đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn (5) Môn: Toán - Thời gian làm 150 Câu I (2®): 1) Cho biÕt a = x.y + (1 x )(1 y ) b = x 1 y2 + y 1 x2 Gi¶ thiÕt r»ng: xy dương, hÃy tính b theo a 2) Tìm giá trị a để tổng bình phương nghiệm phương trình: x2 - (a-1)x - a2 + a - = đạt giá trị nhỏ Câu II (2đ): 1) Giải hệ phương trình: 2x2 - y2 = xy + x2 = 2) Cho hµm sè y = x2 víi x -1 (1) VÏ đồ thị (c) hàm số(1) tìm b để đường thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) hai điểm A, B có hoành độ trái dấu Câu III (2đ): 1) Giải phương trình: (x2 - 3x + 2) (x2 + 15x + 56) + = 2) Cho n sè thùc a1, a2,, …., an cho a13 + a23 +…+ an3 = n Chøng minh: a1 + a2 + ….+ an BiÕt r»ng - với i =1,2,,n Câu IV (3đ): Cho hình vuông ABCD 1) điểm bên hình vuông Dựng điểm E đường thẳng d chứa cạnh AB, điểm F đường thẳng d chứa cạnh DC cho E0F vuông có diện tích nhỏ 2) Trên cạnh BC CD lấy hai điểm tương ứng M N cho MAN = 450 BD cắt AM, AN I K Chứng minh SCIK = SNMIK Câu V(1đ): Cho đường tròn (0; R), dựng đường tròn (0; R) cho nằm đường tròn (0, R) Dây AB đường tròn (0; R) di động tiếp xúc với đường tròn (0; R) điểm C Xác định vị trí dây AB để AC2 + BC2 đạt giá trị lớn ***** DeThiMau.vn đáp án biểu chấm toán tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam sơn Nội dung Câu Điểm I 2.0đ 1.0đ 0,25đ 0,25đ I1 Ta cã: a2 = + x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy (1 x )(1 y ) (1) b2 = x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy (1 x )(1 y ) (2) 2 So sánh (1) (2) suy b = a - Do xy > nªn ta xÐt hai trêng hỵp sau: + NÕu x > y > b > 0, từ ®ã ta cã: b = a + Nếu x < y < b < Tõ ®ã ta cã: b = - a 0,5® 1.0® I2 Ta cã a2- a + = (a - 7 ) + - (a- )2 +7 < 4 0,25đ Vậy phương trình đà cho có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình, Ta có: víi mäi a x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (a-1)2 + 2(a2 - a + 2) 0,25® 11 11 2 11 ) + = 3(a- )2 + 3 3 0,25đ = 3( a Dấu xảy a = VËy GTNN cña x12 + x22 b»ng 0,25® 11 II 2,0® 1,0® II1 + NÕu y = hệ đà cho trở thành Chia hai vế (*) cho y Ta 3( x x ) - ( )-2=0 y y x2 = hệ vô nghiệm x2 = + NÕu y hƯ ®· cho suy xy + x2 = 4x2 - 2y2 3x2 - xy -2y2 (* )= x =1 y x =3 y x=y 2y x= 2y + Tõ x = - 0,25® + Tõ x = y hệ đà cho viết thành x=y 2x2 - y2 = 2y x= y= x=-1 y = -1 hệ đà cho viết thành: x = - 2x2 DeThiMau.vn 0,25® - y2 0,25® =1 HƯ vô nghiệm Vậy hệ đà cho có hai nghiệm x=-1 y=-1 x = y=1 II2 0,25đ 1,0đ y B y= x2 (x1) 0,25® (c) A -1 x Đường thẳng y = x + b song song (hoặc trùng) với đường phân giác góc phần tử thứ nhất: y = x 0,25đ + Thay toạ độ ®iĨm A (-1, 1) vµo y = x + b ta b = Vậy đường thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) hai điểm A, B thoả mÃn đề