Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án Đề 2851210

Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn (13) Môn : Toán chung (Thời gian làm 150 phút) Không kể thời gian giao đề Bài (2 điểm) x  xy  y a, Rót gän P Cho P = y x y  xy  x xy b, Chøng minh r»ng nÕu x x 1  P có giá trị không đổi y y5 Bài ( ®iĨm) a  2a  a  a5  a 25 16 BiÕt  vµ  x y xz ( x  z ) ( z  y )(2 x y z ) Tính giá trị biểu thức Q = Bài ( điểm) Cho phương trình bËc Èn : x2 – 2mx + 2m – = Tìm m cho phương trình có nghiƯm nµy b»ng hai nghiƯm Bµi ( điểm) x ay b Xác định a, b để hệ phương trình : ax by  a, Cã nghiƯm lµ x =1, y = b, Có vô số nghiệm Bài ( điểm) Giải phương trình : 2x 2x   2x  2x  = Bài ( điểm) Cho hàm số y = ax2 (a 0) a, Xác định a biết ®­êng cong y = ax2 ®i qua ®iÓm A(3;3) VÏ đồ thị hàm số tìm DeThiMau.vn b, Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc m (m 0) qua điểm (1;0) Tìm m ®Ĩ ®­êng th¼ng ®ã tiÕp xóc víi parabol y = x2 Bài (2 điểm) Cho x, y, z số dương thoả mÃn xyz =1 Tìm GTNN cđa biĨu thøc : 1   E= x ( y  z ) y ( z  x) z ( x  y ) Bài ( điểm) Cho ABC cân (AB=AC, gócBAC = 450) Một điểm M cạnh BC cho MB < MC Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, AC cắt AC, AB tương ứng điểm H,I Lấy điểm N ®èi xøng víi M qua ®­êng th¼ng HI; Gäi giao điểm đường thẳng AN BC P a, Tứ giác AHMI hình gì? INB tam giác gì? Tại sao? b, Chứng minh tứ giác AHIN hình thang cân Bài (2 điểm) Cho (O;R) điểm A nằm đường tròn Từ điểm M di động đường thẳng d vuông góc với OA A, vẽ tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C tiếp điểm) dây BC cắt OM OA H K a, Chứng minh OA.OK không đổi, từ suy BC qua điểm cố định b, Chứng minh H di động đường tròn cố định c, Cho biết OA = 2R HÃy xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ Bài 10 ( điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB', CC', C'D' a, Dựng giao tuyến mặt phẳng(MNP) với mặt (A'B'C'D') mặt phẳng (AA'B'B) b, Tính tỷ số thể tích hai phần hình lập phương mặt phẳng (MNP) cắt DeThiMau.vn Đáp án - Hướng dẫn chấm Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn Môn : Toán chung Bài Lời giải Bài a, §iỊu kiƯn xy > 0, x  y ( x  y )( xy  x  y ) x  y P=  ( y  x) xy xy x y P= yx b, x 1 x Do =  y = 5x y5 y x  y 6x Ta cã P= = = y  x 4x P có giá trị không đổi Bµi a 5a 5a    Ta cã x  y x  z z  y 2x  y  z (5  a )(5  a ) 25 Suy = = ( x  z ) ( z  y )(2 x  y  z ) 16 25  a = = ( z  y )(2 x  y  z ) ( z  y )(2 x  y  z ) Suy 25 – a2 = 16  a2 =  a= 3 a  2a  a  a (a  2) (a 2) Mặt khác Q = = = a5  a5  (a  2)(a  1) = = a – 2, víi a  - a5  Víi a = th× P = víi a = -3 th× P = -5 DeThiMau.vn Điểm điểm 0.5 điểm 0.25 điểm 0.25 ®iĨm 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 điểm Bài điểm (1) x 2m Gi¶ sư x1 = 2x2   2  x  m  ( 2)  x2   2x2 – 3x2 + =    x2   Víi x2 =  x1 =  m = Víi x2 =  x1 =  m = Bµi a, b, 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm ®iĨm 2  a  b HƯ cã nghiÖm x = 1, y =   a  2b  a=  ;b=  3 2 x  ay  b (1)   ax  by  (2) b  ay b  ay Tõ (1)  x = thay vµo (2) ta cã a + by = 2 y(a2 + 2b) = – ab (3) Phương trình (3) có vô số nghiệm a  a  2b       ab  b   0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm 0.5 điểm Bài Điều kiện : x Phương trình x + + | x  - | =  | 2x  - | = - 2x Đặt y = x , y Phương trình: | y | = – y  y  Kết hợp với điều kiện y Đáp số : x1 2 x   1  x  0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 điểm 0.25 điểm DeThiMau.vn Bài a, điểm Đường cong y = ax2 ®i qua A(3;3)  a = x Đường thẳng có hệ sè gãc m cã d¹ng y = mx + b qua (1;0) b = - m đường thẳng y = mx m Đường thẳng y = mx – m tiÕp xóc víi (P) y = x2 phương trình x = mx – m (1) cã nghiÖm nghiÖm kÐp  m = 3 4 đường thẳng y = x 3 y= b, Bài 0.5 điểm 0.5 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm ®iÓm 1 1 , b = , c =  abc = =1 y xyz z x  x + y = c(a + b) y + z = a(b + c) x + z = b(c + a) a2 b2 c2 E= + + bc ca ab a b c Dễ dàng chứng minh đợc + +  bc ca ab Nh©n hai vÕ víi a + b + c > a ( a  b  c ) b( a  b  c ) c ( a  b  c )  + +  (a+b+c) bc ca ab 2 3 a  b  c  abc a b c  + +   = 2 bc ca ab E DÊu "=" x¶y  a = b = c = VËy E = a = b = c = Đặt a = DeThiMau.vn 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm Bµi a, điểm Ta có AHMI hình bình hành (có cạnh đối song song) b, Bài a, b, 0.25 ®iĨm A V× M, N ®èi xøng qua HI H IN = IM K Mặt khác IM//AC N D  gãc IMB = ACB =IBM E I  IBM c©n P  IM = IB VËy IN = IM = IB C B M  INB cân Vì N, M đối xứng với qua HI nên HI đường trung trực MN qua trung điểm E NM Mặt khác AHMI hình bình hành HI cắt AM trung điểm D AM Vậy DE đường trung bình NMA DE//NA hay HI//NA tứ giác AHIN hình thang Ngoài ta có NH=HM (do N ®èi xøng víi M qua HI) HM=AI (do AHMI lµ hình chữ nhật) NH = AI Vậy hình thang AHIN cã ®­êng chÐo b»ng ®ã nã hình thang cân Chứng minh đợc OM BC HOK  AOM OH OK  = B OA OM OA.OK = OH.OM (1) H Xét BOM vuông B K nªn OB2 = OH.OM (2) O Tõ (1) vµ (2)  OA.OK = C = OB2 = R2 (không đổi) R2 OK = không đổi OA K cố định OA H nằm đường tròn ®­êng kÝnh OK cè ®Þnh DeThiMau.vn M 0.25 ®iĨm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm A 0.25 ®iÓm 0.25 ®iĨm 0.5 ®iĨm c, MO.BC  S nhá nhÊt  OM nhá nhÊt vµ BC nhá nhÊt  OM nhá nhÊt  M  A BC nhá nhÊt  BC  OK  M  A S = dtMBOC = Bài 10 a, 0,25 điểm điểm P D' A' A C' B' Q D b, 0.25 ®iĨm N M C B - Ta cã MN//B'C' nªn giao tun cđa mp(PMN) vµ mp(A'B'C'D') lµ PQ//B'C' - Ta cã Q, M  mp(PMN) vµ Q,M  mp(AA'BB') VËy giao tuyến mp(PMN) với mp(AA'BB') QM Mặt phẳng (PMN) chia hình lập phương thành lăng trụ đứng B'QM.C'PN AA'QMB.DD'PNC có đường cao a, nên tỷ số thể tích chúng tỷ số diện tích đáy a VB 'QM C 'PN S B 'QM VËy : = = = V AA'QMB DD 'PNC S AA'QMB a2  a2 DeThiMau.vn 0,5 ®iĨm 0,5 ®iĨm 0,5 ®iĨm 0,5 ®iÓm DeThiMau.vn ... thể tích hai phần hình lập phương mặt phẳng (MNP) cắt DeThiMau.vn Đáp án - Hướng dẫn chấm Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn Môn : Toán chung Bài Lời giải Bài a, Điều kiện xy > 0, x  y (... = VËy E = a = b = c = Đặt a = DeThiMau.vn 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm Bµi a, điểm Ta có AHMI hình bình hành (có cạnh đối song song) b, Bài a,... AA'QMB.DD'PNC có đường cao a, nên tỷ số thể tích chúng tỷ số diện tích đáy a VB 'QM C 'PN S B 'QM VËy : = = = V AA'QMB DD 'PNC S AA'QMB a2  a2 DeThiMau.vn 0,5 ®iĨm 0,5 ®iĨm 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm DeThiMau.vn