Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2014 2015 môn: Toán lớp 8 (Đề 3)48322

ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 MƠN: TỐN LỚP ( Thời gian làm bài: 150 phút ) Câu (3,0 điểm) a) Giả sử y  y  0, biết : x1  x1986  ; y 1 x 1 x 1 ; x  ; x  ; Tìm y y 1 x1  x2  2     y2  yz  z  x y z     x  y  z b) Rút gọn biểu thức A    x yz  1    y z  yz xy xz  Câu (5,0 điểm) a) Phân tích đa thức C = (x – 2)(x – 4) (x – 6)(x – 8) + 15 thành nhân tử ; b) Chứng minh với số nguyên a a5 – 5a3 + 4a  120 Câu (3,0 điểm) 1 x2  x4  x ; z x x   Hãy tính z theo y ; a) Cho y  1 x  x  x x b) Cho xy + xz + yz = x, y, z khác  Chứng minh : x y z 4xyz    2 2 1 x 1 y 1 z 1  x 1  y2 1  z2  Câu (4,0 điểm) b2  c  a  a  b  c  a  c  b  b + c – a  0; bc  0; a + b + c  a) Cho x  ; y 2bc  a  b  c  b  c  a  Tính giá trị biểu thức P = (x + y + xy + 1)3 b) Chứng minh a, b, c khác : bc ca ab 2       a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b  a  b b  c c  a Câu (5 ,0 điểm) a) Cho tam giác ABC, trọng tâm G O điểm thuộc miền tam giác O khác G Đường thẳng OG cắt đường thẳng BC, BA AC theo thứ tự A’, B’, C’ OA' OB' OC' Chứng minh rằng:    3; GA' GB' GC' b) Từ điểm P thuộc miền tam giác ABC Hạ đường vng góc PD, PD  PE  PF PE PF xuống cạnh BC, CA AB Tính BD  CE  AF Hết -Họ tên thí sinh:…………………………………………………SBD:………… ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI Câu a) x  điểm x1   y    y   2 2y 1   1 :   1  :  x1   y    y   y  y  y Tương tự, ta tính x  y 1 ;x  y, suy x  x1;x  x ;x  x ; 1 y Vì 1986 = 4.496 + 2, nên x1986  x  0,5 0,5 1 1  3 y  y 2    2  y  yz  z x  y z b) A       x  y  z  x yz  1    y z  yz xy xz  (y  z  yz)(y  z)  x  3xyz 2x(y  z)   (x  y  z) x(y  z) x yz  2(y3  y z  yz  y z  yz  z  x  3xyz)  (x  y  z) xyz  2(x  y3  z  3xyz)  (x  y  z) x yz Mà x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx ) 0,5 0,5 0,5 Do kết viết thành :  x  y  z   x  y2  z – xy – yz – zx x yz   (x  y  z) 0,5 = 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx + x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = 3(x2 + y2 + z2) (xyz  0; y + z  x + y + z  0)  Câu điểm a) C = (x2 – 10x + 21)(x2 – 10x + 19) 2,5 b) a5 – 5a3 + 4a = (a – 2)(a – 1)a(a + 1)(a + 2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5; ; 8, chúng đôi nguyên tố nhau, 2,5 nên a – 5a + 4a  3.5.8 = 120  Câu ThuVienDeThi.com điểm 1 2  x 2 x   x2 ; x   2x ; y   a) Ta có : y   1 1 x2  x2  x2  x2  x x x x x2  y  y 1  y 1 y  y  y2  x  x z   y 1 y 1 y 1 2y x   x y 1 y 1 x4  b) Ta có: 0,5 2 2 2 x y z x(1  y )(1  z )  y(1  x )(1  z )  z(1  x )(1  y )    2 1 x 1 y 1 z (1  x )(1  y2 )(1  z ) Phân tích tử thức phân thức trên, ta có: x – xy2 – xz2 + xy2z2 + y – x2y – yz2 + x2yz2 + z – x2z – y2z + x2y2z = xyz(xy + xz + yz) + y(1 – xy – yz) + x(1 – xz – xy) + z(1 – xz – yz) (1) Theo giả thiết xy + yz + xz = 1, nên xz = – xy – yz ; yz = – xz – xy ; xy = – xz – yz Thay vào (1), ta tử thức 4xyz Từ ta có kết tốn  Câu y 0,5 0,5 điểm a) Ta có (x + y + xy + 1)3 = [(x +1) + y(x + 1)]3 = [(x + 1)(y + 1)]3 Vì x  0,5 b2  c2  a (b  c  a)(b  c  a)  x 1  , 2bc 2bc (a  b  c)(a  c  b) (a  b  c)(a  c  b)  (a  b  c)(b  c  a)  y 1  (a  b  c)(b  c  a) (a  b  c)(b  c  a) 0,5 0,5 0,5 a  (  b  c)  (b  c)  a 4bc   (a  b  c)(b  c  a) (a  b  c)(b  c  a) Vậy P   x  y  xy  1    x  1 y  1  3  (b  c  a)(b  c  a)  4bc   23   2bc (b  c  a)(b  c  a)   0,5 ( bc  0, a + b + c  b + c – a  ) Vậy P = bc 1   ; tương tự, ta có: (a  b)(a  c) a  b a  c ab 1 ca 1   ;   (c  a)(c  b) c  a c  b (b  c)(b  a) b  c b  a Cộng theo kết tìm được, suy điều phải chứng minh  b) Ta có : ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 Câu 5 điểm 0,5 a) Từ G hạ GH, GE, GF vng góc với cạnh BC, CA AB (Xem Hình vẽ ) 0,5 Từ O hạ OI, OM ON vng góc với BC, CA AB Áp dụng định lí Thales tam giác, ta có 0,5 A'O OI B'O ON C'O OM  ;  ;  A'G GH B'G GF C'G GE 0,5 h OI + OM + ON = h (h đường cao ABC ) Từ suy điều phải chứng minh Mặt khác ABC nên GE = GF = GH = 0,5 b) Từ P dựng đường song song với cạnh ABC, ta ba tam giác MNP, PIK PRS nhận PD, PE PF đường cao ( Xem Hình vẽ ) 0,5 Gọi x, y, z cạnh tam giác x + y + z = a (a cạnh tam giác ABC) Gọi h đường cao tam giác ABC, ta có h  Ta lại có PD  PE  PF  0,5 a a x y z Mặt khác BD  z  ; CE  x  ; AF  y  nên 2 ThuVienDeThi.com 0,5 BD + CE + AF = a PD  PE  PF Vậy    BD  CE  AF 3 0,5 0,5 Chú ý Nếu học sinh có cách giải khác, lập luận xác cho điểm tuyệt đối ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI Câu a) x  điểm x1   y    y   2 2y 1   1 :   1  :  x1  ... y  nên 2 ThuVienDeThi.com 0,5 BD + CE + AF = a PD  PE  PF Vậy    BD  CE  AF 3 0,5 0,5 Chú ý Nếu học sinh có cách giải khác, lập luận xác cho điểm tuyệt đối ThuVienDeThi.com ... 1)(a + 2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5; ; 8, chúng đôi nguyên tố nhau, 2,5 nên a – 5a + 4a  3.5 .8 = 120  Câu ThuVienDeThi.com điểm 1 2  x 2 x   x2 ; x   2x ; y   a) Ta