Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án Đề 2311248

Đề thi vào lớp 10 THPT Lam Sơn- Thanh Hoá(8) môn : toán Thời gian : 150 phút Câu 1(2đ): Cho biÓu thøc:  8x x A=    9x 3x x   x x    3x x    : 1   x x    x x   a) Rót gän biểu thức A b) Tìm x để A= Cho biĨu thøc A= y2-5xy + 6x2 a) Ph©n tÝch A thành nhân tử b) Tìm cặp số (x,y) thoả mÃn điều kiện: x y + 1=0 A=0 Câu 3(2đ): Cho phương trình: x2+ax+b=0 có 2nghiệm x1,x2 Và phương trình x2+cx+ d= có 2nghiệm x3, x4 Chứng minh rằng: 2(x1+x3)(x1+x4)(x2+x3)(x2+x4)= 2(b-c)2- (a2-c2)(b-d)+ (a2+c2)(b+d) Câu 4(2đ): Giải hệ phương trình: Câu 2(2đ): z   xy x   yz xy Câu 5(2đ): Giải phương tr×nh a) x  x   x  10 x  14   x  x b) (x-1)6+(x-2)6=1 C©u 6(2đ): Tìm a để đường thẳng sau đồng quy: y= 2x y=-x-3 y= ax+5 Câu 7(2đ): Chứng minh tổng bình phương 1984 số tự nhiên liên tiếp không Thể bình phương số nguyên DeThiMau.vn Câu 8(2đ): Cho ABC đường thẳng d cắt AB vµ AC vµ trung tuyÕn AM theo thø tù Lµ A , F , N a) Chøng minh : AB AC AM   AE AF AN b) Giả sử đường thẳng d // BC Trên tia ®èi cđa tia EB lÊy ®iĨm K, ®­êng th¼ng KN cắt AB P đường thẳng KM cắt AC Q Chứng minh PQ//BC Câu 9(2đ): Cho đường tròn (O) đường kính AB Có điểm M nằm cung AB cho CA < CB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M người ta kẻ tia Ax By vuông góc với AB Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax By theo thứ tự P Q, gọi R giao điểm AM CP, S giao điểm BM CQ a) Chứng minh tứ gi¸c APMC, BQMC néi tiÕp b) RS//AB c) Tø gi¸c ARSC hình bình hành không ? sao? Câu 10(2đ): Cho hai đường thẳng d d có điểm A không d d HÃy dựng điểm B d C d cho: ABC tam giác DeThiMau.vn Bảng hướng dẫn chấm đề thi tuyển sinh vào 10 thpt lam sơn Thời gian : 150 phút Môn : toán Bài 1: (2đ) a) (1đ) - Điều kiện: x  , x  0,25 ® - Ta cã : A= x3  x x 3x x  0,75 ® b) (1®) x3  x x 3  A=  3x x   2x3  7x x   0,25 đ Đặt t x x t1  3, t   2t  7t   0,25 ® x x 3 x  0,25 ® x x  1 x3 0,25 đ Bài 2: (2đ) a)(1®) Ta cã : A= y  xy  3xy  x =  y  x  y  3x  1® b)(1®) DeThiMau.vn Ta cã : A   y  2x    y  3x  §Ĩ thoả mÃn điều kiện toán ta có hai hệ:  y  2x  (I )  x  y     y  3x  ( II )  x  y 0,25 đ Hệ (I) cã nghiÖm: x  1, y  HÖ (II) cã nghiƯm: x 0,25 ® ;y  2 0,25 đ Bài 3(2đ) Phương trình: x ax  b  cã hai nghiÖm: x1 , x  ( x  x1 )( x  x ) Phương trình: x cx  d  cã hai nghiÖm : x3 , x  ( x  x3 )( x x ) Đặt f ( x)  x  ax  b  ( x  x1 )( x  x ) g ( x)  x  cx  d  ( x  x3 )( x  x ) Ta cã: f ( x3 )  ( x1  x3 )( x  x )  x32  ax3  b (1) f ( x )  ( x1  x )( x  x )  x 42  ax  b (2) Nhân vế với vế tương ứng (1) (2) ta : ( x1 x3 )( x  x3 )( x1  x )( x  x )  ( x32  ax3  b)( x 42  ax  b) BiÕn ®ỉi vÕ ph¶i: ( Dïng x  x c x3 x d ) Ta được: VP = 2(b  d )  (a  c )(b  d )  (a c )(b d ) đpcm Bài 4(2đ): DeThiMau.vn Từ phương trình đầu suy : xy Từ phương trình hai suy : xy  0,25 ® 0,25 ® VËy xy  0,25 ®   xy    z    z   xy  ; x  Tõ ®ã ta cã hƯ:  x    0,5 ®   x  1; y  ; z    x  1; y   ; z   0,5 ® KL: 1; ;0    vµ     1; ;0    0,25 ® Bài 5(2đ): a)(1đ) Phương trình đà cho viết lại nh sau: 3( x  1)   5( x  1)    ( x  1) 0,25 ® NhËn thÊy: VT    0,25 ® VP  0,25 ® VËy : x    x 0,25 đ b)(1đ) DeThiMau.vn 6 Giải phương trình: ( x 1) ( x 2) Đặt: a ( x 1) 0,25 ® (a; b  0) b  ( x 2) Ta được: a b  a  b  3 Gi¶i hÖ a   b   x  1; x Bài 6(2đ): Đặt: y 2x y  x  y  ax  d1 d2 d3 d1  d  I lµ nghiƯm cđa hƯ  y  2x x     y  x   y  0,75 đ Để d1 d d  I  I  d :  a   a  3 0,75 ® KL: Vậy a =-3 0,25 đ Bài 7(2đ): Giả sử có so nguyên không âm a b cho: (a  1)  (a  2)   (a  9b 4)  b 0,5 đ Sau tính tổng bên trái rót gän:  31(2a  3970a  1985 1323) b 0,75 đ Từ ta thÊy sè mị lín nhÊt cđa sè 2, mµ bên phải chia hết cho 5, bên phải (nó số bình phương) số mũ số DeThiMau.vn mũ chẵn Suy số với t/c đà cho 0,75 đ A Bài 8(2đ): a)(1đ) ( I , S AM ) KỴ BI , CS // EF AB AI AC AS  ,  Ta cã: AE AN AF AN  F E I AB AC AI AS    () AE AF AN AN B C M 0,5 ® S BIM  CSM (cgc)  IM  MS VËy: AI  AS  AI  AI  IM  MS  AM Ta cã: Thay vµo (*) ta ®­ỵc (®pcm) 0,5 ® b)(1®) + Khi d // BC EF // BC N trung điểm EF 0,25 đ +Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP L Ta có: NFP NFL(cgc)  EP  LF 0,25 ® Do ®ã : A EP LF KF (1)   PB PB KB E N 0,25 đ K P Q +Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt KM H Ta cã BMH  CMQ(cgc)  BH  QC Do ®ã: B M H FQ FQ KF   (2) QC BH KB DeThiMau.vn C Tõ (1)(2)  FP FQ   PQ // BC PB QC 0,5 ® DeThiMau.vn (®pcm) ... đường thẳng d d có điểm A không d d HÃy dựng điểm B d C d cho: ABC tam giác DeThiMau.vn Bảng hướng dẫn chấm đề thi tuyển sinh vào 10 thpt lam sơn Thời gian : 150 phút Môn : toán Bài 1: (2đ) a)... 3x  1® b)(1®) DeThiMau.vn Ta cã : A   y  2x  y 3x Để thoả mÃn điều kiện toán ta có hai hệ: y  2x  (I )  x  y     y  3x  ( II )  x  y  0,25 đ Hệ (I) có nghiệm: x  1,... VËy a =-3 0,25 đ Bài 7(2đ): Giả sử có so nguyên không âm a b cho: (a  1)  (a  2)   (a  9b 4)  b 0,5 đ Sau tính tổng bên trái rút gọn:  31(2a  397 0a  198 5  1323) b 0,75 đ Từ ta thấy