Đề thi học sinh giỏi năm học 2014 – 2015 môn: Toán lớp 846424

THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GD & ĐT TP BUÔN MA THUỘT TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH ĐỀ Bài (2điểm): Chứng minh : a  17a chia hết cho với số nguyên a   2x  Bài (3điểm): Cho biểu thức A     : 2    x x 1  x  x 1 a) Rút gọn biểu thứcA b) Tìm x để A > Bài (3điểm): Cho hai số a b Chứng minh : a  b  a b  ab3 1 1    Bài (2điểm): Giải phương trình 3x  2x  9x   4x Bài (7điểm): Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao a) Chứng minh AH.BC  AB.AC b) Gọi M, N trung điểm BC AB, đường vng góc với BC vẽ từ B cắt đường thẳng MN I Chứng minh: IB2  IM.IN c) IC cắt AH O Chứng minh O trung điểm AH Bài (3điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, đường phân giác BE cắt đường cao AH I Chứng minh EC = 2HI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GD & ĐT T/P BUÔN- MA- THUỘT TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH ĐỀ Bài (2điểm): Chứng minh : a  17a chia hết cho với số nguyên a   2x    : Bài (3điểm): Cho biểu thức A      x x 1  x  x 1 a) Rút gọn biểu thứcA b) Tìm x để A > Bài (3điểm): Cho hai số a b Chứng minh : a  b  a b  ab3 1 1    Bài (2điểm): Giải phương trình 3x  2x  9x   4x Bài (7điểm): Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao a) Chứng minh AH.BC  AB.AC b) Gọi M, N trung điểm BC AB, đường vng góc với BC vẽ từ B cắt đường thẳng MN I Chứng minh: IB2  IM.IN c) IC cắt AH O Chứng minh O trung điểm AH Bài (3điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, đường phân giác BE cắt đường cao AH I Chứng minh EC = 2HI ThuVienDeThi.com PHỊNG GD & ĐT T/P BN- MA- THUỘT TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH Bài Câu KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM Mã đề A Hướng dẫn giải a  17a  a  a  18a  a  1a a  1  18a Ta có 2, số nguyên tố Mà a  1a a  1 ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, 0,5 Nên a  1a a  1 18a  0,5 Do a  17a  với số nguyên a a b 0,5   2x  x   2x  1  x 1  x   x       A :  2x  2x  1  x 1  x    x x 1  x  x 1 Điều kiện x để A >   x  2  x   x   x  x2   1  2x  0  0   2  x  x   2x  1  2x   x  2    1  2x  x   Vậy A > 2  x  4 3 a  b  a b  ab  a  a b  b  ab3   a a  b   b3 a  b    a  b a  b a  ab  b   a  b  a  ab  b  0(*) 1,5 0,5 Mà ta có a  b   0, a, b  b  3b  a  ab  b   a      0, a, b   0,5 Nên (*) ln ln , a  b  a b  ab3 Đẳng thức xảy a = b Điều kiện x  ; x  2; x  ; x  1 1 5x  5x       3x  2x  9x   4x 3x  12x   9x  5  4x  Điểm 0,5   1  5x  3   0  3x  12x   9x  5  4x  3 (thỏa ĐKXĐ) Vậy 5x    x  1 42x  43x   0 0 3x  12x   9x  5  4x  3x  12x  9x  5  4x   42x  43x     6x  1 7x     x  ; x  (thoả ĐK) ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 0,25 Vậy tập hợp nghiệm phương trình S   3 1 ; ;  0,25 D A 0,5 I O N B a b H a) Chứng minh AH.BC  AB.AC ΔABC vng A có đường cao AH nên ta có : AH.BC  2.SABC  AB.AC Vậy AH.BC  AB.AC b) Chứng minh: IB2  IM.IN Xét ΔABC có MB = MC NB = NA (gt) nên MN đường trung bình, MN // AC, mà AC  AB nên MN  AB N ฀ ฀  900 ; BIM ฀ Xét ΔBIM ΔNIB có: IBM  INB chung Nên ΔBIM đồng dạng với ΔNIB c C M IB IN   IB2  IM.IN IM IB c) Chứng minh O trung điểm AH Gọi giao điểm tia BI tia CA D Xét ΔBCD có MB = MC MI // CD nên I B=ID OH CO OA CO   Theo định lí Ta Let ΔBCI có ; ΔDCI có BI CI DI CI OH OA  Vậy , mà BI = DI nên OA = OH Vậy O trung điểm AH BI DI 1,5 1 0,75 0,75 0,5 A E 0,25 I B H C ΔABC vuông cân A nênAH phân giác góc BAC Ta có µ µ 1µ 1µ · · AIE  A  B  450  B  450  C  AEI 2 Nên ΔAIE cân A nên AI = AE (1) Áp dụng tính chất phân tam giác ABH BAC ta có : IH BH EC BC  (2);  (3) IA BA EA BA Ví tam giác ABC vng cân A nên BC = 2BH Cùng với (1; 2; 3) ta có EC = 2IH II*Hướng dẫn chấm: - Giáo viên chia nhỏ điểm thành phần câu để chấm - Điểm toàn tổng điểm thành phần làm tròn theo quy chế - Học sinh lập luận cách khác đủ ý chặt chẽ cho điểm thành phần tương ứng ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com ... THCS PHAN CHU TRINH Bài Câu KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM Mã đề A Hướng dẫn giải a  17a  a ... điểm thành phần làm tròn theo quy chế - Học sinh lập luận cách khác đủ ý chặt chẽ cho điểm thành phần tương ứng ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com ... 12x  9x  5  4x   42x  43x     6x  1 7x     x  ; x  (thoả ĐK) ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 0,25 Vậy tập hợp nghiệm phương trình S   3 1 ; ;  0,25 D A 0,5 I O N B