SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ ĐỀ NGHỊ ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: Tốn; Lớp: 10 Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề Câu (4 điểm) 2( x y 8) ( y x y )( y x y ) Giải hệ phương trình: 2 2 x 17 x 15 y 13 y Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi I, J, M trung điểm AH, EF, BC; P, Q giao điểm EF với tiếp tuyến B C đường tròn (O); MF cắt AD L; ME cắt đường thẳng qua F song song với BC K a) Chứng minh MP//CF, MQ//BE b) Chứng minh IJ qua điểm cố định (O) BC cố định, A di động cung BC c) Tính góc hai đường thẳng IK EL? Câu (4 điểm) Tìm tất đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: P ( x) P( x y ) P( y x) P(3 y x) P(3 y x) với x, y Câu (4 điểm) Tìm tất số nguyên dương (x; p; n) với p số nguyên tố thỏa mãn phương trình: ( x 1)( x x 21) 11( p n 6) Câu (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3; ;2015} a) Tìm k nhỏ với k số phần tử tập S để tập chứa số ngun liên tiếp b) Tính số tập gồm 16 phần tử S thỏa mãn điều kiện có số nguyên liên tiếp tập - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: ………………………………………………………………………………………… Người phản biện Trần Thị Kim Diên SĐT: 0983496088 Người đề Triệu Văn Dũng SĐT: 0915 ThuVienDeThi.com ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: Tốn; Lớp: 10 SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Câu Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình: 2( x y 8) ( y x y )( y x y ) 2 2 x 17 x 15 y 13 y ĐKXĐ: x y ; y x Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho (1) ta có: Điểm 2( x y 8) ( x 2) (2 y x ) x y x = y x y x y ( y x y )( y x y ) Dấu xảy x y x 2 ( x 4) (2 y ) x (2) (x-y-1)(2x+2y-15) = y x (4) y 15 x (5) +) Từ (4) (3) ta phương trình: y y (x; y) = ( 2;1 ) (thỏa mãn) (x;y)= ( 2;3 )(loại) +) Từ (5) (3) ta phương trình: 3x 52 x 209 7 19 (x; y) = ( 11; ); ( ; ) Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) S = {( 2;1 ); ( 11; 7 19 ); ( ; )} Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi I, J, M trung điểm AH, EF, BC P, Q giao EF với tiếp tuyến B C (O) MF cắt AD L, ME cắt đường thẳng qua F song song với BC K a) Chứng minh MP//CF, MQ//BE b) Chứng minh IJ qua điểm cố định (O) BC cố định, A di động ThuVienDeThi.com BC c) Tính (IK,EL)? a) Ta thấy tứ giác BCEF nội tiếp (M) đường kính BC, , suy tam giác PFB cân P, ta PB=PF AFE ACB PFB FBP Mặt khác, ta có MB=MF nên MP trở thành trung trực BF Suy MP BF hay MP//CF Tương tự, có MQ//BE (đpcm) 1,5 b) Ta chứng minh IJ qua M điểm cố định: Nhận thấy tứ giác AFHE nội tiếp (I) đường kính AH, IE=IF=AH/2 Mà ME=MF=BC/2, suy MI đường trung trực EF (đpcm) Hay MI qua J Vậy IJ qua M A di động BC 1,5 c) Ta IK EL sau: Do FK//BC nên FK IH suy LK IK LF IF Theo định lí Pythagore cho tam giác IEK, IFL ta biến đổi: IL2 IE IL2 IF FL2 Và KL2 KE KL2 IK IE FL2 IF IE FL2 Suy KL2 KE IL2 IE , hay IK EL Vậy ( IK , EL) /2 Câu (4 điểm) Tìm tất đa thức P(x) với hệ số thức thỏa mãn: P ( x) P( x y ) P( y x) P(3 y x) P(3 y x) với x, y Giả sử tồn đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn toán Từ GT ta thay x 2y, suy ra: P (2 y ) P( y ) P( y ) P(5 y ) P( y ) (1) với y thuộc ThuVienDeThi.com *) Nếu P(x)=c (const), suy c 2c hay c=0, suy p ( x) với x (thỏa mãn) *) Nếu P(x) khác số, giả sử P(x) có dạng n a x i 0 số dẫn đầu vế (1) ta thấy: i i ( n * , an ), so sánh hệ 22 n an2 (1) n an2 5n an2 4n (1) n 5n Hay +) Nếu n chẵn, suy điểu vơ lí với n thuộc * +) Nếu n lẻ, suy 4n 5n suy n=1 Suy P(x)=ax+b ( a ) Mà từ GT, thay x=y=0 ta P(0)=0, nên b=0 Thay P(x)=ax vào GT ta có: n n với x,y thuộc , với x,y thuộc (Vơ lí) x xy y Vậy p ( x) đa thức thỏa mãn a x a ( x y ) a (9 y x ) 2 2 2 Câu 4: Tìm tất số nguyên dương (x; p; n) với p số nguyên tố thỏa mãn phương trình: ( x 1)( x x 21) = 11( p n 6) (*) n (*) x x 14 x 21 = 11 p 66 ( x 5)( x x 9) = 11 p n Gọi d = ( x 5; x x ), d N => x 5 d x x 9 d => x 5 d ( x 4)( x 5) 29 d => 29 d (1) * => d { ; 29 } n 1 +) Nếu p = 11 => ( x 5)( x x 9) 11 (2) Mà x x > x x > Nên kết hợp (1) (2) suy x x 11n 1 x+5 =1 * (vô lí x N nên x+5 > 1) => loại +) Nếu p 11, xét trường hợp: TH1: d = 29 => p = 29 p nguyên tố => Loại ThuVienDeThi.com TH2: d = 1, suy vơ lí (loại) Vậy phương trình vơ nghiệm, hay khơng tìm (x;p;n) thỏa mãn đề với p số nguyên tố Câu (4 điểm): Cho tập S = {1;2;3; ;2015} a) Tìm k nhỏ với k số phần tử tập S để tập chứa số ngun liên tiếp b) Tính số tập gồm 16 phần tử S thỏa mãn có số ngun liên tiếp tập a) Nếu k 1344 T {1;2;4;5;7;8; ;2014;2015} gồm 1344 phần tử, chọn k thấy khơng thỏa mãn Nếu k 1345 Ta chứng minh k=1345 thỏa mãn Thật chia S thành 672 {1;2;3};{4;5;6}; ;{2011;2012;2013};{2014;2015} Xét 671 trừ {2014;2015} theo nguyên lí Dirichlet tồn +1 = phần tử thuộc tập 1345 phần tử S thuộc 671 (đpcm) Vậy giá trị nhỏ k= 1345 b) Ta chứng minh toán tổng quát Gọi A họ tập S gồm m phần tử khơng có số ngun liên tiếp (m < +1) B họ tập gồm m phần tử tập {1;2; ;n-m+1}, phần tử xuất nhiều lần Khi tồn song ánh f: A-> B Thật vậy: Xét tập G A Giả sử G={a1, a2, , am }, aj < aj+1, j= 1;2;3; ;m Ta cho tương ứng: (a1,a2, ,am) -> (a1,a2-1,a3-2, ,am-m+1) suy tồn song ánh f: A-> B => lAl = lBl Số tập B tạo thành cách lấy i phần tử từ 1-> nm+1 ( i m), sau chọn m-i cịn lại i tập lBl = Cin-m+1.Cm-ii = lAl Vậy số tập thỏa mãn đề là: Ckn - lAl Thay số n=2015; m=16 Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước ThuVienDeThi.com - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải 4, học sinh khơng vẽ hình vẽ sai hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,5 khơng làm trịn ThuVienDeThi.com ...ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: Toán; Lớp: 10 SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Câu Câu (4 điểm) Giải... {1;2;4;5;7;8; ;2014; 2015} gồm 1344 phần tử, chọn k thấy khơng thỏa mãn Nếu k 1345 Ta chứng minh k=1345 thỏa mãn Thật chia S thành 672 {1;2;3};{4;5;6}; ;{2011;2012;2013}; {2014; 2015} Xét 671 trừ {2014; 2015} ... mãn đề là: Ckn - lAl Thay số n =2015; m=16 Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước ThuVienDeThi.com