sớ giáo dục đào tạo hoá kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam sơn (17) môn: toán (chuyÊn toán) (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài (1,5 điểm) Cho A 3a 9a a a 2 a 1 a 2 a 2 1 a Rút gọn A Tìm tất số nguyên a để A số nguyên Bài ( (1,5 điểm) Chứng minh tồn hai số nguyên dương khác x, y cho hai số xy + x xy + y số phương Có hay không hai số nguyên dương khác x, y khoảng (668; 2005) cho hai sè xy + x vµ xy + y số phương Bài ( (2 ®iĨm) x 1 y 1 a Với giá trị a hệ sau cã nghiÖm x y 2a Giải phương trình x x x x Bài ( (2 điểm) Trên hệ trục toạ độ vuông góc Oxy: Vẽ tập hợp điểm M có toạ độ (x; y) thoả m·n: x y x 1 y 1 T×m m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y m x y 1 x y Bµi ( (3 điểm) Cho ABC vuông C, có đường cao CH Hai điểm I K giao điểm đường phân giác CHA CHB Đường thẳng IK cắt cạnh CA, CB M, N a Chứng minh tứ giác AMIH BNKH nội tiếp b Kẻ Cx vu«ng gãc víi MN , Chøng minh r»ng Cx qua điểm cố định c Giả sử AB cố định C di chuyển đường tròn đường kính AB Tìm vị trí C để diện tích CMN lớn Cho đường thẳng xx hai điểm A, B không nằm xx HÃy dựng ®iÓm M thuéc x’x cho x’MA = xMB HÕt -Họ tên chữ ký thí sinh: Sè b¸o danh: Hä tên chữ ký giám thị : Số : Sè : DeThiMau.vn sớ giáo dục đào tạo hoá HƯớNG dẫn biểu điểm chấm Lam sơn môn: toán (chuyên toán) (Đáp án gồm có trang) Tên bµi Néi dung Bµi 1/ A 0,75 3a 9a a 2 a 1 a 1 a3 a 2 a a 1 a 1 3a 9a a a a a 1 §iÓm a 2 a 2 a 1 a a 1 a a 1 a 1 2/ A Z , víi a 0, a a 1 a 1 a 1 2; 1; 1; 2 Víi Víi Víi Víi 0,75 a = - Víi 0,25 0,25 a = - < (lo¹i) a 1 = - a = a 1 = a = a 1 = a = Bµi 0,5 1/ Ta cã x = 1, y = xy + x = = 32 , vµ xy + y = 16 = 42 1,0 2/ Gi¶ sư ∃ m2 , n2 cho: m2 = xy + x , n2 = xy + y Gi¶ sư y > x xy + x > x2 m2 > x2 m > x Ta cã y – x = xy + y – (xy + x) = n2 – m2 (m + 1)2 – m2 y – x > (x + 1)2 – x2 = 2x + 1 y > 3x + V× x (668; 2005) y > 3.668 + = 2005 y (668; 2005) Bµi 0,25 1,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 Đặt Điều kiện x 1; y - x u, y v u 0, v u v a Khi ®ã hƯ 1,0 0,25 0,25 §Ĩ A Z ⇔ 1,5 0,25 u, v 0 u v 2a u v a u , v u v a u , v 2 u v 2uv 2a uv a 2a 1 0,25 Khi để hệ có nghiệm a 0, -1DeThiMau.vn 0,25 Tên Nội dung Điểm a2 2a phương trình : t at 0,25 a 2a cã a nghiÖm a 2a 1 a a a a 0,25 x x 1 x x 1 0,25 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0,25 x 1 x x x 10 Khi phương trình x 10 x 10 x 10 x 10 0,25 x 1 x 1 x x 10 NÕu 1,0 (1) NÕu x x x 10 Khi phương trình: 0,25 x 10 x 10 (2) x x Kết hợp (1) (2) x 10 Bài 2,0 Có trường hợp xảy : 1/ 1,0 1,0 x 1, y x y x 1, y x y x 1, y x y x 1, y x y y M thuộc đoạn AB M thuộc đoạn BC M thuộc đoạn CD M thuộc đoạn DA A 0,25 D m O 0,25 dm B d 0,25 C x 0,25 -1 Vậy tập hợp điểm M hình vuông ABCD 2/ Phương trình x y có đồ thị hình vuông 0,25 ABCD Phương trình: 0,25 x y mx y 1 x y x y x y 1 m x y 1 y x 1 x y 1 x y m y x m Gäi d : y = x Đờng thẳng d điểm -2DeThiMau.vn Tên Bài 1/ Nội dung chung với hình vuông ABCD nên hƯ v« nghiƯm 0,25 Gäi dm : y = x + m họ đường thẳng song song với đường phân giác góc (I) song song cạnh AD, BC 0,25 hình vuông ABCD, cắt trục tung ®iĨm cã tung ®é lµ m Khi ®ã m dm có điểm chung với hình vuông ABCD nên hệ có nghiệm Vậy m th× hƯ cã nghiƯm 3,5 2,0 0,25 a) Ta cã CIH ∽ BKH v× : CHI = BHK = 450 , ICH = 0,5 §iĨm 1 ACH = CBH = KBH 2 0,25 HI HK HIK ∽ HCB HKI = HBC HC HB HKN + HBN = 1800 tø gi¸c BNHK néi tiÕp Tõ HIK ∽ HCB HIK = HCB = CAB HAM + HIM = 1800 tứ giác BNHK nội tiếp b) Theo câu a) ta cã tø gi¸c BNHK néi tiÕp CNK = KHB = 450 CMN c©n CM = CN Cx đường phân giác góc vuông ACB Cx cắt đường tròn đường kính AB ®iĨm chÝnh gi÷a E cđa cung AB (®èi diƯn víi C qua AB) cố định c) Ta có CMI = CHI (g.c.g) CM = CH 2 Mµ S CMN CM CN CM CH DiƯn tÝch CMN lín nhÊt ⇔ H O ⇔ C lµ giao cđa Cx AB O (có điểm C) C 0,5 D A MI H 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 N K O B E 2/ 1,5 -3DeThiMau.vn Tên Nội dung Điểm Phân tích : Giả sử đà dựng điểm M : xMA = xMB Kẻ đường phân giác yMy MB đối xứng MB qua xx nằm yMy Vẽ đường tròn (C) tâm B bán kính R = BB/2 0,5 đường thẳng AM tiếp xúc với (C) Từ cách dựng Cách dùng : Dùng B’ ®èi xøng cđa B qua xx Dựng đường tròn C(B, BB' ) Dựng tiếp tuyến AT, AT với đường tròn (C) (T, T 0,5 tiêp điểm) M = AT xx điểm cần tìm Còn M = AT x’x cho ta xM’A = 2.x’M’B (lo¹i) Chøng minh : Ta có xMB = xMB (vì MB đối xứng với MB qua x’x) x’MA = TMH = 2.xMB 0,5 Biện luận : Bài toán có nghiệm hình (vì trường hợp M = AT xx bị loại) 1,5 A B y’ x’ H M x M’ T’ B’ T -4DeThiMau.vn y ... sơn môn: toán (chuyên toán) (Đáp án gồm có trang) Tên Nội dung Bài 1/ A 0,75 3a 9a a 2 a 1 a 1 a3 a 2 a a 1 a 1 3a 9a ... MB qua xx) xMA = TMH = 2.xMB 0,5 Biện luận : Bài toán có nghiệm hình (vì trường hợp M = AT xx bị loại) 1,5 A B y x’ H M x M’ T’ B’ T -4DeThiMau.vn y ... song song cạnh AD, BC 0,25 hình vuông ABCD, cắt trục tung điểm có tung độ m Khi ®ã m dm có điểm chung với hình vuông ABCD nên hệ có nghiƯm VËy m th× hƯ cã nghiÖm 3,5 2,0 0,25 a) Ta cã CIH