Đang tải... (xem toàn văn)
Phép thử và biến cố: a Phép thử: Một phép thử ngẫu nhiên gọi tắt là phép thử thường kí hiệu T, là một thí nghiệm hay một hành động mà: Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều [r]
(1)§1: HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN A LÝ THUYẾT Qui tắc cộng: Một công việc nào đó có thể thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực và không trùng với bất kì cách nào phương án A thì công việc đó có m + n cách thực Qui tắc nhân: Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B Nếu công đoạn A có m cách thực và ứng với cách đó có n cách thực công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Các bài toán sử dụng quy tắc cộng Phương pháp: Đếm số phần tử tập hợp cách liệt kê các phần tử tập hợp đó Dựa vào tính chất các phần tử, ta chia tập hợp cần đếm thành các tập hợp rời Đếm số phần tử sử dụng quy tắc cộng Ví dụ 1: Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm có: a) Ba chữ số khác b) Hai chữ số khác Ví dụ 2: Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm các chữ số khác nhau? Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác thành lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5? Dạng 2: các bài toán sử dụng quy tắc nhân Ví dụ 1: Cho thành phố A,B,C Biết từ thành phố A đến thành phố B có đường khác nhau, từ thành phố B đến thành phố C có đường khác Hỏi có bao nhiêu cách từ A đến C mà phải qua B Ví dụ 2: a) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số ? b) Có bao nhiêu số tự nhiên có chũa số đôi khác nhau? Ví dụ 3: Cho số A 2 a) Có bao nhiêu số tự nhiên là ước dương A b) Có bao nhiêu số tự nhiên là ước dương A2 và chia hết cho A? Dạng 3: Các bài toán kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân Ví dụ 1: Trên giá sách có 14 sách, đó có sách toán, sách văn và sách ngoại ngữ Nếu chọn sách khác thể loại trên giá sách đã cho thì có bao nhiêu cách chọn C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 học sinh nữ và 15 học sinh nam a) Nhà trường cần chọn học sinh tham gia thi môi trường Hỏi có bao nhiêu cách chọn b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện phải có nam và nữ (2) Bài 2: Một trường THPT có học sinh giỏi lớp 10, học sinh giỏi lớp 11 và học sinh giỏi lớp 12 Cần chọn học sinh để tham gia đội tuyển thi “ Đố vui để học” Hỏi có bao nhiêu cách chọn khối có học sinh? Bài 3: a) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số b) Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 ta thành lập các số tự nhiên có chữ số Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số kề khác Bài 4: Một lớp gồm có 30 học sinh Cần chọn lớp trưởng, lớp phó và thư ký Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết học sinh nào có khả làm lớp trưởng, làm lớp phó và làm thư ký Bài 5: Có thành phố A,B,C,D Có đường từ A đến B, có đường từ B đến C, có đường từ A đến D và đường từ B đến C Biết để từ A đến C phải qua B D Hỏi có tất bao nhiêu cách khác để từ A đến C Bài 6: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta thành lập các số tự nhiên gồm chữ số a) Hỏi có bao nhiêu số đượ tạo thành? b) Hỏi có bao nhiêu số có các chữ số đôi khác nhau? c) Hỏi có bao nhiêu số cho hai chữ số kề phải khác tính chẵn lẻ Bài 7: Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai đồ vật từ tập hợp có: a) đồ vật khác nhau? b) đồ vật khác c) đồ vật khác nhau? d) n đồ vật khác nhau? Bài 8: Một học sinh có sách toán khác và sách văn khác Cần xếp sách trên thành dãy theo hàng ngang trên tủ sách a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp? b) Hỏi có bao nhiêu cách xếp hai sách kề phải khác thể loại? Bài 