SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN o0o ĐỀ THI CHON HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Môn: Toán Thời gian: 150 phút Bài Chứng minh với số thực a, b, c phương trình sau có nghiệm: acos4x + bcos2x + csin2x = ˆ Bài Cho hình chóp S.ABCD thoả ASB BSC CSA mặt bên có diện tích Xét hàm sin x x f (x) 2 cos x neáu x 2 Tìm max [f(A) + f(B) + f(C)], với A, B, C số đo góc tam giác ABC Bài Cho dãy (un) (vn) xác định sau: un+1 – 3un = 2n u1 = = a + (m + 1)2n – 3n + un a, m N* vaø a (mod 8) Chứng minh dãy (vn) có chứa số phương Bài Các số thực a, b, c, d thoả 0 a b c d 1 d 3 a b c 2 d b c Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 – d4 17 o0o DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (5đ) Xét phương trình acos4x + bcos2x + csin2x = (1) 1) Neáu b = c = (1) acos4x = (điều kiện toán thoả) 2) Nếu b2 + c2 > (2) Đặt f(x) = acos4x + bcos2x + csin2x f(x) xác định liên tục với x Ta cần chứng minh tồn , cho f()f() (*) Từ (2) ta có (c+b)2 + (c-b)2 > Do để chứng minh (*) ta xét trường hợp: a) Nếu b+c , để chọn , ta xét nghiệm phương trình sin2x = cos2x (a b) f ( ) 5 Ta coù f ( ).f ( ) 8 f ( 5 ) (a b) b) Neáu b-c ta xét phương trình sin2x = - cos2x 3 (a b) f ( ) 3 7 f ( ).f ( ) Ta coù 8 f ( 7 ) (a b) S c Vậy trường hợp (*) chứng minh a Bài (5đ) Đặt ASB , BSC , CSA b vaø SA = a, SB = b, SC = c A Từ giả thiết ta có ab sin bc sin ca sin B sin sin sin (2) c a b Dựng tam giác PQR có P PQR , PRQ , RQ b Sử dụng định lí sin ta chứng minh PQ = a, PR = c Do tam giác PQR mặt Q b bên hình chóp Do SA = BC = a, SB = CA = b, SC = AB = c Vậy SABC tứ diện gần đều, tam giác ABC nhọn Từ coù 3 f(A) + f(B) + f(C) = sinA + sin B + sinC 3 Do max [f(A) + f(B) + f(C)] = SABC tứ diện DeThiMau.vn C R Bài (2đ) Sử dụng phương trình sai phân ta un = 3n – 2n Do = a + m.2n Để cm toán ta cm bổ đề: Với k, n N* n tập k A = a t t 1 với at = t(2t+1) k = 2n hệ thặng dư đầy đủ (mod k) (*) Ta cm phản chứng: Giả sử i j k (1) – aj k i(2i 1) j(2 j 1) k (i j)[2(i j) 1] k n (i j) k (do 2(i j) leû) i j k mâu thuẫn (1) Vậy (*) cm Sử dụng (*) ta giải toán: Từ (*) l = 2s với s có hệ thặng dư đầy đủ chứa phần tử daïng 2t (2t 1) i(i 1) t(2t+1) = 2 * Do với t thuộc N tồn I cho i(i 1) t (mod s ) (s 3) Do a (mod 8) neân a = 8t + 4i(i+1) +1 (mod 2s) (2i + 1)2 (mod 2s) Do a – (2i + 1)2 = j.2s (2i + 1)2 = a - j.2s với j thuộc N* s b2 = a – j.2s, b thuộc N* Bài toán chứng minh Bài (5đ) p dụng Côsi cho số ta có + 3a4 4a3 (1) 24 + 3b4 8b3 (2) d4 + 3c4 4dc3 (3) Cộng lại ta có 17 + 3(a4+b4+c4) + d4 4a3 + 8b3 + 4dc3 (4) d d d Đặt , , a b c b c c 3 4a +8b +4dc = 4a ( ) + 4b4( )+4c4 = 4a4 + 4(b4-a4) +4(c4-b4) 12a4 + 8(b4-a4) +4(c4-b4) = 4(a4 + b4 + c4) (ñpcm) DeThiMau.vn ... 8 f ( 7 ) (a b) S c Vậy trường hợp (*) chứng minh a Bài (5đ) Đặt ASB , BSC , CSA b vaø SA = a, SB = b, SC = c A Từ giả thi? ??t ta coù ab sin bc sin ... SC = AB = c Vaäy SABC tứ diện gần đều, tam giác ABC nhọn Từ có 3 f(A) + f(B) + f(C) = sinA + sin B + sinC 3 Do max [f(A) + f(B) + f(C)] = SABC tứ diện DeThiMau.vn C R Bài (2đ) Sử dụng phương... chứng minh tồn , cho f()f() (*) Từ (2) ta có (c+b)2 + (c-b)2 > Do để chứng minh (*) ta xét trường hợp: a) Nếu b+c , để chọn , ta xét nghiệm phương trình sin2x = cos2x (a b) f