Trờng thpt lơng ngọc quyến đề thi thử tuyển sinh đại học năm 2014 Môn: Toán ( Khối A, B, A1 I Phần chung cho tất thí sinh (7,0 ®iĨm) C©u Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ C©u Giải phương trình: (1 − cos x)cot x + cos x + sin x = sin x C©u Giải phơng trình: x + x + x − x = + − x (với x ∈ ℝ ) π C©u Tính tích phân I = ∫ π cos x.ln(1 + sin x ) dx sin x Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a; góc DAB = 600 ; cạnh bên BB’= a Hình chiếu vng góc điểm D BB’ điểm K nằm cạnh BB’ BK= BB' , hình chiếu vng góc điểm B’ mặt phẳng (ABCD) điểm H nằm đoạn thẳng BD Tính theo a thể tích khố i hộp ABCD.A’B’C’D’ khoảng cách hai đường thẳng B’C DC’ C©u Cho hai số thực x, y thỏa mãn : x + y = x − + y + + C©u Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức F = 2(1 + xy x + y ) x y ( x − y ) + ( y − x) + 2 x+ y II phÇn riêng(3,0 điểm): Thí sinh đợc l m hai phần(phần A phần B) A Theo chơng trình ChuÈn C©u 7.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : x + y = Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) biết tiếp tuyến cắt tia Ox, Oy A B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ x −1 y −1 z − C©u 8.a Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : = = −1 điểm A(2;1;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ cho khoảng cách từ A đến (P) C©u 9.a Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: + z = z − i + (iz −1)2 Tính mơ đun w = z + z B Theo chơng trình Nâng cao C©u 7.b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2), đường thẳng ∆1 : x + y – = ∆2: x + y – = Tìm tọa độ điểm B thuộc ∆1 điểm C thuộc ∆2 cho tam giác ABC vng cân A C©u 8.b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho mp( P ) : x + y – 2z + = hai đường x −1 y + z x −1 y − z = = d : = = Viết phương trình đường thẳng ∆ song song vớ i thẳng d1 : 1 mp(P) cắt d1 , d2 điểm A , B cho độ dài AB = 35 C©u 9.b Gäi 1, l hai nghiệm phức phơng trình + + 16 = , l sè tù nhiªn tháa m$n 40 − 42 + 44 − 46 + ⋯ + −1 42 + ⋯ + 44 = 4096 Tìm phần thực số phức = + ( l số tổ hợp chập phần tử) //////////////////////////////// HÕt ////////////////////////////// Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm DeThiMau.vn Số báo danh: Họ v tên thí sinh: ……………………………………………… Tr−êng thpt l−¬ng ngäc qun H−íng dÉn chÊm thi thử đại học năm 2014 môn Toán1 khối A, B, A1 Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải câu 5, học sinh khơng vẽ hình vẽ sai hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,25 v khụng lm trũn Điểm Câu Nội dung Câu I Phần chung cho tất thí sinh (7,0 