ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2014 – 2015 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm câu, trang) PHÒNG GD & ĐT CẨM GIÀNG TRƯỜNG THCS TÂN TRƯỜNG Câu (2 điểm) : Cho biểu thức: A = x x x 1 3x x x 1 a) Rút gọn A ( x 1).( x 1) : ; x x 1 x b) Tính giá trị A với x = với x 0; x 1 94 Câu (2 điểm) Tìm số thực x, y, z thoả mãn: x 2008 x 2008 y 2009 z 2010 y 2009 z 2010 Câu (2 điểm): Cho số thực dương x, y thoả mãn x + y x Tìm giá trị nhỏ P = x y y Câu (3 điểm) : Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, vẽ tia Ax AB tia By AB Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB C OCA điểm tia Ax Vẽ tia Cz cho OCz , tia Cz cắt By D (AC 2006; y > 2007; z >2008 Đặt x 2008 a ; y 2009 b ; z 2010 c 0,25 0,5 0,25 Đẳng thức cho trở thành: a 1 b 1 c 1 a2 b c 1 1 1 1 ( )( )( ) 0 a b c a b c 1 1 1 (( ) ( ) ( ) a b c a x 2012 b y 2013 z 2014 c Câu (2 điểm) P x 2y 1 ( x y) x y x y 2 x y 2 Do x + y ( x y ) Áp dụng bất đẳng thức Cau-Chy ta có ThuVienDeThi.com 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 8 x 2 x x x 0,25 6 y 2 y y y P 13 0,5 x, y x y x Dấu "=" xảy x x y 2 3 y y 2 0,5 0,25 Vậy giá trị nhỏ x= y=2 Vẽ hình Câu (3 điểm) 0,25 y z x D H C E A K O B a a) Ta có AOC = HOC ( Aˆ Hˆ 90 , ACO HCO ;CO chung) (2 góc tương ứng) OA OH AOC COH OC phân giác góc AOH (1) Tương tự ta có OD phân giác góc BOH (2) Mà AOH HOB 1800 (hai góc kề bù ) OC OD (đpcm) b Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng OCD ta có: OC2 = CH.CD OD2 = DH.CD OC CH CD CH DH CD DH OD OC DH OD HC (đpcm) c Do OA = OH= OB (cmtrên) AHB vng H (tam giác có trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) AH BH ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AHB ta có: AH2 = AK.AB; BH2 = BK.AB HA2 AK AB AK HB KB AB KB (3) 0,25 Mặt khác CA//HK//DB (cùng vng góc với AB) Suy ra: KA HC AC EA KB HD BD EB (4) 0,25 (Vì HC = AC HD = DB) Từ (3) (4) suy ra: Câu (1điểm) - Vẽ hình HA AK EA (đpcm) HB KB EB 0,25 A E F B C D Kẻ đường cao AD; BE; CF ABC BE BE 2.BE AC SinA (1) AB AB AB AC AD Xét ABD có SinB= AB AD Xét ADC có Sinc = AC 1 SinB + SinC = AD( ) AB AC AB AC AD.BC = AD (2) AB AC AB AC Xét AEB có SinA= Mặt khác 2.SABC = AD.BC = BE.AC (3) Từ (1), (2), (3) suy 2SinA = SinB+ SinC (đpcm) ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2014 - 2015 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm trang) PHÒNG GD & ĐT CẨM GIÀNG TRƯỜNG THCS TÂN TRƯỜNG ý Câu Đáp án Câu x ( x 1)... 1)( x x 1) ( x 1) x 1 ( x 1)( x 1) 0,25 ( x 1)( x 1) 0,25 9? ??4 Câu (2 điểm) 0,25 b Ta có: x = (9 ). (9 ) = 0,25 x x 1 x 1 A Điểm 1 84 0,25 84 (8 )(8... y 2013 z 2014 c Câu (2 điểm) P x 2y 1 ( x y) x y x y 2 x y 2 Do x + y ( x y ) Áp dụng bất đẳng thức Cau-Chy ta có ThuVienDeThi.com 0,25 0,5 0,5