Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014 2015 môn: Toán Trường Thcs Bích Hòa39360

phßng gD & ĐT Oai TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA ®Ị chÝnh thøc §Ị thi häc sinh giái líp Năm học 2014 - 2015 Môn: Toán ( Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề) Cõu 1: ( điểm ) 1) Cho biểu thức: A   ( x 1 x   ): 1 x 4x 1 1 x 4x  x 1 a/ Rút gọn A b/ Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị nguyên c/ Tính giá trị A với x  7 49(5  2)(3   )(3   2 ) 2) Tìm tất số tự nhiên abc có chữ số cho : abc  n   cba  n   với n số nguyên lớn Câu 2: ( điểm ) 1) Giải phương trình sau: x    x  x    x 1 2) Cho x, y, z ba số thỏa mãn: x y.z  x  y  z    x y z 2013 2014 2015 Tính giá trị biểu thức: P  x  1y  1z  1 Câu 3: ( điểm ) 1) Tìm nghim nguyờn ca phng trỡnh : x2 + xy + y2 = x2y2 2) Cho a, b c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh ab bc ca    c 1 a 1 b 1 Câu 4: ( điểm ) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C, tia By lấy điểm D cho góc COD = 900 Kẻ OH vng góc với CD H a) Chứng minh CD tiếp tuyến đường trịn tâm O đường kính AB; AB b) Chứng minh AC.BD  ; c) Nêu cách xác định vị trí điểm C tia Ax để diện tích tam giác COD diện tích tam giác AHB Câu 5: ( điểm ) T×m nghiƯm nguyên dng phương trình : x2+2y2 +2xy +3y- = —————————————– Hết ——————————————– Người đề Ðặng Ngọc Trình Người duyệt đề ThuVienDeThi.com phßng gD ĐT Oai TRNG THCS BCH HềA hướng dẫn chấm môn toán Năm học: 2014 - 2015 Điểm Câu  x  x 1    :  1 x 4x 1 1 x  4x  x 1 a/Cho biểu thức A= 1-  0,5đ ĐK: x  0; x  ; x    x  x 1 :    x  x  (2 x  1) x   x    A= 1-  A=1- Câu 1.1 (4 ð)     x   x  x  (2 x  1) (2 x  1)(2 x  1) x 1 0,5đ 0,5đ 0,5đ x 1 x 1 x 1  1  x 1 x 1 x 1  x b/ Tìm x  Z để A nguyên A Z   Z   x  Ư(2) 1 x Do x  0; x  1; x  Z  x  A=1- 1đ Vậy x=0 A có giá trị nguyên c/Với x= 7 49(5  2)(3   )(3   2 ) x=-7 49(5  2)(5  2)  7   49  x  Vậy A  0,5đ 0,5đ 2   2.7 13 (1) Câu 1.2 (2 ð) abc  100a  10b  c  n   Viết cba  100c  10b  a  n  4n  (2) 0,5 0,5 Từ (1) (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – => 4n –  99 (3) Mặt khác : 100  n   999  101  n  1000  11  n  31  39  4n   119 Từ (3) (4) => 4n – = 99 Vậy số cần tìm abc  675 => n = 26 ThuVienDeThi.com 0,5 (4) 0,5 x    x  x    x (ĐK:   x  )  x   a   x   a Đặt  ( a , b  0)     x  b   x  ab Thay vào phýõng trình ðã cho ta có: Câu 2.1 (2đ) a   ab  3a  b  a  b  3.a  b     a  1a  b    a   a  b   Với a   x    x  (thỏa mãn) Với a  b   x    x   x    x   x    x   x  (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x  -1 x y z Từ x  y  z     x  y  z  xy  yz  zx  xy  yz  xz ( xyz  ) xyz Xét tích x  1 y  1z  1  xy  x  y  1z  1  0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ xyz  xy  xz  yz  x  y  z    xy  xz  yz  x  y  z   Câu 2.2 (2ð)  x 1   x    y     y   z    z  Lần lượt thay x  y  z  vào biểu thức P ta P  - x2 y  x2 *Víi x vµ y ta cã:  2  x y  y Câu 3.1 (2ð)  