điểm) Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ * TXĐ: R Giới hạn: lim y = − ∞ , lim y = + ∞ 1,0 1,0 x → −∞ x → −∞ 0.25 + Sự biến thiên: y’ = 6x - 6x = 6x(x - 1) x=0 y' = ⇔ x = BBT x /∞ y’ + y / +∞ + +∞ / /∞ Hàm số đồng biến mỗ i khoảng ( −∞;0 ) (1 : +∞ ) 0,25 Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;1) Hàm số có cực trị x CD = 0, yCD = 1;x CT = 1, yCT = Vẽ đồ thị 0.25 0.25 DeThiMau.vn Giả sử M (x0; y0) ∈ (C) ⇒ y0 = 2x03 - 3x02 + Tiếp tuyến ∆ (C) M có phương trình: y = (6x02 - 6x0) (x - x0) + 2x03 - 3x02 + ∆ qua điểm P(0 ; 8) ⇔ = -4x0 + 3x0 + ⇔ (x0 + 1) (4x02 - 7x0 + 7) = ⇔ x0 = -1 ; (4x02 - 7x0 + > 0, ∀ x0) 0.25 0,25 Vậy: M (-1 ; -4) C©u 1,0 0.25 0.25 Giải phương trình: (1 − cos x ) cot x + cos x + sin x = sin x (1) Điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ (k ∈ ℤ ) cos x + cos x + sin x = sin x Khi đó: (1) ⇔ (1 − cos x ) sin x ⇔ cos x − cos x + cos x sin x + sin x = 2sin x cos x 0,25 ⇔ cos x(1 − 2sin x) + cos x sin x − (cos x − sin x) = ⇔ cos x cos x + cos x sin x − cos x = 0,25 ⇔ cos x (cos x + sin x − 1) = cos x = ⇔ cos x + sin x − + cos x = ⇔ x = π +k π (k ∈ ℤ) π π π ⇔ x − = ± + l 2π + cos x + sin x − = ⇔ cos x − = 4 4 π x = + l 2π ⇔ (l ∈ ℤ ) x = l 2π Kết hợp điều kiện phương trình cho có nghiệm là: x= C©u 1.0 π +k π , x= π + l 2π (k , l ∈ ℤ) 0,25 0,25 Giải phơng trình: x + x + x − x = + − x (với x ∈ ℝ ) Đk: ≤ x ≤ 2 u = x u + v = (đk u, v ≥ ) , ta có hệ: Đặt: u + u + 3uv − v = v = − x Nhân pt đầu với 2, trừ theo vế cho pt lại ta : u + 2v − 3uv − (u − v) = ⇔ (u − v)(u − 2v) − (u − v) = ⇔ (u − v)(u − 2v − 1) = u − v = ⇔ u − 2v − = u − v = ta : u = v = ⇒ x = Với 2 u v + = DeThiMau.vn 0,25 0,25 0.25 = v u – 2v = 49 Với ⇒x= ta được: 25 u + v = u = x = Vậy: 49 x = 25 `0,25 π C©u Tích phân I = ∫ π cos x.ln(1 + sin x ) dx sin x 1.0 Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx π π x = ⇒ t = ; x = ⇒ t =1 2 ln(1 + t ) Khi I = ∫ dt t2 0,25 0,25 dt u = ln(1 + t ) du = 1+ t Đặt: ⇒ dt dv = t v = − t 0,25 1 2 dt 1 Ta có I = − ln(1 + t ) + ∫ = − ln + ln + ∫ − dt t t +1 t t (t + 1) = 2ln − 3ln + ln t C©u 1 − ln t + 1 = 3ln − ln = ln 27 16 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a; góc DAB = 600 ; cạnh bên BB’= a Hình chiếu vng góc điểm D BB’ điểm K nằm cạnh BB’ BK= BB' ; hình chiếu vng góc điểm B’ mặt phẳng (ABCD) điểm H nằm đoạn thẳng BD Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ khoảng cách hai đường thẳng B’C DC’ 1.0 B' C' A' D' K B C H A D DeThiMau.vn 0,25 a a 14 ; tam giác vuông BKD : DK = BD − BK = 4 3a a 14 ; tam giác vuông B’KD : B ' D = B ' K + KD = =a Ta có B ' K = 4 Suy ∆ B’BD cân B’ H giao điểm AC BD a a a 21 VABCD A' B ' C ' D ' = B ' H S ABCD = = 2 Ta có BK = DC’//AB’ suy d ( DC '; B ' C ) = d ( DC ';( AB ' C )) = d ( D;( B ' AC )) = DH = a 0,25 0.25 0.25 0.25 x − + y + ≤ 5( x + y − 1) 0.25 Cho số thực x, y thỏa mãn : x + y = x − + y + + C©u Tìm GTLN, GTNN F = 1.0 2(1 + xy x + y ) x y ( x − y ) + ( y − x) + 2 x+ y Từ giả thiết, ta có: x ≥ 2; y ≥ −1 ( Vì x − + y + ) ≤ (2 + 12 ) ( x − + y + 1) ⇔ Nên từ x + y = x − + y + + ⇒ x + y ≤ 5( x + y − 1) + Đặt t = x + y , ta có: t − ≤ 5(t − 1) ⇔ ≤ t ≤ 2 Khi đó: F = ( x + y ) + = t2 + x+ y t 1 ≥ 0; ∀t ∈ [1;6] , với t ∈ [1;6 ] , có f ' (t ) = t − Xét f (t ) = t + t t t ⇒ Min f (t ) = f (1) = ; Max f (t ) = f (6) = 18 + t∈[1;6] t ∈ 1;6 [ ] x = ⇒ GTNN F là: đạt tại: t = ⇔ y = −1 0.25 0.25 0.25 II phÇn riêng(3,0 điểm) A Chơng trình chuẩn Trong mt phng vi hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : x + y = Viết phương trình C©u 7.a 1,0 tiếp tuyến đường trịn (C) biết tiếp tuyến cắt tia Ox, Oy A B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ O (0; 0) (C ) + Gọi tọa độ A ( a; 0) , B (0; b) với a > 0, b > = : C R ( ) 0,25 x y x y + Phương trình AB: + = ⇔ + −1 = a b a b ab = 2⇔ = (***) AB tiếp xúc (C) ⇔ d (O, AB ) = ⇔ 0,25 1 a + b2 + a b2 a 2b a 2b ≤ = S OAB b a2 + b2 ⇒ S OAB nhỏ a = b ⇒2= 0,25 Từ a = b (***) suy a = b = DeThiMau.vn Vậy: Phương trình tiếp tuyến x y + −1 = 2 0.25 x −1 y −1 z − = = điểm −1 A(2;1;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ cho khoảng cách từ A đến (P) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : C©u 8.a 1,0 → Đường thẳng ∆ qua điểm M(1 ; ; ) có vtcp u = (2 ; -1 ; 1) → → → → → 0,25 Gọi n = (a ; b ; c ) vtpt (P) Vì ∆ ⊂ ( P) ⇒ n ⊥ u ⇒ n u = → ⇔ 2a – b + c = ⇔ b = 2a + c ⇒ n =(a; 2a + c ; c ) , từ ta có: Pt(P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – ) = 0,25 ⇔ Pt (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = a 1 ⇔ = d(A ; (P)) = 3 a + (2a + c )2 + c 0.25 ⇔ (a + c) = ⇔ a + c = với a + c = , chọn a = , c = -1 ⇒ pt(P) : x + y – z = C©u 9.a 1,0 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: + z = z − i + (iz −1)2 Tính mơ đun w = z + Gọi 0.25 1− z z = a + bi,(a, b ∈ R) Từ giả thiết ta có : + a – bi = a − (b + 1)i + (−b − + ai) 1 + a = 2(b + 1)2 ⇔ + a − bi = 2(b + 1) − 2a (b + 1)i ⇔ b = 2a (b + 1) b = 2(b + 1)2 ;(b ≠ −1) ⇔ (b + 2)(2b + 1)2 = 0;(b ≠ −1) 2(b + 1) b = −2 ⇒ a = 1 ⇔ 1 Suy : z = – 2i z = − − i b = − ⇒ a = − 2 2 4 *) Với z = – 2i ta có : w = z + = – 2i + = – 2i – 2i = – 4i 1− z − + 2i Suy w = 17 0,25 Suy : + 0,25 0,25 1 *) Với z = − − i 2 