đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn (1) môn: toán chung thời gian: 150' ( Tham khảo " Đề thi học sinh giỏi Liên xô" ) Bài I: (2 điểm ) Cho a, b, c ba số khác đôi một, c Chứng minh phương trình: x ax bc vµ x bx ca có nghiệm chung nghiệm thứ hai phương trình thỏa mÃn phương trình x cx ab Bài II: (2 điểm ) 1 , n N, n 1 2 n n 1 T×m tÊt giá trị n cho n 100 Sn có giá trị nguyên Gọi Sn = Bài III: (2 điểm ) Giải phương trình nghiệm nguyên: yz zx xy 3 x y z Bµi IV: ( ®iĨm ) Cho a > , chøng minh a a a a n so a 4a Bài V: ( điểm ) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC , tiếp điểm D, E, F Chứng minh tích khoảng cách hạ từ điểm M đường tròn xuống cạnh tam giác ABC tích khoảng cách từ M đến cạnh tam giác DEF DeThiMau.vn đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn môn toán chung ( Gồm tờ ) Bài I: điểm ( Mỗi mục tương ứng cho 0,5 điểm ) Ta gọi x nghiệm chung hai phương tr×nh: x ax bc , 1 vµ x bx ca , Vµ x1 , x nghiệm thứ hai , víi x ax bc x1 x Khi ®ã ta cã: 02 x bx ac x a b c a b a b x c , a b x c MỈt khác, áp dụng định lý Viét cho ta cã: x x1 b.c x b , x0 c x1 x a b , x a x x a.c x x1 a , x c 2c x1 x a b , Ngoµi ra: x x b KÕt hợp với ta đợc c a b Nh vËy ta cã: x1 x c vµ x1.x a.b x1 x nghiệm phương trình x cx ab đpcm Bài II: 2điểm ( Mỗi phần tương ứng cho 0,5 ®iĨm ) Chó ý r»ng: Suy Sn = k k 1 1 k 1 k k k 1 n 1 k 1 k n k k , k N, k n 1 n = n 1 Sn nhận giá trị nguyên , n số phương Dạng n k Kết hợp víi ®iỊu kiƯn n N,1 n 100 , suy tập giá trị n thỏa mÃn yêu cầu toán là: 3,8,15, 24,35, 48, 63,80,99 Bài III: 2điểm ( Mỗi mục tương øng cho 1,0 ®iĨm ) Víi ®iỊu kiƯn: xyz Ta cã: yz zx xy , 1 2x y 2y z 2z x 6xyz , x y z x y 2x yz x z x z 2xyz y z y z 2xy z x y 6xyz 2x yz 2xy z 2xyz xy xz xz yz yz xy 2xyz 1 x 1 y 1 z , 3 2 2 DeThiMau.vn NhËn xÐt: Tõ xyz , v× vËy 3 x y z Phương trình có nghiệm tự nhiên x = y = z = 1, lại xyz suy nghiệm nguyên phương trình là: x, y, z 1,1,1 , 1, 1,1 , 1, 1, 1 , 1,1, Bài IV: 1điểm ( Mỗi mục tương ứng cho 0,5 điểm ) Ký hiệu: xn = a a a a , ta cã xn > víi n n so a Ta chøng minh xn-1< xn víi n > + Ta cã: a < a a x1< x2 + Gi¶ sư víi n = k - > 0, ta cã xk-1< xk Khi ®ã : x 2k 1 a x k a x k 1 x k2 xk+1> xk Theo nguyªn lý quy n¹p suy ra: xn-1< xn 4a 4a x 2k a x k 1 a x k x 2n x n a x n x n 2 4a 1 4a 1 4a VËy a a a a ®pcm xn 2 n so a Bµi V: 3điểm ( Mỗi mục tương ứng cho 1,0 điểm ) Bổ đề: Khoảng cách từ điểm đờng tròn đến đờng thẳng qua hai tiếp điểm hai tiếp tuyến với đờng tròn trung bình nhân khoảng cách từ điểm đến tiếp tuyến XÐt hai tiÕp tuyÕn AB vµ AC , M (O) Hạ đờng vuông góc MK, MH, ML C xuống tiếp tuyến AB, AC dây EF ) E MEN MFH ( ch¾n cung MF D ) K MFN MEK ( ME N Suy c¸c tam giác MEN MFH , O M MFN MEK ®ång d¹ng Tõ ®ã A H F B MN MF MH MN MH.MK (1) Bæ MK ME MN đề đợc chứng minh áp dụng (1), gọi a, b, c, d, e, f khoảng cách từ M đến đờng thẳng chứa cạnh BC, CA, AB, EF, FD, DE tam giác ABC DEF ta đợc: d b.c, e2 c.a, f a.b Nh©n vÕ với vế ba đẳng thức, suy điều phải chøng minh DeThiMau.vn .. .đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn môn toán chung ( Gồm tờ ) Bài I: điểm ( Mỗi mục tương ứng cho 0,5 điểm ) Ta... k Kết hợp với điều kiện n N,1 n 100 , suy tập giá trị n thỏa mÃn yêu cầu toán là: 3,8,15, 24,35, 48, 63,80 ,99 Bài III: 2điểm ( Mỗi mục tương ứng cho 1,0 điểm ) Với điều kiÖn: xyz Ta... xy xz xz yz yz xy 2xyz 1 x 1 y 1 z , 3 2 2 DeThiMau.vn NhËn xÐt: Tõ xyz , v× vËy 3 x y z Phương trình cã nghiƯm tù nhiªn x