Ôn tập Đại số 11 Chương 2: Tổ hợp và Xác suất32442

Chương 2: Tổ hợp Xác suất §1: HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN A LÝ THUYẾT Qui tắc cộng: Một cơng việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A cơng việc có m + n cách thực Qui tắc nhân: Một cơng việc bao gồm hai công đoạn A B Nếu cơng đoạn A có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn B cơng việc có m.n cách thực B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Các tốn sử dụng quy tắc cộng Phương pháp:  Đếm số phần tử tập hợp cách liệt kê phần tử tập hợp  Dựa vào tính chất phần tử, ta chia tập hợp cần đếm thành tập hợp rời Đếm số phần tử sử dụng quy tắc cộng Ví dụ 1: Từ chữ số 1,2,3 lập số tự nhiên gồm có: a) Ba chữ số khác b) Hai chữ số khác Ví dụ 2: Từ chữ số 1,2,3 lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau? Ví dụ 3: Có số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác thành lập từ chữ số 0,1,2,3,4,5? Dạng 2: tốn sử dụng quy tắc nhân Ví dụ 1: Cho thành phố A,B,C Biết từ thành phố A đến thành phố B có đường khác nhau, từ thành phố B đến thành phố C có đường khác Hỏi có cách từ A đến C mà phải qua B Ví dụ 2: a) Có số tự nhiên có chữ số ? b) Có số tự nhiên có chũa số đơi khác nhau? Ví dụ 3: Cho số A  25.33.54 a) Có số tự nhiên ước dương A b) Có số tự nhiên ước dương A2 chia hết cho A? Dạng 3: Các toán kết hợp quy tắc cộng quy tắc nhân Ví dụ 1: Trên giá sách có 14 sách, có sách tốn, sách văn sách ngoại ngữ Nếu chọn sách khác thể loại giá sách cho có cách chọn C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 học sinh nữ 15 học sinh nam a) Nhà trường cần chọn học sinh tham gia thi mơi trường Hỏi có cách chọn b) Hỏi có cách chọn hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện phải có nam nữ ThuVienDeThi.com Chương 2: Tổ hợp Xác suất Bài 2: Một trường THPT có học sinh giỏi lớp 10, học sinh giỏi lớp 11 học sinh giỏi lớp 12 Cần chọn học sinh để tham gia đội tuyển thi “ Đố vui để học” Hỏi có cách chọn khối có học sinh? Bài 3: a) Có số tự nhiên có chữ số b) Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 ta thành lập số tự nhiên có chữ số Hỏi có số tự nhiên có hai chữ số kề khác Bài 4: Một lớp gồm có 30 học sinh Cần chọn lớp trưởng, lớp phó thư ký Hỏi có cách chọn biết học sinh có khả làm lớp trưởng, làm lớp phó làm thư ký Bài 5: Có thành phố A,B,C,D Có đường từ A đến B, có đường từ B đến C, có đường từ A đến D đường từ B đến C Biết để từ A đến C phải qua B D Hỏi có tất cách khác để từ A đến C Bài 6: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 ta thành lập số tự nhiên gồm chữ số a) Hỏi có số đượ tạo thành? b) Hỏi có số có chữ số đơi khác nhau? c) Hỏi có số cho hai chữ số kề phải khác tính chẵn lẻ Bài 7: Hỏi có cách chọn hai đồ vật từ tập hợp có: a) đồ vật khác nhau? b) đồ vật khác c) đồ vật khác nhau? d) n đồ vật khác nhau? Bài 8: Một học sinh có sách toán khác sách văn khác Cần xếp sách thành dãy theo hàng ngang tủ sách a) Hỏi có cách xếp? b) Hỏi có cách xếp hai sách kề phải khác thể loại? Bài 9: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 cần lập số tự nhiên gồm chữ số a) Hỏi có số chia hết cho b) Hỏi có số mà chữ số khác thiết phải có mặt chữ số 1? Bài 10: Một bàn cờ vua có hình vng, cạnh chia thành ô, tổng cộng có 64 ô Một quân xe “ ăn trực tiếp” quân cột hàng với Giả sử bàn cờ có hai quân xe, hỏi có cách đặt hai quan xe bàn cờ cho chúng khơng ăn lẫn §2: HỐN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP I Hoán vị: Giai thừa: A LÝ THUYẾT n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = n! = (n–1)!n n! