đề thi vào lớp 10 thpt lam sơn(2) môn thi : toán ( Chung cho tất lớp chuyên ) (Thêi gian 150 ) Bµi ( ®iÓm ) Cho biÓu thøc P x 1 - x x 1 x - x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn nhÊt , nhá nhÊt cđa P Bµi ( điểm ) Giải phương trình sau x x2 48 10( - ) a) x x b) x2 x 1 - x 9-4 Bài ( điểm ) Giải hệ phương trình ( x )( y ) 10 ( x y )( xy - 1) Bµi ( điểm ) Cho góc xIy A điểm lấy đường phân giác góc góc , Gọi K , M chân đường vuông góc hạ từ A đến cạnh Ix , Iy góc xIy Trên KM lấy điểm P ( KP < PM ) Qua P dùng ®êng thẳng vuông góc với AP cắt KI Q , MI S a) Chứng minh cácc tứ giác KPAQ PSMA nội tiếp đường tròn b) Chứng minh : P trung điểm QS c) Cho KIM = 2 ; KM = a ; QS = b ( a < b ) Tính KQ Bài ( điểm ) Cho tam giác ABC có cạnh a , b , c tháa m·n a + b + c = Chøng minh : 54 > 3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc 52 DeThiMau.vn Đáp án thang điểm Bài ý Nội dung Điều kiện x P x ( x 1)(x - x 1) x - x a) P x - x 1- x x x 1 x ( x 1) x x 1 P P Bµi x 0 ,x 0 x - x 1 P = x = VËy P = Ta cã 0,25 P 0,25 x -1 , x x-2 x +1 x- x +1 x ,x0 x 1, x x - x 1 P x ; P = x = VËy MaxP = x = Tãm l¹i : minP = x = ; MaxP = x = Bµi 0,25 0,25 x x - x x - Ta cã x x b) 0,25 0,25 x x - x 1 nªn §iĨm 0,25 0,25 §iỊu kiƯn x Ph¬ng trình đà cho tương đương với x2 x 16 - ) 3 10( x x a) Đặt t = x x t2 = PT trë thµnh : 3 t x2 16 23 x 0,25 8 10 t 3 3t2 - 10t + = t = hc t = 4/3 0,25 DeThiMau.vn Bài ý a) Bài Nội dung x * víi t = th× = x2 - 6x - 12 = x x = 21 x * Víi t = 4/3 th× = x2 - 4x - 12 = x x=6 ; x=-2 VËy phương trình đà cho có nghiệm : x = ; x = - ; x = 21 x2 x 1 - x PT : b) 0,25 0,25 9-4 x 2 -1 1 - x 2 x 1 - x 2 -1 NÕu §iĨm 0,25 0,25 x x - , PT trở thành x + - 2x = - x = - tháa m·n x - nên x = - nghiệm phương trình đà cho Nếu 0,25 x < x < - , PT trở thành -( x + 2) - 2x = - - 3x = x = - /3 , không thỏa mÃn x < -2 nên loại 0,25 Vậy phương trình đà cho có nghiệm : x = - ( x )( y ) 10 Ta cã hÖ ( x y )( xy - 1) x y x y 10 ( x y )( xy - 1) Bµi (x y) (xy - 1) 10 ( x y )( xy - 1) 0,25 u v 10 Đặt u = x + y ; v = xy - hƯ trë thµnh : u.v 3 DeThiMau.vn Bài ý Nội dung ( u v) 16 uv 4 u.v u.v uv u 3 u 1 NÕu th× ta cã hc u.v v 1 v 3 §iĨm 0,25 0,25 xy 3 xy 3 u 3 th× xy - xy v 1 * víi Bµi (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) u 1 x y 1 x y 1 * Víi th× v 3 xy - xy nên x , y nghiệm PT : t2 - t + = cã < v« nghiƯm hƯ v« nghiƯm trường hợp uv u -3 