9: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 cần lập các số tự nhiên gồm chữ số a) Hỏi có bao nhiêu số chia hết cho b) Hỏi có bao nhiêu số mà đó các chữ số khác và thiết phải có mặt chữ số 1? Bài 10: Một bàn cờ vua có hình vuông, cạnh chia thành ô, tổng cộng có 64 ô Một quân xe có thể “ ăn trực tiếp” bất kì quân cùng cột hàng với nó Giả sử trên bàn cờ có hai quân xe, hỏi có bao nhiêu cách đặt hai quan xe trên bàn cờ cho chúng không ăn lẫn §2: HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP A LÝ THUYẾT I Hoán vị: Giai thừa: n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = n! = (n–1)!n n! p ! = (p+1).(p+2)…n (với n! (n p )! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) n>p) Hoán vị (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n 1) Mỗi cách xếp n phần tử này theo thứ tự nào đó gọi là hoán vị n phần tử Số các hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hoán vị lặp: (3) Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử đó gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự nào đó gọi là hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử là: n! P (n , n , …, n ) = n1 !n2 ! nk ! n k Hoán vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi là hoán vị vòng quanh n phần tử Số các hoán vị vòng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! II Chỉnh hợp: Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 k n) theo thứ tự nào đó gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! Ank n( n 1)( n 2) (n k 1) (n k )! Công thức trên đúng cho trường hợp k = k = n n Khi k = n thì An = P = n! n Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, đó phần tử có thể lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi là chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A k k Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: An n III Tổ hợp: Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 k n) phần tử A gọi là tổ hợp chập k n phần tử Ak n! Cnk n k ! k !(n k )! Số các tổ hợp chập k n phần tử: Qui ước: Cn = Tính chất: Cn0 Cnn 1; Cnk Cnn k ; Cnk Cnk11 Cnk ; Cnk n k 1 k Cn k Tổ hợp lặp: a ; a ; ; an và số tự nhiên k bất kì Một tổ hợp lặp chập k n phần tử là hợp Cho tập A = gồm k phần tử, đó phần tử là n phần tử A k k m Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Cn Cn k Cn k Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp: Ank k !Cnk Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ công thức: Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: không có thứ tự Những bài toán mà kết phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, là tổ hợp Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n): Cnk + Không thứ tự, không hoàn lại: (4) + Có thứ tự, không hoàn lại: Ank + Có thứ tự, có hoàn lại: Ank B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Một số bài toán hoán vị Ví dụ 1: Cho chữ số 1,2,3,4,5 a) Hỏi có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác b) Hỏi số tìm có bao nhiêu số chẵn? c) Tìm tổng các số tự nhiên tìm câu a Ví dụ 2: Một tổ có 10 học sinh đó có học sinh nam và học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh tổ: a) Thành hàng dọc cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau? b) Ngồi quanh bàn tròn cho nam, nữ ngồi xen kẻ nhau? Dạng 2: Một số bài toán chỉnh hợp Ví dụ 1: Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 người ta cần lập các số tự nhiên gồm chữ số khác Hỏi có bao nhiêu số thế? Tính tổng các số tự nhiên tìm Ví dụ 2: Vào tháng năm 2007, tám đội bóng đá thuộc liên đoàn bóng đá Đông Nam Á (AFF) khởi tranh cúp vô địch, chia thành hai bảng: Bảng A gồm có Thái Lan, Malaixia, Mianma và Philippin, bảng B gồm Việt Nam, Singapo, inddonexia và Lào a) Ban tổ chức trao huy chương Vàng và Bạc cho hai đội và nhì ( không có tranh giải ba) Hỏi có bao nhiêu khả trao hai huy chương cho hai đội đoạt giải và nhì?