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) p! n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) (n  p )! Hoán vị (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n  1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự gọi hoán vị lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử Số hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử là: ThuVienDeThi.com Chương 2: Tổ hợp Xác suất Pn(n1, n2, …, nk) = n! n1 !n2 ! nk ! Hốn vị vịng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vịng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! II Chỉnh hợp: Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1  k  n) theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! Ank  n(n  1)(n  2) (n  k  1)  (n  k )!  Công thức cho trường hợp k = k = n  Khi k = n Ann = Pn = n! Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank  n k III Tổ hợp: Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1  k  n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Ak n! Cnk  n  Số tổ hợp chập k n phần tử: k ! k !(n  k )!  Qui ước: Cn = Tính chất: n  k  k 1 Cn0  Cnn  1; Cnk  Cnn  k ; Cnk  Cnk11  Cnk1 ; Cnk  Cn k Tổ hợp lặp: Cho tập A = a1 ; a2 ; ; an  số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử hợp gồm k phần tử, phần tử n phần tử A Cnk  Cnk k 1  Cnmk11 Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp:  Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: Ank  k !Cnk  Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: khơng có thứ tự  Những tốn mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp  Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k  n): Cnk + Không thứ tự, không hồn lại: + Có thứ tự, khơng hồn lại: Ank + Có thứ tự, có hồn lại: Ank B CÁC DẠNG BÀI TẬP ThuVienDeThi.com Chương 2: Tổ hợp Xác suất Dạng 1: Một số toán hoán vị Ví dụ 1: Cho chữ số 1,2,3,4,5 a) Hỏi lập số tự nhiên có chữ số khác b) Hỏi số tìm có số chẵn? c) Tìm tổng số tự nhiên tìm câu a Ví dụ 2: Một tổ có 10 học sinh có học sinh nam học sinh nữ Hỏi có cách xếp học sinh tổ: a) Thành hàng dọc cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau? b) Ngồi quanh bàn tròn cho nam, nữ ngồi xen kẻ nhau? Dạng 2: Một số toán chỉnh hợp Ví dụ 1: Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 người ta cần lập số tự nhiên gồm chữ số khác Hỏi có số thế? Tính tổng số tự nhiên tìm Ví dụ 2: Vào tháng năm 2007, tám đội bóng đá thuộc liên đồn bóng đá Đơng Nam Á (AFF) khởi tranh cúp vô địch, chia thành hai bảng: Bảng A gồm có Thái Lan, Malaixia, Mianma Philippin, bảng B gồm Việt Nam, Singapo, inddonexia Lào a) Ban tổ chức trao huy chương Vàng Bạc cho hai đội nhì ( khơng có tranh giải ba) Hỏi có khả trao hai huy chương cho hai đội đoạt giải nhì?(giả sử đội có trình độ tương đương) b) Theo dự đoán Lào Philippin hai đội yếu, khơng có khả vào bán kết Hỏi có khả xảy đội vào bán kết theo quy định bảng có hai đội, gồm đội bảng đội nhì bảng Ví dụ 3: Cho tập hợp X={0,1,2,3,4,5,6} Người ta thiết lập số tự nhiên gồm có chữ số khác từ chữ số tập X a) Hỏi lập số? b) Trong số câu a có số chia hết cho Dạng 3: Một số toán tổ hợp Ví dụ 1: Tại họp tổ chức Apec tổ chức Hà Nội vào tháng 12 năm 2006 có 21 đại biểu thành viên nước Trước họp, đại biểu chào hỏi bắt tay nhau, đại biểu bắt tay đại biểu khác lần Hỏi có bắt tay Ví dụ 2: Trong trường có học sinh giỏi lớp 12, học sinh giỏi lớp 11 học sinh giỏi lớp 10 Cần chọn học sinh giỏi để tham gia thi “ đố vui để học” nhân ngày Nhà giáo Việt Nam cho khối 12 có hai em khối 10, 11 có em Hỏi có cách chọn? Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng song song a b Trên đường thẳng a ta chọn 10 điểm phân biệt đường thẳng b ta chọn 11 điểm phân biệt a) Có hình thang tạo thành từ điểm nằm hai đường thẳng? b) Có tam giác tạo thành từ điểm nằm hai đường thẳng? Dạng 4: Chứng minh đẳng thức, BĐT số Hốn vị, Chĩnh hợp, Tổ hợp Ví dụ 1: Chứng minh (n  1) a) Cnk1  Cnk (n  k  1) 1 c)     1, n  A2 A3 An b) Ank  Ank1  kAnk11 n !  1.1! 2.2!  (n  1).(n  1)! Dạng 5: Giải phương trình, bất phương trình chứa Pn , Ank , Cnk ThuVienDeThi.com Chương 2: Tổ hợp Xác suất Ví dụ 1: Giải phương trình, bất phương trình sau ( n, k ẩn) 1 a) An5  30 An4 b) An2  An3  4C3k c)   Cn Cn An 1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình Cxy  Cxy  Ck C k 1 C k 1 a)  b) n 1  n 1  n Cx  66 Dạng 6: Bài tập tổng hợp phép đếm Ví dụ 1: Có hai đơn vị thi đấu bóng bàn tranh giải nhân ngày 20/11 Báo Giáo dụ thời đại Đội A có cầu thủ nữ, đội B có cầu thủ nữ Cần chọn đội cầu thủ để ghép cặp thi đấu với nhau, tính điểm trực tiếp trân đấu Hỏi có cách thực Ví dụ 2: Xếp sách vào kệ sách gồm ngăn, ngăn Hỏi có cách xếp? C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Hoán vị Bài 1: Có tem khác bì thư khác Hỏi có cách dán tem lên bì thư cho biết bì thư dán tem Bài 2: Cần xếp học sinh A, B, C, D, E thành dãy hàng ngang a) Hỏi có cách xếp? b) Hỏi có cách xếp cho hai học sinh A B đứng hai đầu hàng? Bài 3: Từ chữ số 1,2,3,4,5 lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, phải có mặt hai chữ số 2.? Bài 4: Cần xếp học sinh nữ học sinh nam thành hàng dọc a) Hỏi có cách xếp học sinh nữ ln đứng liền nhau? b) Hỏi có cách xếp học sinh đứng đầu hàng học nữ học sinh đứng cuối hàng học sinh nam? Bài 5: Có nữ sinh Huệ, Anh, Lan, Nhã nam sinh An, Bình, Khoa, Hải ngồi quanh bàn trịn có chỗ a) Hỏi có cách xếp biết nam nữ ngồi xen kẻ nhau? b) Hỏi có cách xếp biết nam nữ ngồi xen kẻ hai bạn Oanh Khoa không chịu ngồi cạnh nhau? Chỉnh hợp: Bài 6: Một lớp có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Cần chọn lớp trưởng, lớp phó thủ quỹ a) Hỏi có cách chọn? b) Hỏi có cách chọn lớp trưởng phải học sinh nam? Bài 7: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 ta lập số tự nhiên có chữ số khác Trong số tìm có số lẻ, số chẵn? Bài 8: Có số tự nhiên có chữ số khác thành lập từ chữ số 1,2,3,4,5,6? Bài 9: a) Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau? b) Chứng minh tổng số tự nhiên tìm câu a) chia hết cho 11111 Tổ hợp Bài 10: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm cần chọn học sinh để tham gia trồng Hỏi có cách chọn nếu: a) Không phân biệt nam, nữ? ThuVienDeThi.com Chương 2: Tổ hợp Xác suất b) Có học sinh nam học sinh nữ? c) Có nhiều học sinh nữ? Bài 11: Có 12 đội bóng đá tranh giải vơ địch quốc gia Trong vịng đấu loại, đội thi đấu với theo thể thức vòng tròn, hai đội bống 12 đội gặp trận, trận lượt trận lượt Hỏi có trận đấu vòng loại? Bài 12: Cho 15 điểm nằm mặt phẳng có điểm nằm đường thẳng, ngồi khơng có điểm khác thẳng hàng Hỏi có tam giác có đỉnh số 15 điểm cho? Bài 13: Một tập hợp gồm đường thẳng song song cắt tập hợp gồm n đường thẳng song song tạo 420 hình bình hành Tìm