u -1 NÕu th× ta cã hc u.v v -1 v -3 u -3 x y -3 x y -3 * Víi ta cã v -1 xy - - xy (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3) u -1 x y -1 x y -1 * Víi ta cã v -3 xy - - xy - (x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2) Tóm lại hệ đà cho có nghiệm (x ;y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) ; (- 3; 0) ; (0 ; - 3) ; (-2 ; 1) ; (1; - 2) 0,25 0,25 0,25 0,25 x Q K 0,25 1 P Bµi a) A H I S M y Theo gi¶ thiÕt AKQ = APQ = 900 , nên tứ giác KPAQ nội tiếp đường tròn đường kính AQ Cũng theo giả thiết AMS = APS = 900 nên tứ giác PSMA nội tiếp đường tròn đường kính AS (ĐPCM) 0,50 0,50 DeThiMau.vn Bµi Bµi ý Néi dung b) Trong tứ giác nội tiếp KPAQ ta cã K1 = Q1 (cïng ch¾n cung AP) Trong tø gi¸c néi tiÕp PSMA ta cã S1 = M1 (cïng ch¾n b) cung AP) Mà A nằm phân giác xIy nên AK = AM K1 = M1 VËy Q1 = S1 hay AQS c©n A có AP đường cao nên AP trung tuyến P trung điểm QS §iÓm 0,25 0,25 0,25 0,25 c) Do AK Ix ; AM Iy A nằm phân giác cđa gãc xIy nªn I1 = I2 = vµ AKI = AMI IK = IM ; AK = AM AI lµ trung trùc cña KM Gäi H = AI KM H trung điểm KM IA KM 0,25 H Trong tam giác vuông AIK ta có I1 = K1 (cïng phơ víi c) IAK) nªn K1 = Q1 = Trong tam giác vuông AHK có : KH = KM/2 = a/2 ; K1 = 0,25 KH a nªn AK cos K 2cos Trong tam gi¸c vu«ng APQ cã : QP = QS/2 = b/2 ; Q1 = 0,25 b nªn AQ 2cos 2 Trong tam giác vuông AKQ có : KQ AQ - AK nªn b2 - a2 = 4cos 2 Gäi p lµ nưa chu vi cđa tam gi¸c ABC ta cã : KQ p -a = a2 b2 4cos 2 4cos 2 0,25 abc b c-a -a > ; t¬ng tù p -b > ; p- c > 2 ¸p dụng bất đẳng thức Cô Si cho số dơng ta cã : Bµi 3p - (a b c) < (p-a)(p-b)(p-c) V× a + b + c = nên bất đẳng thức trở thành : < 33 - 32.6 + 3(ab + bc + ca) - abc (a b c) - (a b c ) < 27 - 54 + - abc 36 - (a b c ) 27 < - abc 28 54 < 108 - 3(a2 + b2 + c2) - 2abc 56 54 > 3(a2 + b2 + c2) + 2abc 52 ( ĐPCM ) Dấu " = " xảy a = b = c = 0,25 0,25 0,25 0,25 DeThiMau.vn ... AQ Cũng theo giả thi? ??t AMS = APS = 90 0 nên tứ giác PSMA nội tiếp đường tròn đường kính AS (ĐPCM) 0,50 0,50 DeThiMau.vn Bài Bài ý Nội dung b) Trong tứ giác nội tiếp KPAQ ta có K1 = Q1 (cïng... lại hệ đà cho có nghiệm (x ;y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) ; (- 3; 0) ; (0 ; - 3) ; (-2 ; 1) ; (1; - 2) 0,25 0,25 0,25 0,25 x Q K 0,25 1 P Bµi a) A H I S M y Theo gi¶ thi? ?t AKQ = APQ = 90 0 , nên tứ.. .Đáp án thang điểm Bài ý Nội dung Điều kiện x P x ( x 1)(x - x 1) x - x a) P x - x 1-