Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án Đề 2446624

Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam sơn (Thêi gian: 150 phót) Bµi 1: Cho biĨu thøc M  2b x  x  x2  Tìm giá trị M x= a b b a Bài Cho đa thức bậc có hệ số nguyên Biết f(x) nhận giá trị 1975 với giá trị nguyên khác x Chøng minh r»ng víi mäi x  z th× f(x) có giá trị 1992 Bài 3: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình x  kx  a  0(a  0) TÊt giá trị k để có bất đẳng thøc: ( x1 x )  ( )  52 x2 x1  x  y  xy  3 x  y x y Bài 4: Giải hệ phương trình: Bài : Giải phương trình x  15  32 x  32 x  20 Bµi : x2 Trong mp(oxy) cho Parabol(P): y điểm I (0,-2) gọi (d) đường thẳng qua I có hệ số gốc m 1, VÏ (P) chøng tá víi mäi m  R,(d) cắt (P) điểm điểm phân biệt A,B 2, Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn nhÊt Bµi : Cho a, b, c>0 chøng minh r»ng: a b c ab bc     1 b c a bc ab Bµi 8: Cho tam gi¸c ABC cã Cˆ  Bˆ  90 , đường cao AH, trung truyến AM phân giác AD 1, Chứng minh D nằm điểm H vµ M 2, BiÕt SADM= SABC, SAHM= SABC HÃy tính số đo góc BAC 14 50 Bài : Cho  ABC Qua mét ®iĨm M bÊt kú thuộc cạnh AC, kẻ đường song song với hai cạnh kia; chúng tạo thành với cạnh hình bình hành Tìm vị trí M để hình bình hành có diện tích lớn DeThiMau.vn Bài 10 : Cho hình chóp tam giác khoảng cách hai cạnh chéo l, hÃy xác định hình chóp tích bé DeThiMau.vn Đáp án biểu điểm Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam sơn Đề thi đề nghị môn Toán (Thời gian 150 Bài : (2điểm) Khi cho Do x a b phút) b a   a.b  (0,25®) a b a b a b   x2    b a b a (0,25®) ( a  b) a  b a b  x 4   24   b a ab ab Tõ ®ã : M  2b x  2b  (0,25®) ab ab  2b a  b ab ab ab a b  ( ) b a ab 2b(a  b) NÕu a  b th× : M   a  b (0,25®) abab 2b(b  a ) b(b  a ) NÕu a  b th× M  (0,25®)  abba a x  x2  (0,75đ) Bài (2đ) Gọi x1,x2,x3x4 giá trị nguyên khác đa thức f(x)- 1975 suy f(x)-1975 = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4).g(x) (g(x) đa thức có hệ số nguyên)(0,5đ) Giả sử tồn a z mà f(a)=1992 ta có: (a-x1)(a-x2)(a-x3)(a-x4).g(a)=17 * (0,5đ) Do x1,x2,x3x4 z khác nên a-x1,a-x2 , a-x3 ,a-x4 số nguyên khác vµ g(a)  z, mµ 17 chØ cã thĨ phân tích thành tích có nhiều thừa số nguyên khác : 17= 1(-1)(-17) nên (*) không xảy ĐPCM (1,0đ) Bài (2đ) Dễ thấy x1,x2  Ta xÐt a hai tr­êng hỵp * NÕu a0  x1 x  x x  ) (  )  3 x2 x1  x x1  2 ( x1  x )  x1 x k x x1  x      (Theo viÐt) x1 x1 x x1 x a x x2 x x1 Ta cã ( )  ( )  ( Mµ x1 x2 x x2 x x1 Do ®ã : ( )  ( ) =(   k2 k2  ) (  2)  3  52 (1) (0,5®) a   a   k2 =t, ta cã (t  2) (t  2)   52 a  (t  6)(t  9) (2) Đặt Ta thấy (t 9)  mäi t Do ®ã (2) chØ ®óng (t  6)  hay k2 6 a Do a  nªn k  6a Bëi vËy  6a  k  (0,75®) VËy a0 k số thực thỏa mÃn 6a k (0,25đ) Bài (2đ) Giải hệ phương tr×nh  x  y  xy  1(1)  3  x  y  x  y (2) Tõ (1) ta cã PT (2) cã d¹ng : x  y = ( x  y )( x  y  xy)  x  y  x  xy  x y  x y  y  4x y  4x y  y   y (2 x  xy  y )   y x  ( x  y)   yo y     x    x  ( x  y )    y   x 3  2  xy (0,25®)   yo  x    y  + Víi y=0 thay vào (1) ta đợc x =1 x + Với x=0, y=0 thay vào (1) không thỏa mÃn x=0, y=0 loại Vậy hệ phương trình cã nghiƯm (x,y) lµ (1,0) vµ (-1,0) Bµi (2đ) Điều kiện 2x +15 32 x2+32x-20  DeThiMau.vn (1,0®) (0,5®) (0,25®) 15   x    14  15  x   56    x      14  x     56   x (0,25đ) PT đà cho tương đương víi x  15  2(4 x  2) 28 (1) Đặt y x  15 §K y   (0,25®) Tõ ®ã ta cã : (4 y  2)  x  15 (2) PT trë thµnh: (4 x  2)  y  15 (3) LÊy (2 ) trõ cho (3) theo tõng vế ta đợc : (4 y 2) (4 x  2)  2( x  y )  (4 y   x  2)(4 y   x  2)  2( x  