Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014 2015 môn Toán Trường THCS Bình Minh30218

Phòng GD huyện Thanh Oai Đề thi chọn học sinh giỏi lớp Trường THCS Bỡnh Minh năm học 2014- 2015 Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (6đ) a Cho biểu thức:  x  x2 P   x 1   x x 1 1.Rót gon P 2.Tìm giá trị x để P= Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cña P b Chøng minh r»ng A= 1 1      4 1 3 5 7 79  80 Bài 2:(4đ) a) Giải phương trình: x2 x   x2  x   x  x b)Chøng minh r»ng : n2 + 7n + 2014 kh«ng chia hÕt cho víi mäi sè tự nhiên n Bài 3:(3đ) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình + x + x2 + x = y b)Cho a,b,c số dương a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= a b c Bài 4:(6đ) Cho đường tròn tâm O bán kính R, từ điểm S đường tròn vẽ tiếp tuyến SA.SB ( A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AC (O) cắt AB E Chứng minh: a) Bốn điểm A,O,S,B thuộc đường tròn b) AC2 = AB.AE c) SO // CB d) OE vu«ng góc với SC Bài 5: (1đ) Tìm a,b số nguyên dương cho: a + b2 chia hết cho a2b-1 ThuVienDeThi.com Đáp án + biểu điểm Bài 1: a) (4đ) 1.(2đ) Tìm ĐK: x 0,25đ  x2  x    x 1   ( x  1)( x  x  1)  x   ( x  x  1)  x     ( x  1)( x  x  1)   0,5® 0,5® x 1 x ( x  1)( x  x  1) 0,5® x  3( x  x  1) 0,25® (1®) 1® P=  x  x   x1 4; x2 (TMĐK) 0,5đ 3.Với x  0;3( x  x  1)   P  , minP=0 x=0 Víi x>0,P= 3( x   1) x v× x  nªn x x   Do ®ã P  x DÊu ”=” x¶y x=1 VËy maxP= x=1 1 1     1 3 5 79  80 1 1 A>     2 4 6 80  81 1 1 1       2A > 1 2 3 4 79  80 80  81 0,25® 0,25® b A= 2A >          81  80 2A > 81      A  (®pcm) Bài 2:(4đ) a) (2đ) ĐK: x>0 Nhận thấy x  x   x  x  víi mäi x ThuVienDeThi.com 1® 1® 0,25® BiÕn ®æi: x x 4 x2   x x2  x   x2  x  2 x2  x   x2  x   x    2x  x   x  x   x  x  x    x x  x    x  x3  x   x  ( x  1)( x  x  x  4)  2 0,5® 0,25® 0,5® 0,5®  x  1(dox3  x  x 0khix 0) b)(2đ) Giả sö n2 +7n +2014   n  n  2014  4n  28n  8056  (2n  7)  8007  v× 8007   (2n  7)   (2n  7)  mµ 8007 không chia hết cho Nên (2n+7)2+8007 không chia hêt cho  n  7n  2014 kh«ng chia hết cho mâu thuẫn với giả sử nên điều giả sử sai Vậy n2+7n +2014 không chia hết cho (đpcm) 0,5đ 0,5đ 1đ Bài 3: (3®iĨm) a (1,5d) Giải: Ta có x2+x+1=(x+ )2 + >0 5x2+11x+7=5(x+ 11 19 )  >0 10 20 Nên(1+x+x2+x3)-(1+x+x2)0 10 20 Nên(1+x+x2+x3)-(1+x+x2)