = P(x) a b ii/ Nếu gặp ∫ P(x).ln (ax + b)dx n a b iii/ Nếu gặp ∫e đặt u = ln n (ax + b) b αx sin axdx , a http://www.anhlevan.tk ∫e αx cos axdx ta tính hai lần phần cách đặt u = LG a Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh C PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC Dạng bậc lẻ với hàm sin Phương pháp chung: Đặt t = cosx dt = - sinx.dx, sau đưa tích phân ban đầu tích phân theo biến t Chú ý: sin2 x = − cos2 x = − t2 (sin x)2n+1 = (sin2 x)n sin x = (1 − t2 )n sin x π Ví dụ (bậc sin lẻ) Tính tích phân I = ∫ cos anh x sin xdx Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx π Đổi cận: x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = π ⇒I= ∫ cos Giải x(1 − cos x) sin xdx = −∫ t (1 − t )dt = 2 2 Dạng bậc lẻ với hàm cos Phương pháp chung: ∫ t3 t5 (t − t )dt = − = 3 0 15 lê Đặt t = sinx dt = cosx.dx, sau đưa tích phân ban đầu tích phân theo biến t Chú ý: cos2 x = sin2 x = − t2 văn (cos x)2n+1 = (cos2 x)n cosx = (1 − t2 )n cosx π Ví dụ (bậc cosin lẻ) Tính tích phân I = ∫ cos xdx Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Đổi cận: x = ⇒ t = 0, x = π ⇒I= ∫ π cos xdx = ∫ Giải π ⇒t=1 (1 − sin x) cos xdx = 2 ∫ 2t3 t5 + = (1 − t2 )2 dt = t − 0 15 Dạng bậc chẵn với hàm sin cos Phương pháp chung: Sử dụng cơng thức hạ bậc Chú ý: + cos 2x − cos 2x ; sin2 x = 2 n 2n sin x cos x = sin 2x ; sin x = sin2 x cos2 x = ( http://www.anhlevan.tk ) Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh π Ví dụ (bậc sin cosin chẵn) Tính tích phân I = ∫ cos x sin2 xdx π I= ∫ cos Giải π x sin2 xdx = π π 1 cos2 x sin2 2xdx = (1 − cos 4x)dx + ∫ cos 2x sin2 2xdx ∫ ∫ 16 π π π 2 x 1 sin 2x π = (1 − cos 4x)dx + sin 2xd(sin 2x) = − + sin 4x = ∫ ∫ 16 64 16 24 32 π Ví dụ Tính tích phân I = ∫ dx cos x + sin x + ( ) Giải x x 2dt ⇒ dt = tg2 + dx ⇒ dx = 2 2 t +1 π Đổi cận: x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = t = tg Đặt: ⇒I= ∫ 1 − t2 2t + +1 1+ t + t2 Dạng liên kết π Ví dụ Tính tích phân I = ∫ 2dt = + t2 ∫ anh dt = ln t + t+1 ⇒ I = −∫ π (π − t)dt = sin(π − t) + π π = ∫ dt ( sin t t + cos 2 ) π ( π ) vă( n) π dt π dt π t ∫ sin t + − sin t + dt = π∫ sin t + − I ⇒ I = ∫ sin t + 0 t π π π d − π π t π π π dt = ∫ = tg − = π = ∫ cos2 t − π 2 4 cos2 t − π 4 Vậy I = π ( ( ) ( Tổng qt: π ∫ http://www.anhlevan.tk = ln lê xdx sin x + Giải Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt Đổi cận: x = ⇒ t = π, x = π ⇒ t = 0 π π xf(sin x)dx = ∫ f(sin x)dx ) ) Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh π Ví dụ Tính tích phân I = sin2007 x dx sin2007 x + cos2007 x ∫ Giải π Đặt x = − t ⇒ dx = −dt π π Đổi cận: x = ⇒ t = , x = ⇒ t = 2 π 2007 sin −t ⇒ I = −∫ dx = π π π sin 2007 − t + cos2007 −t 2 ( π anh Mặt khác I + J = π I − 3J = ∫ lê • ∫ sin x + π ) π π ∫ π ⇒ I+J = ∫ cos2007 t dx = J (1) sin2007 t + cos2007 t ∫ sin2 x dx J = sin x + cos x ∫ π cos n x π dx = , n ∈ Z+ n n sin x + cos x π ∫ cos2 x dx sin x + cos x Giải cos x π dx = ∫ (sin x − ( cos x)dx = − cos x − sin x ) π = − (1) π dx dx dx = ∫ sin x + π sin x + cos x π Đặt t = x + ⇒ dt = dx π π π Đổi cận: x = ⇒ t = , x = ⇒ t = I+J= π (2) Từ (1) (2) suy I = sin x dx = n sin x + cosn x sin x − cos x ( n Ví dụ Tính tích phân I = • π ∫ dx = ) Tổng qt: π ) ( văn ( π π 3 ) π ( ) d(cos t) dt sin tdt 1 1 = ∫ = ∫ = ∫ − d(cos t) 2 ∫ π sin t π sin t π cos t − π cos t − cos t + = cos t − ln cos t + π π 3 = ln (2) 1− I = I − 3J = − ln + 16 ⇔ Từ (1) (2) ⇒ I + J = ln 1− ln − J = 16 1− 1− Vậy I = ln + , J= ln − 16 16 http://www.anhlevan.tk Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh Ví dụ Tính tích phân I = ln(1 + x) dx + x2 ∫ Giải Đặt x = tgt ⇒ dx = (1 + tg2 t)dt Đổi cận: x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = π ⇒I= ∫ ln(1 + tgt) ( + tg2 t ) dt = + tg t π π ∫ ln(1 + tgt)dt π Đặt t = − u ⇒ dt = −du π π Đổi cận: t = ⇒ u = , t = ⇒ u = 4 π ⇒I= 0 π = ∫ anh π ∫ ln(1 + tgt)dt = −∫ ln + tg ( − u ) du − tgu ln + du = + tgu π Ví dụ Tính tích phân I = π π π π π ln du = ∫ ln 2du − ∫ ln ( + tgu ) du = ln − I + tgu 0 π Vậy I = ln ∫ lê cos x dx x +1 ∫ 2007 π − Giải Đặt x = −t ⇒ dx = −dt π π π π Đổi cận: x = − ⇒ t = , x = ⇒ t = − 4 4 − π ⇒ I = −∫ π π = cos(−t) dt = 2007−t + π = − t π ∫ ( − 2007 π − π t +1 ) cos tdt π ∫ cos tdt − I ⇒ I = ∫ cos tdt = ∫ cos tdt = − Tổng qt: 2007 t cos t ∫π + 2007 t dt (1 + 2007 ) − cos tdt = + 2007 t π ∫ − π π − π văn Với a > , α > , hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [ −α; α ] α f(x) ∫ a x + dx = −α http://www.anhlevan.tk α ∫ f(x)dx ... Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh C PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC Dạng bậc lẻ với hàm sin Phương pháp chung: Đặt t = cosx dt = - sinx.dx, sau đưa tích phân ban đầu tích phân. .. (x2 − a ) đặt x = sin t cos t http://www.anhlevan.tk Giải tích 12NC II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Cơng thức tích phân phần: b Thầy: Lê Văn Ánh b ∫ u ( x).v' ( x)dx = [u... Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta Bước 1: Đặt b β a α I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Chú ý: • • • văn Nếu f(x) có chứa: −π π