THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GD & ĐT TP BUÔN MA THUỘT TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH ĐỀ Bài (2điểm): Chứng minh : a 17a chia hết cho với số nguyên a 2x Bài (3điểm): Cho biểu thức A : 2 x x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thứcA b) Tìm x để A > Bài (3điểm): Cho hai số a b Chứng minh : a b a b ab3 1 1 Bài (2điểm): Giải phương trình 3x 2x 9x 4x Bài (7điểm): Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao a) Chứng minh AH.BC AB.AC b) Gọi M, N trung điểm BC AB, đường vng góc với BC vẽ từ B cắt đường thẳng MN I Chứng minh: IB2 IM.IN c) IC cắt AH O Chứng minh O trung điểm AH Bài (3điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, đường phân giác BE cắt đường cao AH I Chứng minh EC = 2HI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GD & ĐT T/P BUÔN- MA- THUỘT TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH ĐỀ Bài (2điểm): Chứng minh : a 17a chia hết cho với số nguyên a 2x : Bài (3điểm): Cho biểu thức A x x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thứcA b) Tìm x để A > Bài (3điểm): Cho hai số a b Chứng minh : a b a b ab3 1 1 Bài (2điểm): Giải phương trình 3x 2x 9x 4x Bài (7điểm): Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao a) Chứng minh AH.BC AB.AC b) Gọi M, N trung điểm BC AB, đường vng góc với BC vẽ từ B cắt đường thẳng MN I Chứng minh: IB2 IM.IN c) IC cắt AH O Chứng minh O trung điểm AH Bài (3điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, đường phân giác BE cắt đường cao AH I Chứng minh EC = 2HI ThuVienDeThi.com PHỊNG GD & ĐT T/P BN- MA- THUỘT TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH Bài Câu KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM Mã đề A Hướng dẫn giải a 17a a a 18a a 1a a 1 18a Ta có 2, số nguyên tố Mà a 1a a 1 ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, 0,5 Nên a 1a a 1 18a 0,5 Do a 17a với số nguyên a a b 0,5 2x x 2x 1 x 1 x x A : 2x 2x 1 x 1 x x x 1 x x 1 Điều kiện x để A > x 2 x x x x2 1 2x 0 0 2 x x 2x 1 2x x 2 1 2x x Vậy A > 2 x 4 3 a b a b ab a a b b ab3 a a b b3 a b a b a b a ab b a b a ab b 0(*) 1,5 0,5 Mà ta có a b 0, a, b b 3b a ab b a 0, a, b 0,5 Nên (*) ln ln , a b a b ab3 Đẳng thức xảy a = b Điều kiện x ; x 2; x ; x 1 1 5x 5x 3x 2x 9x 4x 3x 12x 9x 5 4x Điểm 0,5 1 5x 3 0 3x 12x 9x 5 4x 3 (thỏa ĐKXĐ) Vậy 5x x 1 42x 43x 0 0 3x 12x 9x 5 4x 3x 12x 9x 5 4x 42x 43x 6x 1 7x x ; x (thoả ĐK) ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 0,25 Vậy tập hợp nghiệm phương trình S 3 1 ; ; 0,25 D A 0,5 I O N B a b H a) Chứng minh AH.BC AB.AC ΔABC vng A có đường cao AH nên ta có : AH.BC 2.SABC AB.AC Vậy AH.BC AB.AC b) Chứng minh: IB2 IM.IN Xét ΔABC có MB = MC NB = NA (gt) nên MN đường trung bình, MN // AC, mà AC AB nên MN AB N 900 ; BIM Xét ΔBIM ΔNIB có: IBM INB chung Nên ΔBIM đồng dạng với ΔNIB c C M IB IN IB2 IM.IN IM IB c) Chứng minh O trung điểm AH Gọi giao điểm tia BI tia CA D Xét ΔBCD có MB = MC MI // CD nên I B=ID OH CO OA CO Theo định lí Ta Let ΔBCI có ; ΔDCI có BI CI DI CI OH OA Vậy , mà BI = DI nên OA = OH Vậy O trung điểm AH BI DI 1,5 1 0,75 0,75 0,5 A E 0,25 I B H C ΔABC vuông cân A nênAH phân giác góc BAC Ta có µ µ 1µ 1µ · · AIE A B 450 B 450 C AEI 2 Nên ΔAIE cân A nên AI = AE (1) Áp dụng tính chất phân tam giác ABH BAC ta có : IH BH EC BC (2); (3) IA BA EA BA Ví tam giác ABC vng cân A nên BC = 2BH Cùng với (1; 2; 3) ta có EC = 2IH II*Hướng dẫn chấm: - Giáo viên chia nhỏ điểm thành phần câu để chấm - Điểm toàn tổng điểm thành phần làm tròn theo quy chế - Học sinh lập luận cách khác đủ ý chặt chẽ cho điểm thành phần tương ứng ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com ... THCS PHAN CHU TRINH Bài Câu KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN: TỐN LỚP Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM Mã đề A Hướng dẫn giải a 17a a ... điểm thành phần làm tròn theo quy chế - Học sinh lập luận cách khác đủ ý chặt chẽ cho điểm thành phần tương ứng ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com ... 12x 9x 5 4x 42x 43x 6x 1 7x x ; x (thoả ĐK) ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 0,25 Vậy tập hợp nghiệm phương trình S 3 1 ; ; 0,25 D A 0,5 I O N B