ĐẠI SỐ TỔ HP Chương II HOÁN VỊ Giai thừa Với số nguyên dương n, ta định nghóa n giai thừa, kí hiệu n!, tích số nguyên liên tiếp từ đến n n! = 1.2.3…(n – 2) (n – 1)n Vì tiện lợi, người ta qui ước : 0! = Từ định nghóa, ta có : n(n – 1) … (n – r + 1) = n! (n − r)! vaø (n – 1)!n = n! Ví dụ : a) 5! = 1.2.3.4.5 = 120; b) 9! = 9.8.7.6 = 3024; 5! c) 3!4 = 4! = 1.2.3.4 = 24; d) (n + 2)! = (n + 2)(n + 1)n(n – 1)(n – 2) (n − 3)! Hoán vị Có n vật khác nhau, vào n chỗ khác Mỗi cách gọi hoán vị n phần tử Theo qui tắc nhân, chỗ thứ có n cách (do có n vật), chỗ thứ nhì có n – cách (do n – vật), chỗ thứ ba có n – cách (do n – vật), …, chỗ thứ n có cách (do vật) Vậy, số hoán vị n phần tử, kí hiệu Pn, : Pn = n(n – 1)(n – 2)… × = n! Ví dụ Từ chữ số 1, 2, tạo số gồm chữ số khác ? Giải DeThiMau.vn Mỗi số gồm chữ số khác tạo từ 1, 2, hoán vị phần tử Vậy có : P3 = 3! = số (các số : 123, 132, 213, 231, 312, 321) Ví dụ Trong lớp học, thầy giáo phát phiếu thăm dò yêu cầu học sinh ghi thứ tự môn Toán, Lý, Hóa học theo mức độ yêu thích giảm dần Hỏi có cách ghi khác ? Giải Đây hoán vị phần tử Vậy có: P3 = 3! = cách, có cách ghi là: (T,L,H), (T,H,L), (L,T,H), (L,H,T), (H,T,L), (H,L,T) Ví dụ Có sách toán khác nhau, sách lý khác sách hóa khác Cần xếp sách thành hàng cho sách môn đứng kế Hỏi có cách ? Giải Trước tiên, ta theo môn có P3 = 3! = cách Tiếp đến, sách môn đổi chỗ cho nhau, toán có P2 = 2! = cách, lý có P3 = 3! = cách, hóa có P4 = 4! = 24 cách Vậy, theo qui tắc nhân, có : × × × 24 = 1728 cách Bài 18 Giải phương trình : x !− (x − 1) ! = (x + 1)! với x ∈ ¥ * Giải x !− (x − 1) ! = (x + 1)! ⇔ 6[x! – (x – 1)!] = (x + 1)! ⇔ 6[x(x – 1)! – (x – 1)!] = (x + 1)! ⇔ 6(x – 1)!(x – 1) = (x + 1)x(x – 1)! ⇔ 6(x – 1) = x(x + 1) ⇔ ⎡x = x2 – 5x + = ⇔ ⎢ ⎣x = Nhận x ∈ ¥ * Bài 19 Giải bất phương trình : Pn + 15 < Pn Pn + Pn −1 Điều kiện n > 1, n ∈ ¥ DeThiMau.vn (*) Ta coù : (*) ⇔ (n + 4) ! 15 < n !(n + 2)! (n − 1)! ⇔ (n + 4)(n + 3)(n + 2)! 15 < n(n − 1) !(n + 2)! (n − 1)! ⇔ (n + 4)(n + 3) < 15 n ⇔ n2 + 7n + 12 < 15n ⇔ n2 – 8n + 12 < ⇔ Do điều kiện nên n ∈ {3, 4, 5} Bài 20 Gọi Pn số hoán vị n phần tử Chứng minh : a) Pn – Pn-1 = (n – 1)Pn-1 b) + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n – 1)Pn-1 = Pn Giải a) Ta có Pn – Pn-1 = n! – (n – 1)! = n(n – 1)! – (n – 1)! = (n – 1)(n – 1)! = (n – 1)Pn-1 b) Từ kết trên, ta có : ⎧P2 ⎪P ⎪ ⎪⎪P +⎨ ⎪: ⎪: ⎪ ⎪⎩Pn Vaäy : − P1 = (2 − 1)P1 − P2 = (3 − 1)P2 − P3 = (4 − 1)P3 : : : : : : − Pn −1 = (n − 1)Pn −1 Pn – P1 = P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n – 1)Pn-1 ⇔ Pn = + P1 + 2P2 + … + (n – 1)Pn-1 n ⎛ n + 1⎞ Bài 21 Chứng minh với n ∈ ¥ : n! ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Giaûi Theo bất đẳng thức Cauchy DeThiMau.vn 2