UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 TRƯỜNG THCS LẬP LỄ Kí hiệu mã đề: MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 ® )Rút gọn biểu thức a/A= b/ A 10 10 1 1 1 100 99 99 100 Bµi 2: (1,5 đ ) a/Cho số thực x>2 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: A = x x 2019 x2 b/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y xy Bài 3: (2 ®) a/Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương b/Chøng minh r»ng, n Z+ , ta có : 1 1 2 (n 1) n Bài 4: (1 đ )Trong mặt phẳng tọa độ O xy cho điểm A (2;2), B (-2;1) C(4;-3) Tìm phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC Bài 5: (1,0 đ )Cho tam giỏc ABC, BC= a, AC=b, AB=c Chứng minh sin a  bc Bài 6: ( 3,0 đ ) Trên đường thẳng d lấy hai điểm A, B nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d ta dựng hai tia A x , By vuông góc với d A x lấy điểm C , By lÊy mét ®iĨm D Chøng minh r»ng ®iỊu kiƯn cần đủ để CD tiếp xúc với đường tròn ®êng kÝnh AB lµ AB2 = AC BD HÕt Người đề (Kí, ghi rõ họ tên) Người thẩm định (Kí, ghi rõ họ tờn) Đinh Thị Thanh Mây DeThiMau.vn BGH nh trng (Kớ tên, đóng dấu) UBND HUYỆN THUỶ NGUN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS LẬP LỄ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MƠN: TỐN NĂM HỌC 2014 - 2015 Kớ hiu mó HDC: Đáp án Bài a/ NhËn xÐt : A > Ta cã A2 = 4+ 10 + 10 10 +4 - 10 = + 62 = + V× A > 1 = + ( - 1) = + Nªn : A = = b/ Ta chứng minh : 1 A 10 (n 1) n n n n n 1 1 = +1 ( +1>0) 1 2019 = x2 – 6x + + x – + + 2012 x2 x2 = (x–3)2+x–2+ + 2012 x2 Ta cã : ( x – ) víi mäi x thuéc R x–2+ víi mäi x > x2 suy : A = ( x – ) + x – + + 2012 2014 x2 Dấu = xảy x- = x2 ( x – ) = x- = hc x- = -1 x= tho¶ m·n x >2 Điểm 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,75 đ a / A = x 5x hc x= không thoả mÃn x >2 Vậy : giá trÞ nhá nhÊt cđa A = 2014 x= b/Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y xy 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® Ta có: x y xy x y xy ( x xy ) (3 y xy ) x( x y ) y ( y x) ( x y )( x y ) 5(3) 0,25 ® Từ (3) ta suy ra: (x-y) ước 5, hay x y 1; 5 Từ ta đưa giải hệ phương trình bậc hai ẩn x y ta tìm DeThiMau.vn 0,5 ® nghiệm sau: (-1;1); (1;2); (3;-2); (-7;-2) a/ Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48) 2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n p > q a+48 = 2p 2p – 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3 a - 48 = 2q q = p-q = p = n = 5+7 = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 b/ Ta có : 1 1 1 k k k (k 1)k (k 1) k k k k 1 k k 1 k k 1 1 = 1 2 Do : k 1 k k 1 (k 1) k k 1 k 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0, 25 ® Vậy : 1 1 1 2 0,5 ® (n 1) n 2 3 n 1 n = 1 2 n 1 0,25 đ (Điều phải chứng minh ) Toạ độ trung điểm M BC ( 1; -1 ) Gọi phương trình đường trung tuyến AM có dạng : y = a x + b 0.25 đ - Vì đường trung tuyến AM qua A ( ; ) Nªn ta cã : = a + b ( ) - Vì đường trung tuyến AM qua M - Nên ta có : - = a + b ( 2) 2 a b a a b 1 b 4 - Tõ (1) ( ) ta có hệ phương trình Vậy : Phương trình đường trung tuyến AM : y = 3x- DeThiMau.vn 0,5 ® 0,25 ® A I C B D Vẽ đường phân giác AD tam giác ABC BD DC BD DC BD DC CB a Ta có = AB AC AB AC AB AC AB AC b c Vẽ BI AD BI BD BD a  BI   Ta có sin sin Vậy sin AB AB AC bc Chøng minh hai mÖnh ®Ị : a/ gi¶ sư ta cã AB2 = AC BD (1) CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB - Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Từ O kẻ OI CD Do OA = 1/2 AB nªn (1) cã thĨ viÕt 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25® 0,25 ® y x D I C d A O B - AC BD = OA AC : OA = OA : BD AC : OA = OB : BD Δ AOC ~ ΔBDO , Cho ta : O1 = C ; O2 = D1 mµ C1 = C2 , D1 = D2 COD = 900 - Trong tam giác vuông COD COI = D2 - Vậy O2 = COI Suy : ΔCOI = ΔCAO OI = OA =OB VËy : ®iĨm I n»m đường tròn đường kính AB Hay: CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB b/ Giả sử CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB hệ thức AB 2= AC BD thỏa mÃn - Gọi I tiếp điểm OI = AB / - Dùa vµo tÝnh chÊt cđa hai tiếp tuyến cắt ta chứng minh COD = 900 - Mặt khác :AC = CI BD = BI Trong tam giác vuông COI ; OI ®êng cao nªn OI2 = CI DI DeThiMau.vn 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® AC BD = OI = AB 2 AC BD = AB 2/ AB2 = AC BD 0,25 đ Chú ý: Học sinh làm cách khác cho diểm tối đa Ngi (Kí, ghi rõ họ tên) Người thẩm định (Kí, ghi rừ h tờn) Đinh Thị Thanh Mây DeThiMau.vn BGH nh trường (Kí tên, đóng dấu) ...UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS LẬP LỄ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MƠN: TỐN NĂM HỌC 2014 - 2015 Kí hiệu mó HDC: Đáp án Bài a/ Nhận xét : A > Ta cã A2... CI DI DeThiMau.vn 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® AC BD = OI = AB 2 AC BD = AB 2/ AB2 = AC BD 0,25 đ Chú ý: Học sinh làm cách khác cho diĨm tèi ®a Người đề (Kí,... 2012 2014 x2 DÊu “ = xảy x- = x2 ( x – ) = x- = hc x- = -1 x= thoả mÃn x >2 Điểm 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,75 ® a / A = x 5x x= không thoả mÃn x >2 Vậy : giá trị nhỏ cđa A = 2014 x=