x2y2  (x2 + y2) = x2 + y2 +x2 + y2 x2 + y2 + 2xy> x2 + y2 + xy * VËy x hc y  - Với x =2 thay vào phương trình ta ®­ỵc + 2y + y2 = 4y2 hay 3y2-2y -4 =0 Phương trình nghiệm nguyên - Với x =-2 thay vào phương trình ta - 2y + y2 = 4y2 hay 3y2+2y -4 =0 Phương trình nghiệm nguyên - Với x =1 thay vào phương trình ta + y + y2 = y2 hay y = -1 - Víi x =-1 thay vào phương trình ta - y + y2 = y2 hay 1- y =  y =1 - Víi x = thay vµo phương trình ta y =0 Thử lại ta phương trình có nghiệm nguyên (x, y) là: (0; 0); (1, -1); (-1, 1) ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 0,25ð 0,25ð 0,25ð 0,25ð 0,25ð 0,25ð 0,25ð 0,25ð Học sinh phát biểu CM bất đẳng thức phụ sau: - Với x; y số thực dương ta có: xẩy x = y Câu 3.2 (1ð) 0,25 11 1     (1) Đẳng thức x y 4 x y Thật vậy: Vì x; y số thực dương theo BĐT Cơsi ta có 1 1 11 1        xy 4 x y 4 x y xy x y 0,25 x  y  - Áp dụng BĐT (1) ta có: ab ab ab  1  ’      (1 ) c  c  a   c  b   c  a c  b  Tương tự 0,25 bc bc  1  ’ ca ca  1  ’        (2 );  (3 ) a 1  a  b a  c  b 1  b  a b  c  Cộng vế với vế ba đẳng thức ta được: ab bc ca  ab  ca ab  cb cb  ca  a  b  c         c 1 a 1 b 1  b  c ca ab  4 0,25 Đẳng thức xẩy a  b  c  y x D H M C 0,5 A K O B a) Vì Ax  AB; By  AB nên Ax, By tiếp tuyến đường tròn (O) Câu Gọi M trung điểm CD => OM đường trung bình hình thang 1,5 ACDB => OM //AC => góc ACO = góc MOC ( So le trong) (1) (6đ) Lại có: OM trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông COD => OM = MC => tam giác OMC cân M => góc COM = góc MCO (2) Từ (1) (2) suy góc ACO = góc MCO => tam giác ACO = tam giác HCO (cạnh huyền - góc nhọn) => OH = OA => H thuộc đường tròn tâm O => CD tiếp tuyến đường trịn tâm O đường kính AB b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có AC = CH; BD = DH CH.DH = OH2 => AC.BD  AB ThuVienDeThi.com 1,5 c) SCOD  S AHB => OH  ( HK  AB; K thuộc AB ) HK 0,5 1,0 ( Vì tam giác COD đồng dạng với tam giác BHA) => OH = HK => K trùng O => H điểm nửa đường tròn O => 1,0 AB AB AC = điểm C thuộc tia Ax cho AC = SCOD  S AHB 2 -Biến đổi phương trình x2+2y2 +2xy +3y- =  (x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4=  (y+4)(y-1) =-(x+y)2   - y y thuộc Z nên y 4;3;2;1;0;1 Cõu (1 ) Sáu cặp (x;y) thỏa mÃn phương trình (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) V ì x; y nguyên dương nên x=1 y=3 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 ... ta có 99 ( a –c ) = 4n – => 4n –  99 (3) Mặt khác : 100  n   99 9  101  n  1000  11  n  31  39  4n   1 19 Từ (3) (4) => 4n – = 99 Vậy số cần tìm abc  675 => n = 26 ThuVienDeThi.com...phßng gD ĐT Oai TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA h­íng dẫn chấm môn toán Nm hc: 2014 - 2015 Điểm Câu  x  x 1    :  1 x 4x 1 1 x  4x  x 1 a/Cho... x  1; x  Z  x  A=1- 1đ Vậy x=0 A có giá trị ngun c/Với x= 7 49( 5  2)(3   )(3   2 ) x=-7 49( 5  2)(5  2)  7   49  x  Vậy A  0,5đ 0,5đ 2   2.7 13 (1) Câu 1.2 (2 ð) abc 