(giả sử đội có trình độ tương đương) b) Theo dự đoán Lào và Philippin là hai đội yếu, không có khả vào bán kết Hỏi có bao nhiêu khả xảy đội vào bán kết theo quy định bảng có hai đội, gồm đội bảng và đội nhì bảng Ví dụ 3: Cho tập hợp X={0,1,2,3,4,5,6} Người ta thiết lập các số tự nhiên gồm có chữ số khác từ các chữ số tập X a) Hỏi có thể lập bao nhiêu số? b) Trong số câu a có bao nhiêu số chia hết cho Dạng 3: Một số bài toán tổ hợp Ví dụ 1: Tại họp tổ chức Apec tổ chức Hà Nội vào tháng 12 năm 2006 có 21 đại biểu là thành viên các nước Trước họp, các đại biểu chào hỏi và bắt tay nhau, đại biểu bắt tay đại biểu khác lần Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay Ví dụ 2: Trong trường có học sinh giỏi lớp 12, học sinh giỏi lớp 11 và học sinh giỏi lớp 10 Cần chọn học sinh giỏi để tham gia thi “ đố vui để học” nhân ngày Nhà giáo Việt Nam cho khối 12 có ít hai em và khối 10, 11 có ít em Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng song song a và b Trên đường thẳng a ta chọn 10 điểm phân biệt và trên đường thẳng b ta chọn 11 điểm phân biệt a) Có bao nhiêu hình thang tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng? b) Có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng? Dạng 4: Chứng minh các đẳng thức, BĐT số Hoán vị, Chĩnh hợp, Tổ hợp Ví dụ 1: Chứng minh (5) a) Cnk1 ( n 1) Cnk (n k 1) 1 1, n 2 An c) A2 A3 k k k1 b) An An kAn n ! 1.1! 2.2! ( n 1).( n 1)!1 Dạng 5: Giải phương trình, bất phương trình chứa Pn , Ank , Cnk Ví dụ 1: Giải các phương trình, bất phương trình sau ( n, k là ẩn) 1 3 k a) An 30 An b) An An 4C3 c) Cn Cn An 1 Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình y y 2 Cx C x C 66 a) x Cnk1 Cnk11 Cnk b) Dạng 6: Bài tập tổng hợp phép đếm Ví dụ 1: Có hai đơn vị thi đấu bóng bàn tranh giải nhân ngày 20/11 Báo Giáo dụ thời đại Đội A có cầu thủ nữ, đội B có cầu thủ nữ Cần chọn đội cầu thủ để ghép cặp thi đấu với nhau, tính điểm trực tiếp trân đấu Hỏi có bao nhiêu cách thực Ví dụ 2: Xếp sách vào kệ sách gồm ngăn, ngăn Hỏi có bao nhiêu cách xếp? C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Hoán vị Bài 1: Có tem khác và bì thư khác Hỏi có bao nhiêu cách dán tem lên bì thư đã cho biết bì thư dán tem Bài 2: Cần xếp học sinh A, B, C, D, E thành dãy hàng ngang a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp? b) Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho hai học sinh A và B luôn đứng hai đầu hàng? Bài 3: Từ chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, đó phải có mặt hai chữ số và 2.? Bài 4: Cần xếp học sinh nữ và học sinh nam thành hàng dọc a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp học sinh nữ luôn đứng liền nhau? b) Hỏi có bao nhiêu cách xếp học sinh đứng đầu hàng là học nữ và học sinh đứng cuối hàng là học sinh nam? Bài 5: Có nữ sinh là Huệ, Anh, Lan, Nhã và nam sinh là An, Bình, Khoa, Hải cùng ngồi quanh bàn tròn có chỗ a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp biết nam và nữ ngồi xen kẻ nhau? b) Hỏi có bao nhiêu cách xếp biết nam và nữ ngồi xen kẻ hai bạn Oanh và Khoa không chịu ngồi cạnh nhau? Chỉnh hợp: Bài 6: Một lớp có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cần chọn lớp trưởng, lớp phó và thủ quỹ a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn? b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn lớp trưởng phải là học sinh nam? Bài 7: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 ta lập các số tự nhiên có chữ số khác Trong số tìm có bao nhiêu số lẻ, bao nhiêu số chẵn? Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6? (6) Bài 9: a) Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau? b) Chứng minh tổng các số tự nhiên tìm câu a) chia hết cho 11111 Tổ hợp Bài 10: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm cần chọn học sinh để tham gia trồng cây Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a) Không phân biệt nam, nữ? b) Có ít học sinh nam và học sinh nữ? c) Có nhiều học sinh nữ? Bài 11: Có 12 đội bóng đá tranh giải vô địch quốc gia Trong vòng đấu loại, các đội thi đấu với theo thể thức vòng tròn, hai đội bống 12 đội gặp trận, trận lượt và trận lượt Hỏi có bao nhiêu trận đấu vòng loại? Bài 12: Cho 15 điểm nằm trên mặt phẳng đó có điểm nằm trên đường thẳng, ngoài không có điểm nào khác thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là số 15 điểm đã cho? Bài 13: Một tập hợp gồm đường thẳng song song cắt tập hợp gồm n đường thẳng song song tạo 420 hình bình hành Tìm n? Bài 14: Cho tập hợp X có 20 phần tử Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ X tập có số phần tử lẻ? Bài 15: Có bao nhiêu số tự nhiên có đúng chữ số, cho số đó, chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước? Đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Bài 16: Chứng minh rằng: k k k1 k1 k k 1 k k k a) Cn Cn Cn Ck (k n) b) An An k ( An An ) An 1 (0 k n) Bài 17: Giải các phương trình, bất phương trình: 3 a) An 4 An b) An Cn Bài 18: Giải các hệ phương trình sau: Cnm Cnm 2 C 153 a) n b) 3 c) An 2Cn P2 Cmn Cmn1 Am 20 Bài tập tổng hợp Bài 19: Ban văn nghệ lớp 11 C có nam sinh và nữ sinh Cần chọn nam và nữ để ghép thành cặp nam nữ trình diễn tiết mục thời trang Hỏi có bao nhiêu cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán Bài 20: Có nam ca sĩ và nữ ca sĩ Hỏi có bao nhiêu cách chọn nam và nữ ca sĩ để hát bì song ca nam nữ Bài 21: a) Cần chia 18 học sinh lớp thành nhóm sinh hoạt ( không cần đặt tên nhóm không quy thứ tự ) , nhóm có học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chia? b) Cần chia 18 học sinh lớp thành tổ 1,2,3 khác nhau, tổ có học sinh để tham gia làm vệ sinh trường địa điểm khác Hỏi có bao nhiêu cách chia? Bài 22: Xét tập hợp các số tự nhien gồm chữ số Hỏi có bao nhiêu số chứa đúng hai chữ số 9, các chữ số khác có mặt đúng lần? §3: CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN A LÝ THUYẾT: Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN và với cặp số a, b ta có: (7) n (a b) n Cnk a n k b k k 0 Tính chất: 1) Số các số hạng khai triển n + 2) Tổng các số mũ a và b số hạng n C k a n k bk 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = n ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số các cặp số hạng cách số hạng đầu và cuối thì nhau: Cnk Cnn k n Cnk Cnk Cnk1 5) Cn Cn 1 , * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b giá trị đặc biệt thì ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: n (1 x) n Cn0 Cn1 x Cnk x k Cnn x n Cnk x k k 0 n n n n n n (1+x)n = C x C x C n tập có n phần tử là: n n n n (x–1)n = Cn x Cn x ( 1) Cn n n n Cn0 Cn1 Cnn 2n Suy ra: Số tập n n C C ( 1) C 0 B CÁC DẠNG TOÁN: Dạng 1: Khai triển nhị thức Niu-Tơn Ví dụ 1: Khai triển các nhị thức: a2 a) ( x y ) b) a Dạng 2: Tìm số hạng và hệ số số hạng có lũy thừa với số mũ cho trước 2x x Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức trên Ví dụ 1: Cho nhị thức x (2 x) 2 Ví dụ 2: Tìm hệ số số hạng chứa x3 khai triển xn k k 0 k !