phải có: < b 0,5® III III1 2,0® 1,0® III2 Vế trái phương trình đà cho bằng: x4 + 12x3 + 13x2 - 138x + 120 = (x4 + 6x3 - 15x2) + (6x3 + 36x2 - 90x)- (8x2 + 48x - 120) = x2 (x2 + 6x - 15) + 6x (x2+ 6x - 15) - 8(x2+6x-15) 0,5® = (x2 + 6x - 15) (x2 + 6x - 8) Vậy phương trình đà cho viết thành: (x2 + 6x - 15) (x2 + 6x - 8) = *Giải phương trình: x2 + 6x - 15 = vµ x2 + 6x - = ta phương trình đà cho có bốn nghiệm: 0,5đ x1 = -3 + ; x2 = -3 - ; x3 = - + 17 ; x4 = - - 17 1,0® + Ta cã: 4a3 - 3a + = (a + 1) (a- ) víi mäi a tho¶ m·n -1 a1 4a13 - 3a1 + = 4(a1 + 1) (a1 - )2 2 4a23 - 3a2 + = 4(a2 + 1) (a1 ) 0 ……………………………………… 4an3 - 3an + = 4(an + 1) (an - )2 VËy ta cã : 4(a13 + a23 +….+ an3) - 3(a1 + a2 +….+an) + n =0 n - 3(a1 + a2 +…+ an) - n (a1 + a2 + ….+an) 3 ® p c/m + Tõ ®ã 0,25® DeThiMau.vn 0,5® 0,25đ Nội dung Câu IV IV1 A D E P a b F Q §iĨm Gäi P,Q lần lợt hình chiếu d d d Đặt diện tích 0EF = S Ta có P0E = 0FQ = (góc có cạnh tơng ứng vuông góc) 0,25đ Đặt 0P = a, 0Q = b B d’ C Ta cã 0E = Do ®ã: S = a b , 0F = sin cos ab a,b không đổi sin cos nªn S nhá nhÊt 2sin cos lớn 0,25đ Vì sin , cos dơng nên 2sin cos sin2 + cos2 = (BĐTcôsy) ®ã Max (2sin cos) = sin = cos VËy S nhá nhÊt sin = cos = 450 Vậy E F cần dựng thoả mÃn P0E = 0FQ = 450 0,25đ * Bài toán có hai nghiệm hình (vì E, F hai điểm d d) 0,25đ VI2 2đ A Vì C đối xứng với A qua DB nên điều phải chứng minh S AIK = SNMIK B 450 I S AIK= S AMN 0,5® IAN = IDN = 450 nên tứ giác IADN nội tiếp D C N Suy AI IN T¬ng tù ta cã AK KM MIKN tứ giác nội tiếp 0,5đ M K Suy AIK = ANM; AKI = AMN suy AKI Do ®ã : VËy: AK AI AM AN = cos 450 = AK AI SAIK = AM AN SAMN AMN (tỷ số đồng dạng) 0,5đ Suy điều cần chứng minh 0,5đ DeThiMau.vn Nội dung Câu V H Gọi H, K lần lợt trung điểm AB chân đường vuông góc hạ từ xuống 0C Ta có: 0H AB hình chữ nhật 0HCK B Do ®ã AC2 + BC2 = ( AB HC )2 C A O §iĨm K O’ + AB HC 2 2 = AB HC 2 = 2(R2 - 0H2) + (00’2 - 0’K)2 = (R2 - 0H2) + 2R’2 - (R’ - 0H)2 = 2R2 - 40H2 + 4R’0H = = 2R2 + R’2 - (R’ - 20H)2 2R2 + R’2 Vậy giá trị lớn AC2 + BC2 = 2R2 + R2 đạt (R- 20H)2 = hay 0H = R' 0,25® 0,5® Suy có hai vị trí AB là: tiếp tuyến chung đường tròn (0; R) (0; R ' ) ******* DeThiMau.vn 0,25đ .. .đáp án biểu chấm toán tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam sơn Nội dung Câu Điểm I 2.0đ 1.0® 0,25® 0,25® I1 Ta cã: a2... hai điểm A, B thoả mÃn đề phải có: < b 0,5đ III III1 2,0đ 1,0đ III2 Vế trái phương trình ®· cho b»ng: x4 + 12x3 + 13x2 - 138x + 120 = (x4 + 6x3 - 15x2) + (6x3 + 36x2 - 90 x)- (8x2 + 48x - 120)... VËy S nhá nhÊt sin = cos = 450 VËy E vµ F cần dựng thoả mÃn P0E = 0FQ = 450 0,25đ * Bài toán có hai nghiệm hình (vì E, F hai điểm d d) 0,25đ VI2 2đ A Vì C đối xứng với A qua DB nên điều