SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2014-2015 Khóa ngày 17 tháng năm 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN LỚP SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang Câu 1:(2.0 điểm) a) Rút gọn P x x x 28 x 4 x 8 x 3 x 4 x 1 x (x 0, x 16) b) Khơng sử dụng máy tính, chứng minh Q 20142 20142.20152 20152 số nguyên Câu 2:(2.0 điểm) a) Giải phương trình: x x x x 2 b) Cho phương trình x ax b có hai nghiệm nguyên dương biết a, b hai số thỏa mãn 5a + b = 22.Tìm hai nghiệm Câu 3:(3,5 điểm) Cho đường trịn (O; R) cố định có đường kính AB cố định CD đường kính thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến đường tròn (O;R) B cắt AC AD E,F a) Chứng minh CA.CE DA.DF R b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh điểm I nằm đường thẳng cố định Câu 4:(1,5 điểm) Cho số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =2015 Chứng minh rằng: a b c a 2015a bc b 2015b ca c 2015c ab Dấu xảy nào? Câu 5:(1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài cạnh số nguyên bình phương độ dài đường chéo chia hết cho diện tích Chứng minh ABCD hình vng HẾT ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn thi: Tốn (Khóa ngày 17 tháng năm 2015) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn có trang) Yêu cầu chung * Đáp án trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai cho điểm * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm tồn tổng (khơng làm trịn số) điểm tất Nội dung Câu a) x x x 28 ( x 4) ( x 1)( x 8) Ta có: P ( x 1)( x 4) x x x 28 x x 16 x x x ( x 1)( x 4) x x 4x x ( x 1)( x 4) x 1 ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 4) Điểm 1,0 điểm 0,25 0,25 0,5 1,0 điểm b) Q 20142 20142.20152 20152 20142 20152 2.2014.2015 20142.20152 2.2014.2015 (2014 2015) 20142.20152 2.2014.2015 0,5 0,25 20142.20152 2.2014.2015 (1 2014.2015) 2014.2015 0,25 Vậy Q số nguyên Trang: - Đáp án Toán ThuVienDeThi.com 1,0 điểm 0,25 a) ĐK: x x 2x x 2x 2 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 1 ( x 3) (1 x 5) | x | |1 x | x 3 |1 x | |1 x | x x 2x x 1,0 điểm 0,25 1 47 x 47 x2 52 1 Khi đó: a = – 58 b = 312 thoả 5a + b = 22 Và phương trình có nghiệm x1 = 6; x2 = 52 0,25 0,25 a) Gọi x1 , x2 (x1 x2 ) hai nghiệm ngun dương phương trình Ta có: x1 x2 a; x1 x2 b Khi : 5( x1 x2 ) x1 x2 22 x1 x2 x1 x2 25 47 x1 x2 ( x1 5)( x2 5) 47 x1 x 0,25 0,5 0,25 3,5 điểm F D O A C B I M E Hình vẽ cần dùng để giải câu a cho điểm tối đa Trang: - Đáp án Toán ThuVienDeThi.com 0,5 a) Trong tam giác vng ABE có: CA.CE CB Trong tam giác vng ABF có: DA.DF DB Ta có: CA.CE DA.DF CB DB CD R b) Ta có: ACD ABD Mặt khác: ABD DBF 900 ; DFB DBF 900 ABD DFB Suy ra: ACD DFB ECD DFE 1800 Vậy tứ giác CDFE nội tiếp c) I giao điểm trung trực CD trung trực EF, I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE Gọi M trung điểm EF MI vng góc với EF nên MI song song với AB Ta có CAM ACD AEM AFM 900 Suy ra: AM vng góc với CD nên AM song song với OI Do AOIM hình bình hành nên IM=AO=R (không đổi) Vậy I thuộc đường thẳng d cố định đường thẳng song song với tiếp tuyến B cách tiếp tuyến khoảng R 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5 điểm Ta có: 2015a bc (a b c)a bc a (b c) a bc 0,5 a(b+c)+2a bc a ( b c ) a ( b c ) Suy ra: a a 2015a bc a a a a = a( b c) a( a b c) a b c Tương tự: b b c c ; b 2015b ca a b c c 2015c ab a b c Do đó: a b c 1 a 2015a bc b 2015 ca c 2015c ab Dấu xảy a b c 2015 Trang: - Đáp án Toán ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 1,0 điểm Gọi a, b hai cạnh hình chử nhật a, b N * 2 Theo giả thiết ta có: a b ab 0,25 * Đặt d=(a,b), ta có: a xd ; b yd với (x,y)=1, x, y N 2 2 2 2 * Suy ra: d x d y d xy x y xy x y kxy, k N Ta có: x x, kxy x y x y x (do ( x, y ) 1) y x Tương tự: x y , suy x=y nên a=b Vậy ABCD hình vng 0,25 Trang: - Đáp án Toán ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 ... b) Q 20142 20142 .20152 20152 20142 20152 2 .2014. 2015 20142 .20152 2 .2014. 2015 (2014 2015) 20142 .20152 2 .2014. 2015 0,5 0,25 20142 .20152 2 .2014. 2015 (1 2014. 2015) ...SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn thi: Tốn (Khóa ngày 17 tháng năm 2015) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn có trang)... c c ; b 2015b ca a b c c 2015c ab a b c Do đó: a b c 1 a 2015a bc b 2015 ca c 2015c ab Dấu xảy a b c 2015 Trang: - Đáp án Toán ThuVienDeThi.com 0,5 0,25