Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án Đề 2928287

Đề thi tuyển sinh vào lớp10 chuyên Lam Sơn (14) Môn Toán(đề chung) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1(1điểm): Cho biểu thức P x x 3 2( x  3) x 3   x2 x 3 x 1 3 x Rót gän P Bài 2(1điểm): Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh phương trình: x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = vô nghiệm Bài 3(1điểm): Giải phương trình sau: x x x 25 Bài 4(1điểm): Giải hệ phương trình sau: x y  xy  y  x     x  y  x y Bài 5(1điểm): Chứng minh r»ng:  3  2  3  2   36   1 Bài 6(1điểm): Cho x, y, z> thoả mÃn: x y z Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: P 2x2  y2 y2  z2 2z  x2   xy yz zx Bài 7(1điểm): Trong mặt phẳng 0xy cho đường thẳng (d) có phương trình 2kx + (k - 1)y = (k tham số) a) Tìm k ®Ĩ ®­êng th¼ng (d) song song ®­êng th¼ng y = x Khi tính góc tạo đường thẳng (d) với 0x b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) lớn Bài 8(1điểm): Cho góc vuông x0y điểm A, B Ox (OB > OA >0), điểm M cạnh Oy(M O) Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA,MB điểm thứ hai: C , E Tia OE cắt đường tròn (T) điểm thứ hai F Chứng minh điểm: O, A, E, M nằm đường tròn Tứ giác OCFM hình gì? Tại sao? Bài 9(1điểm): Cho tam giác ABC nhọn có đường cao: AA1, BB1, CC1 đồng qui H Chứng minh rằng: HA HB HC   6 HA1 HB1 HC1 Dấu "=" xảy nào? Bài 10(1điểm): Cho tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng, đôi vuông gãc víi LÊy ®iĨm A, B, C bÊt kú Ox, Oy Oz a) Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: OH vuông góc với mặt phẳng ABC b) Chứng minh rằng: S ABC  S OAB  S OBC S OAC DeThiMau.vn Đáp án: Bài Bài giải Điểm Điều kiện: x x x     x    x 3  0.25 * Rút gọn: Bài (1 điểm) P x x  2( x  3)  ( x  3)( x  1) ( x  1)( x  3) x x  x  x  24 ( x  1)( x  3) x8  x 1 0.25 0.25  0.25 Ta cã:  =(a + b + c)2 - 4(ab + bc + ca) = a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca * Vì a, b, c c¹nh   a2 < (b + c)a b2 < (a + c)b Bµi c2 < (a + b)c (1 ®iĨm)  a2 + b2 + c2 < 2ab + 2ac + 2bc   <  ph­¬ng trình vô nghiệm 0.25 0.25 0.25 0.25 * Điều kiện: 5  x   7 /  x   2 x   0.25 * Phương trình (2 x x   9)  (5  x   x  4)  Bài (1 điểm) 2x     5 x 2   x       x    x 1 DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 DeThiMau.vn Bµi Giải hệ: (1 điểm) x xy y  x  y   (1)   x  y  x  y   (2) Tõ (1)  2x2 + (y - 5)x - y2 + y + =  x  ( y  5)  8( y  y  2)  9( y  1)  y  3( y  1)   2 y x    x   y  3( y  1)  y   0.25 * Víi: x = - y, ta cã hÖ: x   y  2 x  y  x  y   x   y  x  y 1  2    y y  *Víi x  0.25 y 1 , ta cã hÖ: y 1  x   x2  y  x  y    x  y    x    y  2x     5 x  x    13  y     13 VËy hƯ cã nghiƯm: (1;1) vµ ; 5 0.25 0.25 Đặt a = x + y, víi: x  3  2 ; y  3  2 Ta ph¶i chøng minh: a > 36 Ta cã:  x3  y    x y Bài (1 điểm) 0.25 a  ( x  y )3  x  y  xy ( x  y )   3a cos y 0.25  3(1   a )  3.33 1.1.a 0.25 (v×: x > 1; y >  a > 1)  a9 > 93.a  a8 > 36 (®pcm) 0.25 DeThiMau.vn Bài (1 điểm) * áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho: 1,  1 2 (1  )       y  x y x y 2  , x 2x2  y2  xy 1 1 2      y x  x y  0.25 (1) DÊu "=" x¶y x = y Tơng tự: y2  z2  2     yz  y z  0.25 (2) 2z  x2 1 2  (3)    zx 3 z x  3 3 Tõ (1), (2), (3)  P       3x y z Suy ra: Pmin = khi: x = y = z = 1).* Với k = suy phương trình (d): x = kh«ng song song: y = * Víi k  1: (d) cã d¹ng: y   0.25 0.25 3x 2k x  k 1 k 1 2k   k  (2  ) k Khi (d) tạo Ox góc nhọn  víi: tg =   = 600 ®Ĩ: (d) // y = 3x   0.25 0.25 2)* Với k = khoảng cách từ O đến (d): x = lµ * k = suy (d) có dạng: y = -2, khoảng cách từ O đến (d) * Với k  vµ k  Gäi A = d  Ox, suy A(1/k; 0) B = d  Oy, suy B(0; 2/k-1) Suy ra: OA = Bài (1 điểm) ; OB k k 0.25 Xét tam giác vuông AOB, ta có : 1   2 OH OA OB 2  OH   5k  2k  2 1  5 k    5    Suy (OH)max = khi: k = 1/5 Vậy k = 1/5 khoảng cách từ O đến (d) lớn DeThiMau.vn 0.25 Bài (1điểm) y M a) XÐt tø gi¸c OAEM cã:   O  E  2v F 0.25 E  (V×: E  1v gãc néi tiÕp ) Suy ra: O, A, E, M thuộc đường tròn O A B 0.25 x C   b) Tø gi¸c OAEM néi tiÕp, suy ra: M  E1  0.25 *Mặt khác: A, C, E, F thuộc ®­êng trßn (T) suy ra: E1  C1   0.25 Do ®ã: M  C1  OM // FC Tứ giác OCFM hình thang b)* Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm tam giác A * Đặt S = SABC; S1 = SHBC; S2 = SHAC; S3 = SHAB Ta cã: C1 B1 AA1.BC S AA1 HA    1 S1 HA BC HA1 HA1 S HB T¬ng tù: 1 S2 HB1 S HC  1 S3 HC1 Bài (1điểm) 0.25 H B A1 C 0.25 Suy ra:  HA HB HC 1       S    HA1 HB1 HC1  S1 S S3   1     ( S1  S  S3 )    S1 S S3 0.25 Theo bất đẳng thức Côsy:  1     ( S1  S  S3 )    S1 S S3  HA HB HC     93  HA1 HB1 HC1 0.25 DÊu "=" xảy tam giác ABC Bài 10 (1điểm) a) Gọi AM, CN đường cao tam gi¸c ABC Ta cã: AB  CN AB  OC (vì: OC mặt phẳng (ABO) Suy ra: AB mp(ONC)  AB  OH (1) T¬ng tù: BC  AM; BC  OA, suy ra: BC  mp(OAM)  OH  BC (2) DeThiMau.vn 0.25 Tõ (1) vµ (2) suy ra: OH mp(ABC) 0.25 b) Đặt OA = a; OB = b; OC = c 4 Ta cã: S ABC  CN AB  S ABC  CN AB  (OC  ON ).(OA2  OB ) Mặt khác: Do tam giác OAB vuông, suy ra: 0.25 2 ab 1 1      ON  2 2 ON OA OB a b a  b2 a 2b  1 1 ( a  b )  a 2b  c 2b  a c   S ABC   c  2  a b  4 4  SOBC  SOAB  SOAC 2 0.25 z C M H B N O A DeThiMau.vn x y ... 0.25 * Phương trình (2 x   x   9)  (5  x   x 4) Bài (1 điểm)   2x     5 x 2   x       x    x 1 DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 DeThiMau.vn Bài Giải hệ: (1 điểm) x... )   3a cos y 0.25  3(1   a )  3.33 1.1.a 0.25 (v×: x > 1; y >  a > 1)  a9 > 93 .a  a8 > 36 (đpcm) 0.25 DeThiMau.vn Bài (1 điểm) * áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho: 1, vµ   1 2.. .Đáp án: Bài Bài giải Điểm Điều kiện: x  x  x     x    x 3 0.25 * Rút gọn: Bài (1 điểm)