n? Bài 14: Cho tập hợp X có 20 phần tử Hỏi có cách chọn từ X tập có số phần tử lẻ? Bài 15: Có số tự nhiên có chữ số, cho số đó, chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước? Đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Bài 16: Chứng minh rằng: a) Cnk  Cnk11  Cnk21   Ckk11 (k  n) b) Ank1  Ank 1  k ( Ank11  Ank )  Ank1 (0  k  n) Bài 17: Giải phương trình, bất phương trình: a) An3  An23 b) An3  Cn21 c) An3  2Cn31  P2 Bài 18: Giải hệ phương trình sau: Cmn  Cmn 1 Cnm  Cnm  a)  b)   Am  20 Cn  153 Bài tập tổng hợp Bài 19: Ban văn nghệ lớp 11 C có nam sinh nữ sinh Cần chọn nam nữ để ghép thành cặp nam nữ trình diễn tiết mục thời trang Hỏi có cách chọn thỏa mãn u cầu tốn Bài 20: Có nam ca sĩ nữ ca sĩ Hỏi có cách chọn nam nữ ca sĩ để hát bì song ca nam nữ Bài 21: a) Cần chia 18 học sinh lớp thành nhóm sinh hoạt ( khơng cần đặt tên nhóm khơng quy thứ tự ) , nhóm có học sinh Hỏi có cách chia? b) Cần chia 18 học sinh lớp thành tổ 1,2,3 khác nhau, tổ có học sinh để tham gia làm vệ sinh trường địa điểm khác Hỏi có cách chia? Bài 22: Xét tập hợp số tự nhien gồm chữ số Hỏi có số chứa hai chữ số 9, chữ số khác có mặt lần? §3: CƠNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN A LÝ THUYẾT: Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n (a  b) n   Cnk a n  k b k k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk a n  k b k ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk  Cnn  k ThuVienDeThi.com Chương 2: Tổ hợp Xác suất 5) Cn0  Cnn  , Cnk 1  Cnk  Cnk1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: n (1  x) n  Cn0  Cn1 x   Cnk x k   Cnn x n   Cnk x k k 0 (1+x)n n 1 n = C x C x n n   C n n tập có n phần tử là: 2n (x–1)n = Cn0 x n  Cn1 x n 1   (1) n Cnn  Cn0  Cn1   Cnn  2n Suy ra: Số tập  Cn0  Cn1   (1) n Cnn  B CÁC DẠNG TOÁN: Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-Tơn Ví dụ 1: Khai triển nhị thức:    a2  a) ( x  y ) b)  2 a  Dạng 2: Tìm số hạng hệ số số hạng có lũy thừa với số mũ cho trước   Ví dụ 1: Cho nhị thức  x   Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức 2x    x Ví dụ 2: Tìm hệ số số hạng chứa khai triển (2  x) 1    2 n x nk Ví dụ 3: Tìm đa thức f(x) biết f ( x)   k  k !( n  k )! x3 Dạng 3: Một số dạng tốn tính tổng tổ hợp Ví dụ 1: Tính tổng sau đây: a) S  Cn0  2Cn1  22 Cn2   2n Cnn b) T  Cn0  22 Cn2  24 Cn4   2n Cnn , R  2Cn1  23 Cn3  25 Cn5   2n 1 Cnn 1 , với n số chẵn Ví dụ 2: Cho P( x)  (1  x  x ) n  a0  a1 x  a2 x   a2 n 1 x n 1  a2 n x n Tính tổng: S  a0  a1  a2   a2 n 1  a2 n C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Khai triển nhị thức sau: a) ( x  3)5 Khai triển nhị thức Niu-Tơn b) ( y  3)6  3   c)  x   d)   a  y  3a   12 Bài 2: Giả sử khai triển nhị thức (1  x)  a0  a1 x  a2 x   a12 x12 Tìm hệ số (i  0,1, 12) lớn Bài 3: Tìm a để khai triển (1  ax)(1  x)6 , hệ số số hạng chứa x3 , hệ số số hạng chứa x3 405 Bài 4: Tìm hệ số số hạng chứa x9 khai triển (1  x)(3  x)11 ThuVienDeThi.com Chương 2: Tổ hợp Xác suất Bài 5: Cho khai triển nhị thức (a  b) n với a, b khác Gọi ba số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba khai triển p, q, r Cho biết 17 q  36 pr Tính tổng tất hệ số khai triển Bài 6: Giả sử khai triển: (a  x)(1  x) n viết theo lũy thừa tăng dần x (a  x)(1  x) n   41x  bx  Tìm a,b,n Bài 7: Cho khai triển ( x  1) n  Cn0 x n  Cn1 x n 1   Cnn 1 x   Cnn Biết khai triển có hệ số liên tiếp tỉ lệ với 2:15:70 a) Tìm n b) Tính tổng