Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án Đề 1642311

đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn (1) môn: toán chung thời gian: 150' ( Tham khảo " Đề thi học sinh giỏi Liên xô" ) Bài I: (2 điểm ) Cho a, b, c ba số khác đôi một, c Chứng minh phương trình: x ax  bc  vµ x  bx  ca có nghiệm chung nghiệm thứ hai phương trình thỏa mÃn phương trình x cx ab Bài II: (2 điểm ) 1  , n  N, n  1 2 n  n 1 T×m tÊt giá trị n cho n 100 Sn có giá trị nguyên Gọi Sn = Bài III: (2 điểm ) Giải phương trình nghiệm nguyên: yz zx xy   3 x y z Bµi IV: ( ®iĨm ) Cho a > , chøng minh a  a  a   a     n so a  4a Bài V: ( điểm ) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC , tiếp điểm D, E, F Chứng minh tích khoảng cách hạ từ điểm M đường tròn xuống cạnh tam giác ABC tích khoảng cách từ M đến cạnh tam giác DEF DeThiMau.vn đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn môn toán chung ( Gồm tờ ) Bài I: điểm ( Mỗi mục tương ứng cho 0,5 điểm ) Ta gọi x nghiệm chung hai phương tr×nh: x  ax  bc  , 1 vµ x  bx  ca  ,   Vµ x1 , x nghiệm thứ hai   , víi  x  ax  bc  x1  x Khi ®ã ta cã:  02  x  bx  ac   x  a  b   c  a  b     a  b   x  c   , a  b x  c  MỈt khác, áp dụng định lý Viét cho  ta cã:  x x1  b.c x  b , x0  c     x1  x  a  b ,    x  a  x x  a.c  x  x1   a , x  c  2c  x1  x  a  b ,    Ngoµi ra:   x  x  b  KÕt hợp với ta đợc c  a  b Nh vËy ta cã: x1  x  c vµ x1.x  a.b x1 x nghiệm phương trình x cx ab đpcm Bài II: 2điểm ( Mỗi phần tương ứng cho 0,5 ®iĨm )  Chó ý r»ng:  Suy Sn = k  k 1    1    k 1  k k  k 1        n 1   k 1  k n  k   k , k  N, k   n 1  n = n 1 Sn nhận giá trị nguyên , n số phương Dạng n k Kết hợp víi ®iỊu kiƯn n  N,1  n  100 , suy tập giá trị n thỏa mÃn yêu cầu toán là: 3,8,15, 24,35, 48, 63,80,99 Bài III: 2điểm ( Mỗi mục tương øng cho 1,0 ®iĨm )  Víi ®iỊu kiƯn: xyz  Ta cã: yz zx xy    , 1  2x y  2y z  2z x  6xyz ,   x y z   x y  2x yz  x z    x z  2xyz  y z    y z  2xy z  x y   6xyz  2x yz  2xy z  2xyz   xy  xz    xz  yz    yz  xy   2xyz 1  x   1  y   1  z   ,  3 2 2 DeThiMau.vn  NhËn xÐt: Tõ    xyz  , v× vËy  3   x y z Phương trình có nghiệm tự nhiên x = y = z = 1, lại xyz suy nghiệm nguyên phương trình là: x, y, z 1,1,1 ,  1, 1,1 , 1, 1, 1 , 1,1, Bài IV: 1điểm ( Mỗi mục tương ứng cho 0,5 điểm ) Ký hiệu: xn = a  a  a   a , ta cã xn > víi  n     n so a Ta chøng minh xn-1< xn víi  n > + Ta cã: a < a  a  x1< x2 + Gi¶ sư víi n = k - > 0, ta cã xk-1< xk Khi ®ã : x 2k 1  a  x k  a  x k 1  x k2  xk+1> xk Theo nguyªn lý quy n¹p suy ra: xn-1< xn   4a     4a    x 2k  a  x k 1  a  x k  x 2n  x n  a    x n   x     n   2      4a  1  4a  1  4a  VËy a  a  a   a  ®pcm  xn      2 n so a Bµi V: 3điểm ( Mỗi mục tương ứng cho 1,0 điểm ) Bổ đề: Khoảng cách từ điểm đờng tròn đến đờng thẳng qua hai tiếp điểm hai tiếp tuyến với đờng tròn trung bình nhân khoảng cách từ điểm đến tiếp tuyến  XÐt hai tiÕp tuyÕn AB vµ AC , M (O) Hạ đờng vuông góc MK, MH, ML C xuống tiếp tuyến AB, AC dây EF ฀ ) E MEN  MFH ( ch¾n cung MF D ฀ ) K MFN  MEK ( ME N Suy c¸c tam giác MEN MFH , O M MFN MEK ®ång d¹ng Tõ ®ã A H F B MN MF MH  MN  MH.MK (1) Bæ   MK ME MN đề đợc chứng minh áp dụng (1), gọi a, b, c, d, e, f khoảng cách từ M đến đờng thẳng chứa cạnh BC, CA, AB, EF, FD, DE tam giác ABC DEF ta đợc: d b.c, e2  c.a, f  a.b Nh©n vÕ với vế ba đẳng thức, suy điều phải chøng minh DeThiMau.vn .. .đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn môn toán chung ( Gồm tờ ) Bài I: điểm ( Mỗi mục tương ứng cho 0,5 điểm )  Ta... k Kết hợp với điều kiện n N,1 n 100 , suy tập giá trị n thỏa mÃn yêu cầu toán là: 3,8,15, 24,35, 48, 63,80 ,99 Bài III: 2điểm ( Mỗi mục tương ứng cho 1,0 điểm ) Với điều kiÖn: xyz  Ta...  xy  xz    xz  yz    yz  xy   2xyz 1  x   1  y   1  z   ,  3 2 2 DeThiMau.vn  NhËn xÐt: Tõ    xyz  , v× vËy  3  x y z Phương trình cã nghiƯm tù nhiªn x