Đây là một số đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 của các quận huyện, thành phố, tỉnh qua các năm. Một số đề có đáp án.Nếu thích tài liệu, hãy mua và chia sẻ, giới thiệu chúng với bạn bè và ghé thăm những tài liệu khác trên trang.Trang Angela Lê xin trân trọng cảm ơn. Kính chúc các bạn có sức khỏe tốt, thành tích học tập cao và đạt được nhiều may mắn.Sự ủng hộ của các bạn là động lực cho trang
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Năm học 2012 – 2013 MÔN: TOÁN (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (4 điểm) Cho phương trình x + (4m + 1)x + 2(m - 4) = (1) (x ẩn số, m tham số) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m Gọi x1, x2 hai nghiệm (1) Tìm m để Câu (4 điểm) Cho biểu thức: P = x1 − x = 17 x2 - x 2x + x 2(x - 1) + x+ x +1 x x -1 (x > 0, x ≠ 1) Rút gọn P Tìm giá trị x để P = Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình: Giải phương trình: x + y + xy = 3 2 x + y + 3(x + y ) + 3(x + y) = 70 ( x + - x + 2)(1 + x + 7x + 10) = Câu (5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định Ax Ay hai tia thay đổi tạo với góc 60 0, nằm hai phía AB, cắt đường tròn (O) M N Đường thẳng BN cắt Ax E, đường thẳng BM cắt Ay F Gọi K trung điểm đoạn thẳng EF Chứng minh EF = AB Chứng minh OMKN tứ giác nội tiếp CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê Khi tam giác AMN đều, gọi C điểm di động cung nhỏ AN (C ≠ A, C ≠ N) Đường thẳng qua M vuông góc với AC cắt NC D Xác định vị trí điểm C để diện tích tam giác MCD lớn Câu (3 điểm) Cho số thực m, n, p thoả mãn: n + np + p2 = nhỏ biểu thức S = m + n + p 3m 2 Tìm giá trị lớn Cho số thực dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng: a b c + + ≥ 2 (ab + a + 1) (bc + b + 1) (ca + c + 1) a+b+c Đẳng thức xảy nào? -HẾT - Họ tên thí sinh : Số báo danh Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: Họ tên, chữ ký: Giám thị 2: SỞ GD&ĐT NINH BÌNH HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS Năm học 2012 – 2013 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Đáp án CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê Điểm (2.0 điểm) 0.5 ∆ = (4m + 1) − 8(m − 4) = 16m + 8m + − 8m + 32 = 16m + 33 0.5 ∆ = 16m + 33 > ∀m ∈ ¡ Vì biệt với m nên phương trình (1) có hai nghiệm phân 1.0 (2.0 điểm) (4.0 điểm) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt với theo định lý Vi-ét ta có Theo ycbt: ∀m nên x1 + x = −(4m + 1) x1.x = 2(m − 4) x1 − x2 = 17 ⇔ ( x1 − x2 ) = 289 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 289 ⇔ (4m + 1) − 8(m − 4) = 289 ⇔ 16m2 + 33 = 289 ⇔ 16m2 = 256 ⇔ m = ±4 Vậy m = ±4 giá trị cần tìm 0.5 0.5 0.75 0.25 (2.0 điểm) x ( x − 1) − x + x +1 P= (4.0 điểm) = = x (2 x + 1) 2( x − 1)( x + 1) + x x −1 x ( x − 1)( x + x + 1) − x − + 2( x + 1) x + x +1 x − x +1 0.75 0.75 0.5 (2.0 điểm) P=3 ⇔ x − x +1 =3 ⇔ x− x −2=0 CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê 0.5 Đặt x = t, t ≥0 ta pt Với t = ta x =2 ⇔ t = −1 ( L) t2 − t − = ⇔ t = (TM ) 0.25 x = (thỏa mãn ĐK) Vậy x = P = 3 1.0 0.25 (2.0 điểm) (4,0 điểm) HPT ⇔ xy + y + x + = 3 ( x + 1) + ( y + 1) = 72 ⇔ ( x + 1)( y + 1) = 3 ( x + 1) + ( y + 1) = 72 ⇔ ( x + 1)3 ( y + 1)3 = 512 3 ( x + 1) + ( y + 1) = 72 ab = 512 a + b = 72 Đặt (x+1)3 = a (y +1)3 = b ta có hệ 0.75 0.25 Giải hệ (2) ta : (a;b) = (64;8) (a;b) = (8;64) 0.25 ( x + 1) = 64 ( y + 1) = 0.25 Với (a;b) = (64;8) ⇒ ⇔ ( x + 1)3 = ( y + 1) = 64 x +1 = y +1 = ⇔ x = y = 0.25 Hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) là: (3;1); (1;3) 0.25 Với (a;b) = (8;64) ⇒ ⇔ x +1 = y +1 = x = y =1 ⇔ (2.0 điểm) ĐKXĐ phương trình là: x ≥ - Đặt x + = u ≥ 0, x+2 =v≥0 Thay vào phương trình ta được: 0.25 ta có: uv = x + x + 10, u − v = (u − v)(1 + uv) = u − v CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê 0.25 0.5 u = v u = ⇒ (u − v)(1 + uv ) = (u − v)(u + v ) ⇔ (u − v)(1 − u )(1 − v) = ⇔ v = x+5 = x+2 ⇒ * Với u = v ta có x + = ⇔ x = −4 * Với u = ta có PT vô nghiệm * Với v = ta có 0.25 0.25 (loại) x + = ⇔ x = −1 0.25 0.25 (TM) Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 (5.0 điểm) (2.0 điểm) ·AMB = ·ANB = 900 ⇒ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) B trực tâm tam giác AEF · ⇒ ·NEF = NAB ⇒ ∆ (cùng phụ với góc vuông NEF ∆ AB · NFE ⊥ EF ) vuông NAB (g.g) EF NE · = = tg NAE ⇒ AB NA ⇒ 0.5 0.5 0.5 0.5 = tg600 = CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê (2.0 điểm) · MON góc tâm chắn cung MN · · EMF = ENF = 900 ⇒ · · ⇒ MON = MAN = 1200 tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn đường kính EF 0.5 0.5 tâm K · · ⇒ MKN = 2MEN = 2.300 = 600 0.5 · · ⇒ MON + MKN = 1800 ⇒ 0.5 OMKN tứ giác nội tiếp (1.0 điểm) Gọi I giao điểm AC MD Ta có: ⇒ · · MCA = NCM = 600 ⇒ ·ACD = 600 tam giác MCD có CI vừa đường cao vừa phân giác ⇒ ∆MCD cân C CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê 0.25 ⇒ SMCD = 2.SMCI = .MI.CI MI CI = · · ( MC sin MCI )( MCcos MCI ) = = ⇒ SMCD lớn ⇔ ( MC sin 600 )( MCcos600 ) MC lớn ⇔ = MC 0.5 0.25 MC đường kính (O) (1.5 điểm) n + np + p = ⇔ S= ⇒ 3m 2 (1) ⇔ (m + n + p)2 = - (m - p)2 - (n - m)2 ⇔ m=n=p= maxS = 2 0.5 (m + n + p) + (m - p ) + (n - m) = 2 ;S=- m = n = p = 2 ≤2⇒ S ≤2⇔− ≤S ≤ 2 ⇔ m=n=p=- ; minS = − 2 m = n = p = - 0.5 0.25 0.25 (1.5 điểm) (3.0 điểm) Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có: 2 a b c ( a ) + ( b ) + ( c ) ab + a + ÷ + bc + b + ÷ + ca + c + ÷ 2 a b c ≥ + + ( ab + a + 1) (bc + b + 1) (ca + c + 1) a.bc b c.b = + + ab.bc + abc + bc bc + b + cab + bc + b 2 b bc = + + =1 b + + bc bc + b + 1 + bc + b 0.5 CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê 0.5 ⇒ a b c + + ≥ 2 (ab + a + 1) (bc + b + 1) (ca + c + 1) a+b+c 0.25 Dấu xảy a = b = c = 0.25 Chú ý: Học sinh làm đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm HS trình bày theo cách khác mà giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm Trong trường hợp mà hướng làm HS kết đến cuối sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải Tổng điểm thi không làm tròn -Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Toán Thời gian làm : 150 phút Ngày thi: 17 / 03 / 2011 x3 − Bài Cho phương trình: 1 − (m + 1)(x − )+ m −3= x3 x a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Bài a) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê 1 1 1 + + ÷ = + + b c a b c a Chứng minh a + b + c3 b) Giải phương trình: 1+ chia hết cho x + ax + bx + = , biết a, b số hữu tỉ nghiệm phương trình Bài Cho x, y số nguyên dương, thỏa mãn: x + y = 2011 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P = x(x + y) + y(y + x) Bài Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, dây cung MN = R di chuyển nửa đường tròn Qua M kẻ đường thẳng song song với ON cắt đường thẳng AB tai E Qua N kẻ đường thẳng song song với OM cắt đường thẵng AB F a) Chứng minh tam giác MNE tam giác NFM đồng dạng b) Gọi K giao điểm EN FM Hãy xác định vị trí dây MN để tam giác MKN có chu vi lớn Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn: abc = a3 b3 c3 + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) (1 + a)(1 + b) Chứng minh : _ Hết CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN - LỚP (Thời gian làm bài: 150 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) A= Cho biểu thức: x+2 x +1 + + x x −1 x + x +1 1− x với x ≥ 0, x ≠ 1) Rút gọn A A< 2) Chứng tỏ rằng: Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Tìm x, y cho: x − x − 15 = 17 5x − x ( + y ) + y + = Câu III (2,0 điểm) 10 CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê (3 điểm) 4a) (1,5 điểm) Gọi I trung điểm BC suy ∆ABN đồng dạng với ∆ANC (Vì ⇒ AB AN = AN AC ⇒ IO ⊥ BC · · · ANB = ACN CAN , chung) 0,50 AB.AC = AN2 ∆ANO vuông N, đường cao NH nên AH.AO = AN2 ⇒ 0,25 AB.AC = AH.AO (1) ∆AHK đồng dạng với ∆AIO (g.g) Nên AH AK = ⇒ AI ×AK = AH ×AO AI AO AI.AK = AB.AC ⇒ AK = Từ (1) (2) suy Ta có A, B, C cố định nên I cố định 0,5 (2) ⇒ AB ×AC AI AK không đổi Mà A cố định, K giao điểm BC MN nên K thuộc tia AB ⇒ 44 K cố định (đpcm) CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê 0,25 4b) (1,5 điểm) ⇒ ME MH = MQ DQ 0,50 ⇒ MP MH MH = = MQ QH 2DQ 0,50 Ta có: ∆MHE đồng dạng ∆QDM (g.g) ∆PMH đồng dạng ∆MQH (g.g) ⇒ MP ME = MQ MQ ⇒ ME = MP ⇒ 0,50 P trung điểm ME Bài (1,0 điềm) { a ;a ;a Giả