tất hệ số lũy thừa bậc lẻ x Tính tổng tổ hợp 200 Bài 8: Cho đa thức P( x)  ( x  2)  a0  a1 x  a2 x   a199 x199  a200 x 200 Tính tổng S  a0  a1  a2   a200 S '  a0  a1  a2   a199  a200 Bài 9: Cho n số nguyên dương chẵn Chứng minh rằng: a) C21n  C23n   C22nn 1  C20n  C22n   C22nn  22 n 1 b) 2n Cn0  2n  Cn2  2n  Cn4   22 Cnn   Cnn  Bài 10: Tính tổng: 19  519 C20  518 C202   5C20  C2020 a) S  520 C20 3n  b) T  C300  3C30  32 C302   330 C3030 Bài 11: Chứng minh: n C k m Bài 12: Chứng minh rằng: k n Ckm  2n  m.Cnm với n  m  n n  (1)k k 0 Cnk  k 1 n 1 §4: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A LÝ THUYẾT: Phép thử biến cố: a) Phép thử: Một phép thử ngẫu nhiên ( gọi tắt phép thử ) thường kí hiệu T, thí nghiệm hay hành động mà:  Có thể lặp lặp lại nhiều lần điều kiện giống nhau;  Kết khơng thể dự đốn được;  Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử Khơng gian mẫu: Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử, kí hiệu  b) Biến cố: Biến cố A liên qua đến phép thử T tập kết phép thử làm xảy A, kí hiệu  A ,  A    Biến cố không:   Biến cố chắn:  Xác suất biến cố a) Định nghĩa cổ điển xác suất: giả sử phép thử T có khơng gian mẫu  tập hữu hạn kết T đồng khả A biến cố liên quan đến phép thử T  A tập kết thuận lợi cho A Xác suất biến cố A: P(A) = Ta thấy:  P(A)  1; P() = 1; P() = b) Định nghĩa thống kê xác suất ThuVienDeThi.com A  Chương 2: Tổ hợp Xác suất B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tính xác suất P(A) dựa vào cách liệt kê phần tử không gian mẫu  phần tử tập  A Ví dụ 1: Với phép thử gieo đồng xu phân biệt lần a) Mô tả khơng gian mẫu b) Gọi A biến cố “Có hai đồng xu xuất mặt sấp” Tìm tập hợp  A mô tả kết A tính P(A) c) Gọi B biến cố “ Có hai đồng xu xuất mặt ngửa” Tìm tập hợp  B mơ tả kết B tính P(B) Ví dụ 2: Gọi T phép thử “ Gieo hai súc sắc” a) Mô tả không gian mẫu T b) Gọi A biến cố “Tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc lớn 8” Liệt kê kết thuận lợi cho A tính P(A) c) Gọi B biến cố “Hiệu số chấm mặt xuất hai súc sắc bé 2” Liệt kê kết thuận lợi cho B tính P(B) Dạng 2: Tính xác suất P(A) dựa vào quy tắc cộng, quy tắc nhân dựa vào cơng thức tính số hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp Ví dụ 1: Lớp 11 A có 25 đồn viên có 10 nam 15 nữ a) Chọn ngẫu nhiên đoàn viên làm thư kí đại hội chi đồn Tìm xác suất để chọn thư l\kí đồn viên nữ b) Chọn ngẫu nhiên hai đoàn viên chi đoàn để tham dự trại 26/3 Tìm xác suất để hai đồn viên chọn có nam nữ Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số khác Gọi A biến cố “ Số tự nhiên chọn gồm chữ số 1,2,3,4” Tính số thuận lợi A tính xác suất P(A) Ví dụ 3: Một tổ có học sinh, có nam nữ xếp thành hàng dọc Tính xác suất cho khơng có hai bạn nam đứng kề Ví dụ 4: Chọn ngẫu nhiên biển số xe máy họ K3, biển số có chữ số Tính xác suất để có biển số có hai chữ số đầu giống hai chữ số sau giống nhau, biết chữ số khơng hồn tồn giống C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Với phép thử gieo hai đồng xu lần a) Mô tả không gian mẫu b) Gọi A biến cố “ có đồng xu xuất mặt ngửa” Tìm tập  A mơ tả kết A tính P(A) Bài 2: Với phép thử gieo đồng xu lần Tính xác suất để có hai đồng xu xuất mặt sấp Bài 3: Một hộp chứa 10 viên bi, có bi đỏ bi xanh bi vàng Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để: a) Cả hai bi lấy bi đỏ: b) Trong hai bi lấy ra, có bi xanh bi vàng Bài 4: Trong buổi họp mặt có 10 học sinh, có