Đề thi chon học sinh giỏi lớp 11 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn môn: Toán51042

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN o0o ĐỀ THI CHON HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Môn: Toán Thời gian: 150 phút Bài Chứng minh với số thực a, b, c phương trình sau có nghiệm: acos4x + bcos2x + csin2x = ˆ Bài Cho hình chóp S.ABCD thoả ASB  BSC  CSA   mặt bên có diện tích Xét hàm   sin x  x  f (x)   2 cos x  neáu   x    2 Tìm max [f(A) + f(B) + f(C)], với A, B, C số đo góc tam giác ABC Bài Cho dãy (un) (vn) xác định sau: un+1 – 3un = 2n u1 = = a + (m + 1)2n – 3n + un a, m  N* vaø a  (mod 8) Chứng minh dãy (vn) có chứa số phương Bài Các số thực a, b, c, d thoả  0  a  b  c  d  1 d    3 a b c 2 d  b  c  Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 – d4  17 o0o DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (5đ) Xét phương trình acos4x + bcos2x + csin2x = (1) 1) Neáu b = c = (1)  acos4x = (điều kiện toán thoả) 2) Nếu b2 + c2 > (2) Đặt f(x) = acos4x + bcos2x + csin2x f(x) xác định liên tục với x Ta cần chứng minh tồn ,  cho f()f()  (*) Từ (2) ta có (c+b)2 + (c-b)2 > Do để chứng minh (*) ta xét trường hợp: a) Nếu b+c  , để chọn ,  ta xét nghiệm phương trình sin2x = cos2x   (a  b) f ( )   5  Ta coù   f ( ).f ( )  8 f ( 5 )   (a  b)  b) Neáu b-c  ta xét phương trình sin2x = - cos2x  3 (a  b) f ( )   3 7   f ( ).f ( )  Ta coù  8 f ( 7 )  (a  b)  S c Vậy trường hợp (*) chứng minh a Bài (5đ) Đặt ASB  , BSC  , CSA   b        vaø SA = a, SB = b, SC = c A Từ giả thiết ta có ab sin   bc sin   ca sin  B sin  sin  sin     (2) c a b Dựng tam giác PQR có P PQR  , PRQ  , RQ  b Sử dụng định lí sin ta chứng minh PQ = a, PR = c  Do tam giác PQR mặt Q b bên hình chóp Do SA = BC = a, SB = CA = b, SC = AB = c Vậy SABC tứ diện gần đều, tam giác ABC nhọn Từ coù 3 f(A) + f(B) + f(C) = sinA + sin B + sinC  3 Do max [f(A) + f(B) + f(C)] = SABC tứ diện DeThiMau.vn C  R Bài (2đ) Sử dụng phương trình sai phân ta un = 3n – 2n Do = a + m.2n Để cm toán ta cm bổ đề: Với k, n N* n  tập k A = a t t 1 với at = t(2t+1) k = 2n hệ thặng dư đầy đủ (mod k) (*) Ta cm phản chứng: Giả sử  i  j  k (1) – aj  k  i(2i  1)  j(2 j  1) k  (i  j)[2(i  j)  1] k  n  (i  j) k (do 2(i  j)  leû)  i  j  k mâu thuẫn (1) Vậy (*) cm Sử dụng (*) ta giải toán: Từ (*) l = 2s với s  có hệ thặng dư đầy đủ chứa phần tử daïng 2t (2t  1) i(i  1) t(2t+1) =  2 * Do với t thuộc N tồn I cho i(i  1) t (mod s ) (s  3) Do a  (mod 8) neân a = 8t +  4i(i+1) +1 (mod 2s)  (2i + 1)2 (mod 2s) Do a – (2i + 1)2 = j.2s  (2i + 1)2 = a - j.2s với j thuộc N* s   b2 = a – j.2s, b thuộc N* Bài toán chứng minh Bài (5đ) p dụng Côsi cho số ta có + 3a4  4a3 (1) 24 + 3b4  8b3 (2) d4 + 3c4  4dc3 (3) Cộng lại ta có 17 + 3(a4+b4+c4) + d4  4a3 + 8b3 + 4dc3 (4) d d d Đặt     ,    ,   a b c b c c 3 4a +8b +4dc = 4a (    ) + 4b4(    )+4c4  = 4a4  + 4(b4-a4)  +4(c4-b4)   12a4 + 8(b4-a4) +4(c4-b4) = 4(a4 + b4 + c4) (ñpcm) DeThiMau.vn ...  8 f ( 7 )  (a  b)  S c Vậy trường hợp (*) chứng minh a Bài (5đ) Đặt ASB  , BSC  , CSA   b        vaø SA = a, SB = b, SC = c A Từ giả thi? ??t ta coù ab sin   bc sin  ... SC = AB = c Vaäy SABC tứ diện gần đều, tam giác ABC nhọn Từ có 3 f(A) + f(B) + f(C) = sinA + sin B + sinC  3 Do max [f(A) + f(B) + f(C)] = SABC tứ diện DeThiMau.vn C  R Bài (2đ) Sử dụng phương... chứng minh tồn ,  cho f()f()  (*) Từ (2) ta có (c+b)2 + (c-b)2 > Do để chứng minh (*) ta xét trường hợp: a) Nếu b+c  , để chọn ,  ta xét nghiệm phương trình sin2x = cos2x   (a  b) f