sử A = 3; a1 < a < a < < a 21 Theo giả thiết ta có .;a 21} với a1; a ; a 3; ; a 21 ∈ ¢ 0,25 a1 + a + a + + a11 > a12 + a13 + + a 21 ⇔ a1 > a12 − a + a13 − a + + a 21 − a11 (1) Bài (1 điểm) Mặt khác với x; y ∈ Z y>x y ≥ x +1 ⇒ a12 − a ≥ 10, a13 − a ≥ 10, ,a 21 − a 11 ≥ 10 (2) Nên từ (1) suy mà a1 a1 > 10 + 10 + +10 = 100 ∈ nhỏ 101 A ⇒ a1 =101 101 > a12 − a + a13 − a + + a 21 − a 11 ≥ 100 Ta có ⇒ a12 − a + a13 − a + + a 21 − a11 = 100 45 CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê 0,25 Kết hợp với (2) ⇒ a12 − a = a13 − a = = a 21 − a11 = 10 (3) ⇒ 10 = a12 − a = (a12 − a11 ) + (a11 − a10 ) + + (a − a ) ≥ 10 0,25 ⇒ a12 − a11 = a11 − a10 = = a − a = Ta có a1 =101 mà (4) 102∈ A ⇒ a = 102 Kết hợp với (3) (4) suy A = { 101;102;103; ;121} 0,25 - Hết PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ TP BẮC GIANG NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Toán lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (5 điểm) a Cho biểu thức M= a a −b b a b − − a−b a+ b b− a Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết b Tìm số nguyên a, b thoả mãn c Cho a, b, c thỏa mãn 46 ≠ với a, b > a b ( − a ) ( − b) + ab = − + 18 = a+b a−b a+ b+ c =7 ; a + b + c = 23 ; CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê abc = Tính giá trị biểu thức H= 1 + + ab + c − bc + a − ca + b − Bài 2: (4,5 điểm) 4+ + 4− + 13 a Tính giá trị biểu thức N= b Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn Chứng minh + ab (a ) + 27 − 10 + b2 − ( a + b ) + (1 − ab) = −4ab số hữu tỉ c Giải phương trình x2 − x − = x −1 ( − x ) Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x + y = xy + b Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh 1 + + ≤ ab + a + bc + b + ca + c + 2 Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, Ax lấy M cho AM > R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB, CE vuông góc với AM Đường thẳng vuông góc với AB O cắt BC N Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH Q, K, P a Chứng minh MNCO hình thang cân b MB cắt CH I Chứng minh KI son song với AB c Gọi G F trung điểm AH AE Chứng minh PG vuông góc với QF Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn để A= 427 + 42016 + 4n số phương 47 CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê - Họ tên thí sinh SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-207 Câu Nội Dung Điểm Bài 4đ a/ 1,5đ -Rút gọn M= ab a− b ≠ với a, b>0 a b 0,75 -Ta có ( − a ) ( − b) + ⇔ ab = ( ab = ⇔ ab − a − b + + ab = a− b ) ⇔( ab ) =1⇔ a− b ab =1 a− b 0,25 + Nếu a>b>0 ⇒ a > b ⇒ a − b > 0; ab > ⇒ ⇒ ab = a− b ab >0 a− b ab ab ⇒ =1⇒ M =1 a− b a− b + 00 ta có x + y + z ≤ 3( x2 + y2 + z2 ) , áp dụng ta có 1 1 1 + + ≤ 3 + + ÷ ab + a + bc + b + ca + c + ab + a + bc + b + ca + c + -Với x,y>0 ta có x + y ≥ xy ⇒ ( x + y ) 11 1 ≥ xy ⇒ ≤ + ÷ x+ y 4 x y áp dụng ta có 1 1 = = = ab + a + ab + + a + ab + abc + a + ab( c + 1) + ( a + 1) ≤ 54 1 1 abc 1 c + = + = + ÷ ÷ ÷ ab(c + 1) a + ab(c + 1) a + c + a + CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê 0,5 Vây ta có 1 c ≤ + ab + a + c + a + ÷ Tương tự ta có 1 a ≤ + ÷ bc + b + a + b + 1 b ≤ + ÷ ca + c + b + c + ; nên 1 3 + + ÷ ab + a + bc + b + ca + c + 1 c a b ≤ 3× + + + + + ÷= c +1 a +1 a +1 b +1 b +1 c +1 0,5 1 + + ≤ ab + a + bc + b + ca + c + 2 Vậy dấu “=” có a=b=c=1 0,25 Bài 55 6đ CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê N M E Q F K C I T A G O H B P a/ -Ta có 2đ ∆ACB nội tiếp đường tròn (vì ) mà AB đường kính nên ∆ACB 0,5 vuông C ⇒ AC ⊥ BN Ta có MA=MC ( ), OA=OC ( ) nên MO trung trực AC ⇒ MO ⊥ AC ⇒ MO // NB 0,75 · · ⇒ MOA = NBO -Ta có OA ∆MAO ⊥ MA ( ) ∆NOB · · ⇒ MAO = NOB = 900 ; xét 0,75 có · · · · MAO = NOB = 900 ; MOA = NBO ; OA = OB = R ⇒ ∆MAO = ∆NOB ⇒ MO = NB -Ta có 56 MO // NB; MO = NB ⇒ MNBO hình CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê ∆MAO ∆NOB bình hành.Ta có = (cm trên) nên ta có NO=MA, mà MA=MC ( ) nên NO=MC MNBO hình thang cân b/ -Xét 2đ ∆CHB ∆MAO 0,5 có · · · · MAO = NOB = 900 ; CBH = MOA ⇒ ∆CHB : ∆MAO ⇒ -Ta có CH ⊥ AB ( cm trên) CH HB HB = = MA AO R ⊥ 0,5 (gt) ; MA AB ( ) ⇒ CH // MA ⇒ IH // MA ⇒ IH HB HB = = MA AB R 0,5 -Nên ta có ⇒ CH HB HB IH IH = = 2× = 2× = ⇒ CH = IH ⇒ IC = IH MA R 2R MA MA 0,5 -Chi KI đường trung bình tam giác ACH c/ ⇒ KI // AB -Chưng minh FQIO hình bình hành ⇒ QF // IO 2đ 0,75 0,75 -Chưng minh O trục tâm tam giác GIP 0,5 ⇒ PG ⊥ OI ⇒ PG ⊥ QF Bài 1đ A = 27 + 2016 + n = ( 27 ) ( + 41989 + n −27 ) * 57 CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê 0,25 (2 ) 27 Vì A + 41989 + n−27 Ta có *mà ta có 1+ số phương nên số phương n − 27 = (2 n −27 ) + 41989 + n−27 > + 41989 + n−27 1989 +4 n− 27 0,5 số phương nên ≥ ( n−27 + 1) ⇔ 2n −27 ≤ 23977 ⇔ n ≤ 4004 0,25 Với n=4004 ta có A= A = 427 + 2016 + 4004 = ( 227 + 24004 ) số phương Vậy n=4004 A=427+42016+4n số phương MÔN: TOÁN LỚP 58 CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê ... => = 91 tha mún (1) 91 = * 19 + 15 Vy: S phi tm l 91 C2: T h trn cỳ th dng PP th gii Rỳt n t PT (1) th vo PT (2) ta s c mt PT bc Gii PT bc ú s tm c nghim 28 CC THI HC SINH GII TON LP 9| 123doc.org... x1 + x = (4m + 1) x1.x = 2(m 4) x1 x2 = 17 ( x1 x2 ) = 2 89 ( x1 + x2 ) x1 x2 = 2 89 (4m + 1) 8(m 4) = 2 89 16m2 + 33 = 2 89 16m2 = 256 m = Vy m = l giỏ tr cn tỡm 0.5 0.5 0.75 0.25 (2.0... Cõu 3,0 im M Q P A B O D H K I d C N E ã OI BC OIA = 90 0 I l trung im ca BC ( dõy BC khụng i qua O ) a) 1,0 điểm ãAMO = 90 0 Ta cú ãANO = 90 0 ( AM l hai tip tuyn (O) ) ( AN l hai tip tuyn (O)