nam nữ Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh ngồi quanh bàn trịn Tính xác suất cho khơng có hai nam, hai nữ ngồi cạnh Bài 5: Chọn ngẫu nhiên biển số xe máy họ K4, biển số có chữ số Tính xác suất cho biển số gồm chữ số tiến, tức biển số có chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước Bài 6: Một tổ có học sinh có nữ Phân học sinh sinh hoạt hè với nhóm thiếu nhi, nhóm có học sinh Tìm xác suất để nhóm thiếu nhi có học sinh nữ ThuVienDeThi.com Chương 2: Tổ hợp Xác suất Bài 7: Trong dự thi tìm hiểu ATGT, có lớp 11 có học sinh tham gia dự thi Lớp A có em, lớp B có em lớp C có em Ban tổ chức trao giải thưởng cho dự thi xuất sắc Tính xác suất để lớp có học sinh đoạt giải Bài 8: Trong lễ sinh nhật học sinh An, Bình, Xuân, Thu, Cúc Hoa muốn chụp hình lưu niệm đứng ngẫu nhiên thành hàng ngang Tính xác suất để hình chụp có hai bạn An, Bình đứng cạnh §5: CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT A LÝ THUYẾT: I Quy tắc cộng xác suất Biến cố hợp: Cho hai biến cố A B liên quan đến phép thử T Biến cố “A B xảy ra” gọi hợp hai biến cố A B, kí hiệu A  B Ta có:  A B   A   B Biến cố xung khắc: hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố khơng xảy Ta có:  A   B   Quy tắc cộng xác suất: Qui tắc cộng: Nếu  A   B   P(A  B) = P(A) + P(B) Biến cố đối: A biến cố, biến cố “ A không xảy ra”, kí hiệu A gọi biến cố đối A Ta có: P( A ) = – P(A) II Quy tắc nhân xác suất: Biến cố giao: A B hai biến cố liên quan đến phép thử T Biến cố “ A B xảy ra” , kí hiệu AB, gọi giao hai biến cố A B Ta có:  AB   A   B Biến cố độc lập: Hai biến cố A B gọi độc lập việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy hay không xảy biến cố Quy tắc nhân xác suất: Nếu A, B độc lập P(A.B) = P(A) P(B) B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Áp dụng quy tắc cộng xác suất Bài 1: Trong buổi tọa đàm nhân ngày 8/3, có 20 đại biểu nữ 10 đại biểu nam Ban tổ chức mời đại biểu phát biểu ý kiến Tính xác suất để phát biểu mời có hai phát biểu đại biểu nam Dạng 2: Áp dụng quy tắc nhân xác suất Bài 1: Gieo hai súc sắc Tính xác suất để: a) Cả hai súc sắc xuất mặt chấm; b) Có hai súc sắc xuất mặt chấm Bài 2: Có súc sắc hình lập phương làm giấy, mặt súc sắc in hình: bầu, cua, tơm cá, gà, nai Súc sắc thứ cân đối; súc sắc thứ hai khơng cân đối, có xác suất mặt tơm 0,2, mặt cịn lại có xác suất nhau; súc sắc thứ ba khơng cân đối, có xác suất mặt nai 0,25, mặt lại có xác suất Gieo lần súc sắc cho Tính xác suất để: a) Cả súc sắc xuất mặt tôm b) Cả súc sắc xuất mặt gà ThuVienDeThi.com 10 Chương 2: Tổ hợp Xác suất Dạng3: Các tốn có dạng tổng hợp quy tắc cộng nhânt Bài 1: Có hai hộp, hộp thứ đựng bi đỏ, bi xanh bi vàng; hộp thứ hai đựng bi đỏ, bi xanh bi vàng Lấy ngẫu nhiên hai bi, hộp bi Tính xác suất để lần lấy bi đỏ Bài 2: Chọn ngẫu nhiên giáo viên tổ chun mơn Hóa – Sinh –Thể dục để thành lập đồn cơng tác cho mơn phải có giáo viên Biết tổ có giáo viên Hóa, giáo viên Sinh, giáo viên Thể dục, mơn Hóa có giáo viên nữ, mơn Sinh có giáo viên nữ mơn Thể dục có giáo viên nữ Tính xác suất để đồn cơng tác: a) Có giáo viên nữ b) Có giáo viên nam C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Một hộp chứa 12 bi, có bi đỏ, bi trắng bi vàng Chọn ngẫu nhiên bi Tính xác suất để bi lấy màu Bài 2: Trong hộp có 14 thẻ, có thẻ ghi số 1, thẻ ghi số 2, thẻ ghi số thẻ ghi số Chọn ngẫu nhiên thẻ từ 15 thẻ hộp Tính xác suất để chọn hai thẻ có tổng