( n k )! n f ( x) Ví dụ 3: Tìm đa thức f(x) biết Dạng 3: Một số dạng toán tính tổng các tổ hợp Ví dụ 1: Tính các tổng sau đây: 2 n n a) S Cn 2Cn Cn Cn T Cn0 22 Cn2 24 Cn4 2n Cnn R 2Cn1 23 Cn3 25 Cn5 2n Cnn , , với n là số chẵn n 2n 2n a2 n x Tính tổng: Ví dụ 2: Cho P ( x ) (1 x x ) a0 a1 x a2 x a2 n x b) S a0 a1 a2 a2 n a2 n C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Khai triển nhị thức Niu-Tơn (8) Bài 1: Khai triển các nhị thức sau: a) ( x 3) 3 x y c) b) ( y 3) Bài 2: Giả sử khai triển nhị thức a d) 3a 12 (1 x) a0 a1 x a2 x a12 x12 Tìm hệ số (i 0,1, 12) lớn Bài 3: Tìm a để khai triển (1 ax)(1 3x) , hệ số số hạng chứa x3 , hệ số số hạng chứa x3 là 405 11 Bài 4: Tìm hệ số số hạng chứa x9 khai triển (1 x)(3 x) n Bài 5: Cho khai triển nhị thức (a b) với a, b khác Gọi ba số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba khai triển là p, q, r Cho biết 17 q 36 pr Tính tổng tất các hệ số khai triển n Bài 6: Giả sử khai triển: (a x)(1 x) viết theo lũy thừa tăng dần x là ( a x)(1 x) n 3 41x bx Tìm a,b,n n n n n n Bài 7: Cho khai triển ( x 1) Cn x Cn x Cn x Cn Biết khai triển có hệ số liên tiếp tỉ lệ với 2:15:70 a) Tìm n b) Tính tổng tất các hệ số các lũy thừa bậc lẻ x Tính tổng tổ hợp 200 199 200 Bài 8: Cho đa thức P( x) ( x 2) a0 a1 x a2 x a199 x a200 x Tính tổng S a0 a1 a2 a200 và S ' a0 a1 a2 a199 a200 Bài 9: Cho n là số nguyên dương chẵn Chứng minh rằng: 2n 2n 2n a) C2 n C2n C2 n C2n C2 n C2 n 2 2n Cn0 2n Cn2 2n Cn4 22 Cnn Cnn b) Bài 10: Tính tổng: 20 19 18 19 20 a) S 5 C20 C20 C20 5C20 C20 b) 3n 1 30 T C300 3C30 32 C302 330 C30 n C k n .Ckm 2n m.Cnm với n 1 và m n n C ( 1) k k 1 n 1 Bài 12: Chứng minh rằng: k 0 Bài 11: Chứng minh: k m k n §4: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A LÝ THUYẾT: Phép thử và biến cố: a) Phép thử: Một phép thử ngẫu nhiên ( gọi tắt là phép thử ) thường kí hiệu T, là thí nghiệm hay hành động mà: Có thể lặp lặp lại nhiều lần các điều kiện giống nhau; Kết nó không thể dự đoán được; Có thể xác định tập hợp tất các kết có thể xảy phép thử đó (9) Không gian mẫu: Tập hợp tất các kết có thể xảy phép thử gọi là không gian mẫu phép thử, kí hiệu b) Biến cố: Biến cố A liên qua đến phép thử T là tập các kết phép thử làm xảy A, kí hiệu A , A Biến cố không: Biến cố chắn: Xác suất biến cố a) Định nghĩa cổ điển xác suất: giả sử phép thử T có không gian mẫu là tập hữu hạn và các kết T đồng khả A là biến cố liên quan đến phép thử T và A là tập các kết thuận lợi cho A Xác suất biến cố A: P(A) = Ta thấy: P(A) 1; P() = 1; P() = b) Định nghĩa thống kê xác suất A B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tính xác suất P(A) dựa vào cách liệt kê các phần tử không gian mẫu và các phần tử tập A Ví dụ 1: Với phép thử gieo đồng xu phân biệt lần a) Mô tả không gian mẫu b) Gọi A là biến cố “Có đúng hai đồng xu xuất mặt sấp” Tìm tập hợp A mô tả các kết A và tính P(A) c) Gọi B là biến cố “ Có ít hai đồng xu xuất mặt ngửa” Tìm tập hợp B mô tả các kết B và tính P(B) Ví dụ 2: Gọi T là phép thử “ Gieo hai súc sắc” a) Mô tả không gian mẫu T b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên các mặt xuất hai súc sắc lớn 8” Liệt kê các kết thuận lợi cho A và tính P(A) c) Gọi B là biến cố “Hiệu số chấm trên các mặt xuất hai súc sắc bé 2” Liệt kê các kết thuận lợi cho B và tính P(B) Dạng 2: Tính xác suất P(A) dựa vào các quy tắc cộng, quy tắc nhân và dựa vào các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Ví dụ 1: Lớp 11 A có 25 đoàn viên đó có 10 nam và 15 nữ a) Chọn ngẫu nhiên đoàn viên làm thư kí đại hội chi đoàn Tìm xác suất để chọn thư l\kí là đoàn viên nữ b) Chọn ngẫu nhiên hai đoàn viên chi đoàn để tham dự trại 26/3 Tìm xác suất để hai đoàn viên chọn có nam và nữ Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số khác Gọi A là biến cố “ Số tự nhiên chọn gồm chữ số 1,2,3,4” Tính số thuận