y )   4( y  x).4( x  y  1)  2( x  y )   ( x  y )(8 x  y  9)  x  y   8 x  y (0,75đ) * Trường hợp : x - y =  x=y thay vµo (3 ) ta đợc: 16x2+14x-11=0 x2 11 x TM Loại (0,25đ) * Trường hợp : 8x+8y +9=0 9y=8x-9 thay vào (3) ta cã : 64x2+72x-35=0    221 TM x 16 (0,25đ) Loại 221 x 16 Vậy phương trình có nghiệm x= 221 x (0,25đ) 16 Bài 6: (2đ) (1đ) đường thẳng (d ) có phương trình DeThiMau.vn y=mx-2 Phương trình hoành ®é giao ®iĨm cđa (d) vµ (P): x2  x  4mx   mx       4m 2  0m Chứng tỏ (d) cắt (P ) ®iĨm ph©n biƯt A, B (0,5®) VÏ (P) (0,5®) y 2, (1đ) Điểm A, B có tọa độ : A(x1, mx1-2), B(x2, mx2-2) Víi x1, x2 cã nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh: x2+4mx-2=0 Theo ViÐt ta cã:  x1  x  4m   x1 x  2 -2 A O I -2 x B y=-x2/4 Do ®ã AB2= ( x1  x )  m ( x1  x )   (m  1) ( x1  x )  x1 x   (m  1)(16m  8)  v× m   AB  2 DÊu “=” x¶y m = Vậy AB ngắn m = 2 (0,5đ) Bài 7: (2®): a, b, c>0 a b c ab bc  (1)     b c a bc ab a (a  b)(b  c) b(a  b)(b  c) c(a  b)(b  c)  (a  b)  (b  c)  (a  b)(b  c)    (0,5®) b c a a 2c b ( a  b) cb (b  c)   a  ab  ac   b  ab  c  bc b c a CM: (1) Mặt khác (a  b)  (b  c)  (a  b)(b  c) = a  ac  c  3b  3ab  3bc Do ®ã ta cÇn chøng minh: DeThiMau.vn a 2c b (a  b) cb(b  c)    2b  2bc  ab (2) (0,5) b c a a 2c b (a  b) cb(b  c) a 2c b3 a c c 2b b c 2b c a    (  ) (  VT  ) (  )  b2 (  ) b c a b c b a c a a c  ab  ac  b 4c  2b  ab  2bc  2b  VP a DÊu “=” x¶y a = b = c (1đ) Bài (2đ) 1, (1đ) Vẽ đường tròn ngoại tiếp ABC Gọi F trung điểm cung BC kh¸c víi A  A, D, F thẳng hàng D A,F D H, M (0,5đ) A 2, Ta có B O M H D MD  S ADM / S ABC  14 BC DB 1     BC 14 DB   DC AB DB AB   (do  ) AC DC AC S MH (0,75®)  AHM  50 S ABC BC 9 HB HB      BC 50 25 HC 16 HB AB  ( ) * BC AC (0,75đ) Trên đường thẳng AH chọn A0 cho BA0C=900 (A0 giao điểm HA với đường tròn đường kính BC) HB HB.HC HA A0 B HB A0 B (**)      HC HC A0 C HC HC A0 C Tõ (*) vµ (**) ta cã : A0 B AB  AC A0 C DeThiMau.vn C BH  AH BH  A0 H    A0 H  AH CH  AH CH  A0 H BAC  BA0C  900 Bài (2đ) Gọi hình bình hành tạo thành BEMF; dt(BEMF)=S; dt(ABC)=S= const Kẻ AK BC, AK cắt EM H Ta có S=EM.HK (0,5đ) A S' EM KH S  BC AK nªn  S BC AK x Đặt MA =x, MC=y Theo định lí Talét ta có: EM x HK y  ;  BC x  y AK x  y S xy nªn  S ( x  y) E (0,5đ) M y S Lại có: ( x  y )  xy ( x  y )  0x, y (0,5®)  H B K F A S  Do ®ã max S  = S ®ã x=y S Tức M trung điểm AC (0,5đ) Bài 10 (2đ) Giả sử hình chóp SABC đều, O tâm ABC, M trung điểm cña BC Ta cã BC  (SAM) VÏ MN  SA MN vuông góc với BC (0,25đ) S N A C O M B Đặt AB=BC=CA=x x x2 x  SOA MNA S ABC S SO MN  OA NA MN OA 3l.x  SO   NA 3 x  4l  DeThiMau.vn §iỊu kiƯn x> 2l (0,25đ) Ta tích hình chóp: 3.l.x lx V x  3 x  4l x  4l l x6 l x 4l V    36(3 x  4l ) 36(3 x  4l ).2l 2l 4l x l 27.x l x l    x  4l  4l 9.x 27 x ) 36( (0,75®) V  l3 DÊu “=” x·y : 3x2- 4l2-2l2  x= l  VËy thĨ tÝch cđa h×nh chãp nhá nhÊt SA+SB+SC= l (0,25®) DeThiMau.vn ... hai cạnh chéo l, hÃy xác định hình chóp tích bé DeThiMau.vn Đáp án biểu điểm Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam sơn Đề thi đề nghị môn Toán (Thời gian 150 Bài : (2điểm) Khi cho Do x a b... x1,x2,x3x4 giá trị nguyên khác đa thức f(x)- 197 5 suy f(x)- 197 5 = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4).g(x) (g(x) đa thức có hệ số nguyên)(0,5đ) Giả sử tồn a z mà f(a)= 199 2 ta có: (a-x1)(a-x2)(a-x3)(a-x4).g(a)=17... y )(8 x  y  9)  x  y   8 x  y (0,75đ) * Trường hợp : x - y =  x=y thay vµo (3 ) ta đợc: 16x2+14x-11=0 x2 11 x TM Loại (0,25đ) * Trường hợp : 8x+8y +9= 0 9y=8x -9 thay vào (3)