số ghi hai thẻ Bài 3: 1 a) Cho không gian mẫu   {A, B, C} Biết P( A)  , P( B)  Tính P(C) P(AB) 1 b) Cho phép thử T có biến cố A B độc lập Biết P( A)  , P( AB)  Tính P( AB) Bài 4: Một kiểm tra TNKQ gồm 20 câu hỏi, câu có phương án lựa chọn, có phương án Một học sinh yếu không chuẩn bị nên biết chọn hú họa phương án trả lời cho câu hỏi làm đầy đủ 20 câu hỏi kiểm tra Tính xác suất để làm học sinh 4,5 điểm, biết câu trả lời 0,5 điểm, câu trả lời sai khơng tính điểm Bài 5: Một cầu thủ bóng đá tiếng đá phạt 11m Xác suất đá vào cầu mơn cầu thủ 0,9 Tìm xác suất để 10 cú sút cầu mơn có lần bóng vào lưới Bài 6: Có hai đấu thủ cờ vua M N thi đấu với Trình độ hai đối thủ khơng nhau, xác suất thắng đấu thủ M 0,4 ván ( khơng có hịa ) Theo quy ước: M thắng trước hai ván M thắng, cịn N thắng trước ván N thắng Tính xác suất để M thắng Xác suất để N thắng ? Bài 7: Lớp 11B1 có 12 đồn viên Tổ I có đồn viên, tổ II có đồn viên, tổ III có đồn viên, tổ IV có đồn viên Cơ giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên đồn viên lớp để trang trí đại hội Tính xác suất để đồn viên chọn có đồn viên tổ I, đoàn viên tổ Bài 8: Gieo súc sắc cân đối lần Tính xác suất để có lần xuất mặt chấm Bài 9: Có súc sắc hình lập phương làm giấy, mặt súc sắc in hình: bầu, cua, tơm cá, gà, nai Súc sắc thứ cân đối; súc sắc thứ hai không cân đối, có xác suất mặt cua 0,25, mặt cịn lại có xác suất nhau; súc sắc thứ ba khơng cân đối, có xác suất mặt bầu 0,3, mặt cịn lại có xác suất Gieo lần súc sắc cho Tính xác suất để: a) Cả súc sắc xuất mặt cua b) Hai súc sắc xuất mặt cua, súc sắc suất mặt bầu §6: BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC A LÝ THUYẾT: Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc: Đại lượng X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị số thuộc tập hữu hạn giá trị ngẫu nhiên, khơng đốn trước ThuVienDeThi.com 11 Chương 2: Tổ hợp Xác suất Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc: Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập: {x1, x2, …,xn} Kí hiệu: P( X  xk )  pk Ta có bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc: X x1 x2 P p1 p2 … xn pn Chú ý: bảng p1  p2   pn  B CÁC DẠNG TOÁN: Bài 1: Một tổ có nam sinh nữ sinh Chọn ngẫu nhiên học sinh cắm trại Gọi X số nam sinh chọn Lập bảng phân bố xác suất X Bài 2: Có xạ thủ A, B, C chuyên săn thỏ vào ban đêm Xác suất bắn trúng đích A 0,4, B 0,45 C 0,5 Gọi X số thỏ bị bắn trúng sau ba xạ thủ bắn vào ba thỏ khác nhau, người bắn vào viên đạn Lập bảng phân bố xác suất X Bài 3: Có hộp đựng bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên bi khơng trả lại hộp, sau lấy ngẫu nhiên bi số bi lại hộp Gọi X tổng số bi đỏ lấy sau hai lần Lập bảng phân bố xác suất X Bài 4: Cho hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập X Y có phân bố xác xuất sau: X P Y P a) Tính P( X  2) b) Tính P( X  Y  5) 0,1 0,25 0,2 0,35 0,1 0,2 0,15 0,3 0,2 0,15 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Có 10 chai rượu có chai loại II chai loại I Chọn ngẫu nhiên đồng thời lần chai để kiểm tra Gọi X số chai rượu loại II gặp phải kiểm tra Tìm bảng phân phối xác suất X Bài 2: Gieo đồng thời súc sắc cân đối lần Gọi X số mặt mặt chấm xuất Lập bảng phân bố xác suất X Bài 3: Có nhà Vật lý, nhà Toán học nhà Hóa học làm việc trung tâm nghiên cứu Người ta muốn cử đồn cơng tác gồm người theo u cầu phải có nhà Vật lý Gọi X số nhà Vật lý đồn cơng tác Hãy lập bảng phân bố