lợi A và tính xác suất P(A) Ví dụ 3: Một tổ có học sinh, đó có nam và nữ xếp thành hàng dọc Tính xác suất cho không có hai bạn nam nào đứng kề Ví dụ 4: Chọn ngẫu nhiên biển số xe máy cùng họ K3, biển số có chữ số Tính xác suất để có biển số có hai chữ số đầu giống và hai chữ số sau giống nhau, biết chữ số đó không hoàn toàn giống C BÀI TẬP LUYỆN TẬP (10) Bài 1: Với phép thử gieo hai đồng xu lần a) Mô tả không gian mẫu b) Gọi A là biến cố “ có ít đồng xu xuất mặt ngửa” Tìm tập A mô tả các kết A và tính P(A) Bài 2: Với phép thử gieo đồng xu lần Tính xác suất để có ít hai đồng xu xuất mặt sấp Bài 3: Một hộp chứa 10 viên bi, đó có bi đỏ và bi xanh và bi vàng Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để: a) Cả hai bi lấy là bi đỏ: b) Trong hai bi lấy ra, có bi xanh và bi vàng Bài 4: Trong buổi họp mặt có 10 học sinh, đó có nam và nữ Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh ngồi quanh bàn tròn Tính xác suất cho không có hai nam, hai nữ nào ngồi cạnh Bài 5: Chọn ngẫu nhiên biển số xe máy cùng họ K4, biển số có chữ số Tính xác suất cho biển số gồm các chữ số tiến, tức là biển số có chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước Bài 6: Một tổ có học sinh đó có nữ Phân học sinh này sinh hoạt hè với nhóm thiếu nhi, nhóm có học sinh Tìm xác suất để nhóm thiếu nhi có học sinh nữ Bài 7: Trong dự thi tìm hiểu ATGT, có lớp 11 có học sinh tham gia dự thi Lớp A có em, lớp B có em và lớp C có em Ban tổ chức trao giải thưởng cho bài dự thi xuất sắc Tính xác suất để lớp có học sinh đoạt giải Bài 8: Trong lễ sinh nhật các học sinh An, Bình, Xuân, Thu, Cúc và Hoa muốn chụp hình lưu niệm và đứng ngẫu nhiên thành hàng ngang Tính xác suất để hình chụp có hai bạn An, Bình đứng cạnh §5: CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT A LÝ THUYẾT: I Quy tắc cộng xác suất Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T Biến cố “A B xảy ra” gọi là hợp hai biến cố A và B, kí hiệu A B Ta có: AB A B Biến cố xung khắc: hai biến cố A và B gọi là xung khắc biến cố này xảy thì biến cố không xảy Ta có: A B Quy tắc cộng xác suất: Qui tắc cộng: Nếu A B thì P(A B) = P(A) + P(B) Biến cố đối: A là biến cố, biến cố “ A không xảy ra”, kí hiệu A gọi là biến cố đối A Ta có: P( A ) = – P(A) II Quy tắc nhân xác suất: Biến cố giao: A và B là hai biến cố liên quan đến phép thử T Biến cố “ A và B cùng xảy ra” , kí hiệu AB, gọi là giao hai biến cố A và B Ta có: AB A B Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B gọi là độc lập việc xảy hay không xảy biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy hay không xảy biến cố Quy tắc nhân xác suất: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A) P(B) B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Áp dụng quy tắc cộng xác suất (11) Bài 1: Trong buổi tọa đàm nhân ngày 8/3, có 20 đại biểu nữ và 10 đại biểu nam Ban tổ chức mời đại biểu phát biểu ý kiến Tính xác suất để phát biểu mời có hai phát biểu là đại biểu nam Dạng 2: Áp dụng quy tắc nhân xác suất Bài 1: Gieo hai súc sắc Tính xác suất để: a) Cả hai súc sắc xuất mặt chấm; b) Có đúng hai súc sắc xuất mặt chấm Bài 2: Có súc sắc hình lập phương làm giấy, các mặt súc sắc in các hình: bầu, cua, tôm cá, gà, nai Súc sắc thứ cân đối; súc sắc thứ hai không cân đối, có xác suất mặt tôm là 0,2, các mặt còn lại có xác suất nhau; súc sắc thứ ba không cân đối, có xác suất mặt nai là 0,25, các mặt còn lại có xác suất Gieo lần súc sắc đã cho Tính xác suất để: a) Cả súc sắc xuất mặt tôm b) Cả súc sắc xuất mặt gà Dạng3: Các bài toán có dạng tổng hợp các quy tắc cộng và nhânt Bài 1: Có hai hộp, hộp thứ đựng bi đỏ, bi xanh và bi vàng; hộp thứ hai đựng bi