Đề thi trại hè Hùng Vương năm học 2014 2015 môn: Toán lớp: 1050557

SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ ĐỀ NGHỊ ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: Tốn; Lớp: 10 Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề Câu (4 điểm)  2( x  y  8)  ( y  x    y )( y  x    y ) Giải hệ phương trình:  2 2 x  17 x  15  y  13 y Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi I, J, M trung điểm AH, EF, BC; P, Q giao điểm EF với tiếp tuyến B C đường tròn (O); MF cắt AD L; ME cắt đường thẳng qua F song song với BC K a) Chứng minh MP//CF, MQ//BE b) Chứng minh IJ qua điểm cố định (O) BC cố định, A di động ฀ cung BC c) Tính góc hai đường thẳng IK EL? Câu (4 điểm) Tìm tất đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: P ( x)  P( x  y ) P( y  x)  P(3 y  x) P(3 y  x) với x, y  ฀ Câu (4 điểm) Tìm tất số nguyên dương (x; p; n) với p số nguyên tố thỏa mãn phương trình: ( x  1)( x  x  21)  11( p n  6) Câu (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3; ;2015} a) Tìm k nhỏ với k số phần tử tập S để tập chứa số ngun liên tiếp b) Tính số tập gồm 16 phần tử S thỏa mãn điều kiện có số nguyên liên tiếp tập - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: ………………………………………………………………………………………… Người phản biện Trần Thị Kim Diên SĐT: 0983496088 Người đề Triệu Văn Dũng SĐT: 0915 ThuVienDeThi.com ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: Tốn; Lớp: 10 SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Câu Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình:  2( x  y  8)  ( y  x    y )( y  x    y )  2 2 x  17 x  15  y  13 y ĐKXĐ: x  y   ; y  x   Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho (1) ta có: Điểm 2( x  y  8)  ( x  2)  (2 y  x  )  x   y  x  = y  x   y  x    y  ( y  x    y )( y  x    y ) Dấu xảy x   y  x  2 ( x  4)  (2 y )  x  (2) (x-y-1)(2x+2y-15) = y  x  (4) y  15  x (5) +) Từ (4) (3) ta phương trình: y  y   (x; y) = ( 2;1 ) (thỏa mãn) (x;y)= (  2;3 )(loại) +) Từ (5) (3) ta phương trình: 3x  52 x  209  7 19 (x; y) = ( 11; ); ( ; ) Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) S = {( 2;1 ); ( 11; 7 19 ); ( ; )} Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi I, J, M trung điểm AH, EF, BC P, Q giao EF với tiếp tuyến B C (O) MF cắt AD L, ME cắt đường thẳng qua F song song với BC K a) Chứng minh MP//CF, MQ//BE b) Chứng minh IJ qua điểm cố định (O) BC cố định, A di động ThuVienDeThi.com ฀ BC c) Tính (IK,EL)? a) Ta thấy tứ giác BCEF nội tiếp (M) đường kính BC, ฀ ฀ ฀ , suy tam giác PFB cân P, ta PB=PF AFE  ฀ACB  PFB  FBP Mặt khác, ta có MB=MF nên MP trở thành trung trực BF Suy MP  BF hay MP//CF Tương tự, có MQ//BE (đpcm) 1,5 b) Ta chứng minh IJ qua M điểm cố định: Nhận thấy tứ giác AFHE nội tiếp (I) đường kính AH, IE=IF=AH/2 Mà ME=MF=BC/2, suy MI đường trung trực EF ฀ (đpcm) Hay MI qua J Vậy IJ qua M A di động BC 1,5 c) Ta IK  EL sau: Do FK//BC nên FK  IH suy LK  IK  LF  IF Theo định lí Pythagore cho tam giác IEK, IFL ta biến đổi: IL2  IE  IL2  IF  FL2 Và KL2  KE  KL2  IK  IE  FL2  IF  IE  FL2 Suy KL2  KE  IL2  IE , hay IK  EL Vậy ( IK , EL)   /2 Câu (4 điểm) Tìm tất đa thức P(x) với hệ số thức thỏa mãn: P ( x)  P( x  y ) P( y  x)  P(3 y  x) P(3 y  x) với x, y  ฀ Giả sử tồn đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn toán Từ GT ta thay x 2y, suy ra: P (2 y )  P( y ) P( y )  P(5 y ) P( y ) (1) với y thuộc ฀ ThuVienDeThi.com *) Nếu P(x)=c (const), suy c  2c hay c=0, suy p ( x)  với x (thỏa mãn) *) Nếu P(x) khác số, giả sử P(x) có dạng n a x i 0 số dẫn đầu vế (1) ta thấy: i i ( n  ฀ * , an  ), so sánh hệ 22 n an2  (1) n an2  5n an2 4n  (1) n  5n Hay +) Nếu n chẵn, suy điểu vơ lí   với n thuộc ฀ * +) Nếu n lẻ, suy 4n   5n suy n=1 Suy P(x)=ax+b ( a  ) Mà từ GT, thay x=y=0 ta P(0)=0, nên b=0 Thay P(x)=ax vào GT ta có: n n với x,y thuộc ฀ , với x,y thuộc ฀ (Vơ lí)  x  xy  y  Vậy p ( x)  đa thức thỏa mãn a x  a ( x  y )  a (9 y  x ) 2 2 2 Câu 4: Tìm tất số nguyên dương (x; p; n) với p số nguyên tố thỏa mãn phương trình: ( x  1)( x  x  21) = 11( p n  6) (*) n (*) x  x  14 x  21 = 11 p  66 ( x  5)( x  x  9) = 11 p n Gọi d = ( x  5; x  x  ), d  N => x  5 d x  x  9 d => x  5 d ( x  4)( x  5)  29 d => 29  d (1) * => d  { ; 29 } n 1 +) Nếu p = 11 => ( x  5)( x  x  9)  11 (2) Mà x  x  > x  x  > Nên kết hợp (1) (2) suy x  x   11n 1 x+5 =1 * (vô lí x N nên x+5 > 1) => loại +) Nếu p  11, xét trường hợp: TH1: d = 29 => p = 29 p nguyên tố => Loại ThuVienDeThi.com TH2: d = 1, suy vơ lí (loại) Vậy phương trình vơ nghiệm, hay khơng tìm (x;p;n) thỏa mãn đề với p số nguyên tố Câu (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3; ;2015} a) Tìm k nhỏ với k số phần tử tập S để tập chứa số ngun liên tiếp b) Tính số tập gồm 16 phần tử S thỏa mãn có số ngun liên tiếp tập a) Nếu k  1344 T  {1;2;4;5;7;8; ;2014;2015} gồm 1344 phần tử, chọn k thấy khơng thỏa mãn Nếu k  1345 Ta chứng minh k=1345 thỏa mãn Thật chia S thành 672 {1;2;3};{4;5;6}; ;{2011;2012;2013};{2014;2015} Xét 671 trừ {2014;2015} theo nguyên lí Dirichlet tồn +1 = phần tử thuộc tập 1345 phần tử S thuộc 671 (đpcm) Vậy giá trị nhỏ k= 1345 b) Ta chứng minh toán tổng quát Gọi A họ tập S gồm m phần tử khơng có số ngun liên tiếp (m < +1) B họ tập gồm m phần tử tập {1;2; ;n-m+1}, phần tử xuất nhiều lần Khi tồn song ánh f: A-> B Thật vậy: Xét tập G  A Giả sử G={a1, a2, , am }, aj < aj+1, j= 1;2;3; ;m Ta cho tương ứng: (a1,a2, ,am) -> (a1,a2-1,a3-2, ,am-m+1) suy tồn song ánh f: A-> B => lAl = lBl Số tập B tạo thành cách lấy i phần tử từ 1-> nm+1 (  i m), sau chọn m-i cịn lại i tập lBl = Cin-m+1.Cm-ii = lAl Vậy số tập thỏa mãn đề là: Ckn - lAl Thay số n=2015; m=16 Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước ThuVienDeThi.com - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải 4, học sinh khơng vẽ hình vẽ sai hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm trịn ThuVienDeThi.com ...ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: Toán; Lớp: 10 SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Câu Câu (4 điểm) Giải... {1;2;4;5;7;8; ;2014; 2015} gồm 1344 phần tử, chọn k thấy khơng thỏa mãn Nếu k  1345 Ta chứng minh k=1345 thỏa mãn Thật chia S thành 672 {1;2;3};{4;5;6}; ;{2011;2012;2013}; {2014; 2015} Xét 671 trừ {2014; 2015} ... mãn đề là: Ckn - lAl Thay số n =2015; m=16 Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước ThuVienDeThi.com