xác suất X Bài 4: Cho hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập X Y có phân bố xác suất: a) Tính P( X  0) b) Tính P( X  Y ) X P 0,3 0,25 0,35 0,1 Y P 0,2 0,3 0,35 0,15 §7: KÌ VỌNG, PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC A LÝ THUYẾT: ThuVienDeThi.com 12 Chương 2: Tổ hợp Xác suất Giả sử X Biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập {x1, x2, …,xn}, P( X  xi )  pi Kỳ vọng:  Định nghĩa:  = E(X) = n  xi pi i 1  Ý nghĩa: Cho ta biết ý niệm độ lớn trung bình X E(X) cịn gọi giá trị trung bình X Phương sai độ lệch chuẩn: a) Phương sai:  Định nghĩa: V(X) = n  ( xi   )2 pi = i 1 n  xi2 pi   i 1  Ý nghĩa: Cho ta ý niệm mức độ phân tán giá trị X quanh giá trị trung bình b) Độ lệch chuẩn:  Định nghĩa: (X) = V (X ) B CÁC DẠNG BÀI TẬP Ví dụ 1: Có hộp đựng bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên bi Gọi X số bi đỏ lấy a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tính E(X) V(X) ( xác đến hàng phần trăm ) Ví dụ 2: Số khách mua bảo hiểm ngày người chuyên bán bảo hiểm nhân thọ Bảo Việt biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau: X P 0,25 0,3 0,25 0,15 0,05 a) Tính xác suất để ngày có khách mua bảo hiểm b) Tính phương sai độ lệch chuẩn Ví dụ 3: Gieo ngẫu nhiên đồng xu cân đối đồng chất lần Gọi X số lần mặt sấp xuất a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tính E(X), V(X)  ( X ) Ví dụ 4: Một tổ học sinh có nam nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn ngẫu nhiên học sinh tham gia phong trào vận động qun góp quỹ người nghèo Gọi X số học sinh nữ chọn Y số học sinh nam chọn a) Lập bảng phân bố xác suất X Y b) Tính E ( X ),V ( X ), E (Y ),V (Y ) Nêu nhận xét giá trị trung bình X, Y mức độ phân tán X Y xung quanh giá trị trung bình C BÀI TẬP ƠN LUYỆN Bài 1: Có đại bác bắn đạn vào pháo đài Xác suất trúng đích lần bắn thứ 0,55, lần bắn thứ hai 0,5 lần bắn thứ 0,45 Gọi X số lần bắn trúng mục tiêu a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tính E(X), V(X)  ( X ) ( xác đến hàng phần nghìn ) Bài 2: Một kiểm tra trắc nghiệm khách quan gồm nhiều câu hỏi, câu có phương án lựa chọn có phương án Bình khơng làm câu nên biết chọn hú họa phương án lựa chọn cho câu Gọi X số câu trả lời câu chọn hú họa Bình Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc X ( xác đến hàng phần trăm ) ThuVienDeThi.com 13 Chương 2: Tổ hợp Xác suất Bài 3: Có hai chuồng nhốt thỏ trắng thỏ đen Chuồng thứ có thỏ trắng thỏ đen, chuồng thứ hai có thỏ trắng thỏ đen Chọn ngẫu nhiên chuồng, từ chuồng chọn bắt hai thỏ Gọi X số thỏ trắng bắt a) Lập bảng phân bố xác suất b) Tính E(X), V(X)  ( X ) Bài 4: Cho hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập X Y có phân bố xác suất cho hai bảng sau: X P 0,4 0,25 0,35 X P 0,25 0,45 0,3 Đặt Z=X+Y a) Lập bảng phân bố xác suất Z c) Tính E(Z), V(Z)  ( Z ) ThuVienDeThi.com 14 ... DẠNG BÀI TẬP ThuVienDeThi.com Chương 2: Tổ hợp Xác suất Dạng 1: Một số tốn hốn vị Ví dụ 1: Cho chữ số 1,2,3,4,5 a) Hỏi lập số tự nhiên có chữ số khác b) Hỏi số tìm có số chẵn? c) Tìm tổng số tự...  số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử hợp gồm k phần tử, phần tử n phần tử A Cnk  Cnk k 1  Cnmk11 Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp:  Chỉnh hợp tổ hợp. .. gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank  n k III Tổ hợp: Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1  k  n) phần tử A gọi tổ hợp chập