đỏ, bi xanh và bi vàng Lấy ngẫu nhiên hai bi, hộp bi Tính xác suất để lần lấy đúng bi đỏ Bài 2: Chọn ngẫu nhiên giáo viên tổ chuyên môn Hóa – Sinh –Thể dục để thành lập đoàn công tác cho môn phải có giáo viên Biết tổ có giáo viên Hóa, giáo viên Sinh, giáo viên Thể dục, đó môn Hóa có giáo viên nữ, môn Sinh có giáo viên nữ và môn Thể dục có giáo viên nữ Tính xác suất để đoàn công tác: a) Có đúng giáo viên nữ b) Có ít giáo viên nam C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Một hộp chứa 12 bi, đó có bi đỏ, bi trắng và bi vàng Chọn ngẫu nhiên bi Tính xác suất để bi lấy cùng màu Bài 2: Trong hộp có 14 thẻ, đó có thẻ ghi số 1, thẻ ghi số 2, thẻ ghi số và thẻ ghi số Chọn ngẫu nhiên thẻ từ 15 thẻ hộp Tính xác suất để chọn hai thẻ có tổng các số ghi trên hai thẻ đó Bài 3: 1 P ( A) , P( B) { A , B , C } Tính P(C) và P(AB) a) Cho không gian mẫu Biết 1 P ( A) , P( AB) Tính P ( AB ) b) Cho phép thử T có các biến cố A và B độc lập Biết Bài 4: Một bài kiểm tra TNKQ gồm 20 câu hỏi, câu có phương án lựa chọn, đó có phương án đúng Một học sinh yếu không chuẩn bị bài nên biết chọn hú họa phương án trả lời cho câu hỏi và đã làm đầy đủ 20 câu hỏi bài kiểm tra Tính xác suất để bài làm học sinh đó 4,5 điểm, biết câu trả lời đúng 0,5 điểm, câu trả lời sai không tính điểm Bài 5: Một cầu thủ bóng đá tiếng đá phạt 11m Xác suất đá vào cầu môn cầu thủ này là 0,9 Tìm xác suất để 10 cú sút cầu môn có đúng lần bóng vào lưới Bài 6: Có hai đấu thủ cờ vua M và N thi đấu với Trình độ hai đối thủ không nhau, xác suất thắng đấu thủ M là 0,4 ván ( không có hòa ) Theo quy ước: M thắng trước hai ván thì M thắng, còn N thắng trước ván thì N thắng Tính xác suất để M thắng Xác suất để N thắng là bao nhiêu ? (12) Bài 7: Lớp 11B1 có 12 đoàn viên Tổ I có đoàn viên, tổ II có đoàn viên, tổ III có đoàn viên, tổ IV có đoàn viên Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên đoàn viên lớp để trang trí đại hội Tính xác suất để đoàn viên chọn có đoàn viên tổ I, và đoàn viên tổ Bài 8: Gieo súc sắc cân đối lần Tính xác suất để có ít lần xuất mặt chấm Bài 9: Có súc sắc hình lập phương làm giấy, các mặt súc sắc in các hình: bầu, cua, tôm cá, gà, nai Súc sắc thứ cân đối; súc sắc thứ hai không cân đối, có xác suất mặt cua là 0,25, các mặt còn lại có xác suất nhau; súc sắc thứ ba không cân đối, có xác suất mặt bầu là 0,3, các mặt còn lại có xác suất Gieo lần súc sắc đã cho Tính xác suất để: a) Cả súc sắc xuất mặt cua b) Hai súc sắc xuất mặt cua, súc sắc suất mặt bầu §6: BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC A LÝ THUYẾT: Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc: Đại lượng X gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nó nhận giá trị là số thuộc tập hữu hạn nào đó và giá trị đó là ngẫu nhiên, không đoán trước Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc: Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị thuộc tập: {x , x , …,x } Kí hiệu: P ( X xk ) pk Ta có bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời n rạc: X x1 x2 P p1 p2 … xn pn Chú ý: bảng trên p1 p2 pn 1 B CÁC DẠNG TOÁN: Bài 1: Một tổ có nam sinh và nữ sinh Chọn ngẫu nhiên học sinh cắm trại Gọi X là số nam sinh chọn Lập bảng phân bố xác suất X Bài 2: Có xạ thủ A, B, C chuyên săn thỏ vào ban đêm Xác suất bắn trúng đích A là 0,4, B là 0,45 và C là 0,5 Gọi X là số thỏ bị bắn trúng sau ba xạ thủ bắn vào ba thỏ khác nhau, người bắn vào viên đạn Lập bảng phân bố xác suất X Bài 3: Có hộp đựng bi đỏ và bi xanh Lấy ngẫu nhiên bi và không trả lại hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên bi số bi còn lại hộp Gọi X là tổng số bi đỏ lấy sau hai lần Lập bảng phân bố xác suất