ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 MƠN: TỐN LỚP ( Thời gian làm bài: 150 phút ) Câu ( 4.0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) A = x4 + 1997x2 + 1996x + 1997; b) B = (x y z )(x y z) (xy yz zx) Câu ( 4.0 điểm) a) Một số điện thoại có 10 chữ số 098219 abcd Hãy tìm chữ số cuối số điện thoại đó, biết bốn số tạo thành số phương ta thêm vào chữ số đơn vị số phương b) Chứng minh với số tự nhiên n 1, ta có : 1 1 13 25 n (n 1) 20 Câu ( 4.0 điểm) x xy y a) Chứng minh rằng, với x, y , ta ln có : ; x xy y2 b) Cho biết a + b + c = a, b, c > Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức : a3 b3 c3 P a ab b b2 bc c2 c2 ca a Câu ( 1.0 điểm ) Tìm số nguyên x, y, z, biết : x2 + y2 + z2 < xy + 3y + 2z – Câu ( 7.0 điểm ) 1) Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh góc vng AB = 6cm, AC = 8cm M điểm di chuyển cạnh huyền BC Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Khi tứ giác ADME đạt diện tích lớn 2) Cho hình vng ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình vng ( gọi tứ giác nội tiếp hình vuông ) Chứng minh rằng: AC a) SABCD MN NP PQ QM ; b) Xác định vị trí M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ c) Xác định vị trí M, N, P, Q để diện tích tứ giác MNPQ nhỏ Hết -Họ tên thí sinh:…………………………………………………SBD:………… Cán coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2014-2015 Câu điểm A = x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) = (x + x + 1)(x - x + + 1996) 0,5 = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) 0,5 Đặt x y z = a, xy + yz + zx = b ta có B = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 2 0,5 B = (x y z ) 2(xy yz zx) (x y z ) (xy yz zx) 2 0,5 = ( x y z + xy + yz + zx) 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu a) Theo đề bài, ta có abcd x ; (a 1)(b 1)(c 1)(d 1) y điểm 0,5 y2 – x2 = 1111 (y – x)(y + x) = 1111 x, y số có chữ số (Vì x, y có từ chữ số trở lên bình phương khơng thể số có chữ số x, y khơng thể số có chữ số ) 0,5 1111 có hai cách phân tích thành tích hai số ngun dương, 0,25 1111 = 11.101 = 1111.1 y x 11 x 45 Vì (y – x)(y + x) = 11.101 , thử lại thấy y x 101 y 56 abcd 2025; 3136 y (thỏa mãn) 0,5 Vậy bốn số cuối số điện thoại : 2025 số điện thoại : 0,25 0982192025. b) Ta có : 1 1 1 k (k 1) 2k 2k 2k(k 1) k k Với k = 2, ta có 1 11 1 2 13 Với k = 3, ta có 1 11 1 25 23 4 ThuVienDeThi.com Với k = n, ta có 11 k (k 1) k k 1 Câu a) Ta có x xy y 3(x xy y ) x xy y 2 x xy y 3x 3xy 3y x xy y 2(x y)2 , bất đẳng thức cuối điểm 0,5 0,5 với x, y phép biến đổi tương đương nên bất đẳng thức cho a3 b3 c3 b)Ta có P a ab b2 b bc c2 c2 ca a 0,5 b3 c3 a3 Xét Q a ab b2 b bc c2 c2 ca a 0,5 P–Q=0P=Q 2P a b3 b c3 a c3 a ab b2 b2 bc c2 c2 ca a 2P (a b) a ab b b bc c2 c2 ca a (b c) (a c) a ab b2 b2 bc c2 c2 ca a Áp dụng bất đẳng thức a) suy 0,5 0,5 0,5 1 a bc 2P (a b) (b c) (a c) (a b c) P 3 3 3 Dấu xảy a = b = c = Vậy Min P = a = b = c = ThuVienDeThi.com Câu điểm 0,5 0,5 0, 0,5 Câu 1) điểm điểm 0,25 0,5 ThuVienDeThi.com 0,25 Ta có: 0,5 0,25 0,25 2) điểm 0,5 0,5 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0.5 0,5 0,5 0,5 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 Chú ý Nếu học sinh có cách giải khác, lập luận xác cho điểm tuyệt đối ThuVienDeThi.com ...ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2014- 2015 Câu điểm A = x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x... ThuVienDeThi.com Câu điểm 0,5 0,5 0, 0,5 Câu 1) điểm điểm 0,25 0,5 ThuVienDeThi.com 0,25 Ta có: 0,5 0,25 0,25 2) điểm 0,5 0,5 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0.5 0,5 0,5 0,5 ThuVienDeThi.com 0,5... 0,5 0,5 0,5 0.5 0,5 0,5 0,5 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 Chú ý Nếu học sinh có cách giải khác, lập luận xác cho điểm tuyệt đối ThuVienDeThi.com