1 1 19 13 =− − i + = ta có : w = z + = − − i + − i 1 1− z 2 2 10 10 1+ + i + i 2 2 2 530 19 13 Suy w = + = 10 10 10 0,25 B Chơng trình n©ng cao C©u 7.b Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2), đường thẳng ∆1 : x + y – = ∆2: x + y – = Tìm tọa độ điểm B thuộc ∆1 điểm C thuộc ∆2 DeThiMau.vn cho tam giác ABC vuông cân A 1,0 C©u 8.b 1,0 B ∈ ∆1 ⇔ B(b; –b) C ∈ ∆2 ⇔ C(c; 9-c) AB AC = ∆ ABC vuông cân A ⇔ 2 AB = AC (1) 2bc - 10b - 4c + 16 = ⇔ 2 2b - 8b = 2c − 20c + 48 (2) b = không nghiệm hệ 5b - (1) ⇔ c = Thế vào (2) tìm b = b = b-2 Với b = suy c = => B(0;3), C(4;5) Với b = suy c = 6=> B(4;-1), C(6;3) Trong không gian với hệ trục Oxyz ,cho mp( P ) : x + y – 2z + = hai đường thẳng : x −1 y + z x −1 y − z d1 : = = d : = = Viết phương trình đường thẳng ∆ song song 1 với mp(P) cắt d1 ; d2 điểm A , B cho độ dài AB = 35 0,25 0,25 0,25 0,25 A ∈ d1 suy A ( + 2t ; - + t ; t ) ; B ∈ d suy B ( + t/ ; + 2t/ ; t/ ) AB = (t / − 2t ;3 + 2t / − t; t / − t ) (P) có VTPT n = (1;1; −2) 0,25 AB // ( P ) ⇒ AB.n = ⇔ t / = t − Khi : AB = (−t − 3; t − 3; −3) Theo đề ta có : AB2 = 35 ⇔ (t + 3)2 + (t − 3)2 + = 35 ⇔ t = ⇔ t = ±2 0,25 *) Với t = suy A ( ; ; ), AB = ( −5; −1; −3) x = − 5t Phương trình ∆ : y = − t z = − 3t 0,25 *) Với t = – suy A (– ; – ; – ) Véc tơ AB = ( −1; −5; −3) x = −3 − t Phương trình ∆ : y = −3 − 5t z = −2 − 3t !" C©u 9.b 1.0 − + + 4 # $% %& − + ⋯ + −1 *+ % 2 ' () +⋯+ %& 4 + + 16 = = 4096 ) 0,25 *+ , ,% %& *+ $% / Phơng trình z + z + 16 = cã hai nghiÖm z = −2 + 3i, z = −2 − 3i 0.25 Ta cã (1 + i) n = C 04 n + C 14 n i + C 24 n i + + C 4k n i k + + C 44 nn i n = C 04 n − C 24n + C 44n − C 64 n + + (1−)2 C 24 kn + C 44 nn + [C14 n − C 34n + + (−1) k C 24kn+1 + − C 44 nn−1 ]i 4n π Mặt khác (1 + i ) = cos + i sin = 2 n (cos nπ + i sin nπ) 4 Do ®ã C 40 n + C 14 n i + C 24 n i + + C 4k n i k + + C 44 nn i n = 2 n cos nπ 4n DeThiMau.vn 0.25 Theo b i ta cã 2 n cos nπ = 4096 , cos nπ = ±1 ⇒ cos nπ = nªn n l số chẵn 2 n = 212 ⇔ n = (tháa m$n) 1 1 i + + i A = (−2 + 3i) + (−2 − 3i) = − 2 2 − π π −π π = 46 cos + i sin + 46 cos + i sin = 46 [cos(−2π) + i sin(−2π) + cos2π + i sin2π] =8192 3 3 VËy phÇn thùc cđa A l 8192 DeThiMau.vn 0.25 0,25 ... thi thư đại học năm 2014 môn Toán1 khối A, B, A1 Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu học. .. học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải câu 5, học sinh. .. = b = DeThiMau.vn Vậy: Phương trình tiếp tuyến x y + −1 = 2 0.25 x −1 y −1 z − = = điểm −1 A(2;1;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ cho khoảng cách từ A đến (P) Trong không gian với