X Bài 4: Cho hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y có phân bố xác xuất sau: X P Y P a) Tính P ( X 2) b) Tính P( X Y 5) 0,1 0,25 0,2 0,35 0,1 0,2 0,15 0,3 0,2 0,15 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Có 10 chai rượu đó có chai loại II và chai loại I Chọn ngẫu nhiên đồng thời lần chai để kiểm tra Gọi X là số chai rượu loại II gặp phải kiểm tra Tìm bảng phân phối xác suất X Bài 2: Gieo đồng thời súc sắc cân đối lần Gọi X là số mặt mặt chấm xuất Lập bảng phân bố xác suất X (13) Bài 3: Có nhà Vật lý, nhà Toán học và nhà Hóa học cùng làm việc trung tâm nghiên cứu Người ta muốn cử đoàn công tác gồm người theo yêu cầu phải có ít nhà Vật lý Gọi X là số nhà Vật lý đoàn công tác Hãy lập bảng phân bố xác suất X Bài 4: Cho hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y có phân bố xác suất: X P 0,3 0,25 0,35 0,1 Y P 0,2 0,3 0,35 0,15 a) Tính P ( X 0) b) Tính P( X Y ) §7: KÌ VỌNG, PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC A LÝ THUYẾT: Giả sử X là Biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị thuộc tập {x1, x2, …,xn}, P( X xi ) pi Kỳ vọng: n xi pi Định nghĩa: = E(X) = i 1 Ý nghĩa: Cho ta biết ý niệm độ lớn trung bình X vì E(X) còn gọi là giá trị trung bình X Phương sai và độ lệch chuẩn: a) Phương sai: n ( xi )2 pi n xi2 pi Định nghĩa: V(X) = i 1 = i 1 Ý nghĩa: Cho ta ý niệm mức độ phân tán các giá trị X quanh giá trị trung bình b) Độ lệch chuẩn: Định nghĩa: (X) = V ( X ) B CÁC DẠNG BÀI TẬP Ví dụ 1: Có hộp đựng bi đỏ và bi xanh Lấy ngẫu nhiên bi Gọi X là số bi đỏ lấy a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tính E(X) và V(X) ( chính xác đến hàng phần trăm ) Ví dụ 2: Số khách mua bảo hiểm ngày người chuyên bán bảo hiểm nhân thọ Bảo Việt là biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau: X P 0,25 0,3 0,25 0,15 0,05 a) Tính xác suất để ngày nào có ít khách mua bảo hiểm b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn Ví dụ 3: Gieo ngẫu nhiên đồng xu cân đối đồng chất lần Gọi X là số lần mặt sấp xuất a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tính E(X), V(X) và ( X ) (14) Ví dụ 4: Một tổ học sinh có nam và nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn ngẫu nhiên học sinh tham gia phong trào vận động quyên góp quỹ vì người nghèo Gọi X là số học sinh nữ chọn và Y là số học sinh nam chọn a) Lập bảng phân bố xác suất X và Y b) Tính E ( X ),V ( X ), E (Y ),V (Y ) Nêu nhận xét các giá trị trung bình X, Y và mức độ phân tán X và Y xung quanh các giá trị trung bình đó C BÀI TẬP ÔN LUYỆN Bài 1: Có đại bác bắn đạn vào pháo đài Xác suất trúng đích lần bắn thứ là 0,55, lần bắn thứ hai là 0,5 và lần bắn thứ là 0,45 Gọi X là số lần bắn trúng mục tiêu a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tính E(X), V(X) và ( X ) ( chính xác đến hàng phần nghìn ) Bài 2: Một bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan gồm nhiều câu hỏi, câu có phương án lựa chọn đó có phương án đúng Bình không làm câu nên biết chọn hú họa phương án lựa chọn cho câu này Gọi X là số câu trả lời đúng câu chọn hú họa Bình Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc X ( chính xác đến hàng phần trăm ) Bài 3: Có hai chuồng nhốt các thỏ trắng và thỏ đen Chuồng thứ có thỏ trắng và thỏ đen, chuồng thứ hai có thỏ trắng và thỏ đen Chọn ngẫu nhiên chuồng, từ chuồng đã chọn bắt hai thỏ Gọi X là số thỏ trắng bắt a) Lập bảng phân bố xác suất b) Tính E(X), V(X) và ( X ) Bài 4: Cho hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y có phân bố xác suất cho hai bảng sau: X P 0,4 0,25 0,35 X P 0,25 0,45 0,3 Đặt Z=X+Y a) Lập bảng phân bố xác suất Z c) Tính E(Z), V(Z) và ( Z ) (15)