Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 trường THPT Tùng Thiện năm học 2008 2009 môn Toán – hệ phổ thông52982

Đề 1: Sở gd&đt hà nội trường THPT Tùng thiện đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2008 - 2009 Môn toán hệ phổ thông Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (4 điểm) 1) Chứng minh x0 nghiệm phương trình: x3 + ax2 + bx + c = th× ta có bất đẳng thức a2 + b2 + c2 x02  2) Cã bao nhiªu sè gåm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ Câu II (4 điểm) Cho d·y sè un  n = 1, 2, 3, xác định sau: u1 un2 u u    n 1 n 2008   u1 u2 u     n  un 1   u2 u3 T×m nlim Câu III (4 điểm) Chứng minh tam giác ABC tam giác có: cos A B C p p p  cos  cos    2 ab bc ca ( a, b, c cạnh; A, B, C góc, p nửa chu vi tam giác) Câu IV (8 điểm) 1) Một hình chữ nhật HOMF có HO = 11 OM = Một tam giác ABC nhận điểm H làm trực tâm, O làm tâm đường tròn ngoại tiếp, M trung điểm BC F chân đường cao kẻ từ A Tính độ dài đoạn BC 2) Cho hai hình chữ nhật ABCD (AC đường chéo) ABEF ( AE đường chéo) không nằm mặt phẳng thoả mÃn điều kiện: AB = a, AD = AF = a ; đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng BF Gọi HK đường vuông góc chung AC BF (H thuộc AC, K thuộc BF) Tính độ dài đoạn HK DeThiMau.vn Sở gd_đt hà nội Trường thpt tùng thiện đáp án đề thi chọn hs giỏi, năm học 2008 2009 Môn toán _ Khối 12 Câu CâuI 4đ 1) 2đ Đáp án Điểm 0.75 1) Ta có: x03 ax02 bx0 c (1) Đặt a1 = a, a2 = b, a3 = c, b1  x02 , b2  x0 , b3  Theo b®t Bunhiacopski ta cã: a  b  c  x04  x02  1   ax02  bx0  c  Do tõ (1) vµ chó ý x04  x02   , ta cã a  b2  c2  2) 2® 0.5 x06 x06   1   x02   4 x0  x0  x0  x0  x0  x02  Suy ra: a  b  c  x02  0.5 KÕt luËn 0.25 2) XÐt sè cã ch÷ sè a = a1a2 a3a4 a5 , để a có tổng chữ 0.75 số số lẻ có khả xẩy ra: * Nếu ( a1 + a2 + a3 + a4 ) chẵn a5 1,3,5, 7,9 * NÕu ( a1 + a2 + a3 + a4 ) lẻ a5 0, 2, 4, 6,8 Mặt khác, số chữ số có chữ số a1a2 a3a4 0.75 9.10.10.10 = 9.103 số sinh số có chữ số mà tổng chữ số số lẻ Vậy có tất 5.9.103 = 45000 số 0.5 Câu II 4đ Ta cã: 2008  un 1  un  1 un un2     2008    un 1 un un 1 un un 1  un un 1.5 Lần lượt cho n = 1, 2, 3, , k cộng k đẳng thức ta DeThiMau.vn được: u u1 u2      k  2008     2008 1   u2 u3 uk 1  u1 uk 1   uk Mặt khác với dÃy đơn điệu tăng = u1< u2< u3< … < un< un+1 NÕu d·y un bị chặn tồn giới hạn b»ng a Ta cã lim un  a  lim un 1  a  n  n  Ta có phương trình a = a+ a2 2008 a2 a , vô lý u1 = 2008 Vậy un không bị chặn lim un    lim n  n  0 un  u1 u2  u      n   lim 2008 1    2008 n  un 1   u2 u3  un 1  Tõ ®ã ta có nlim Câu III Biến đổi đẳng thức dạng: abc abc abc 4đ cos A cos B  cos C    3 ab bc 0.5 0.5 ca A B A B cos  cos  A  B  2 A B A B A B  cos cos  cos 1 2 VT  cos A  cos B  cos C  cos 1.5 A B A B   1  A B   2  cos  cos   1  cos   1  2   2  2  1   VP   a  b  c     3  ab bc ca  1     a  b    b  c    c  a      3 3  2 ab bc ca Có đẳng thức a + b = b + c = c + a hay a = b = c Suy VT = VP vµ chØ A = B = C Vậy tam giác ABC tam giác CâuIV 8đ 1) Trọng tâm G tam giác ABC nằm đường thẳng HO 4đ (đường thẳng Euler), trọng tâm nằm AM DeThiMau.vn 1.5 0.5 0.5 HG // FM  AH AG    AF 15 AF AM C/m tam giác vuông BFH AFC đồng dạng (dựa vào tam giác vuông) 0.5 BF AF Suy  BF FC  FH AF  75 FH FC Ta l¹i cã: BC2 = ( BF + FC )2 = ( BF – FC )2 + 4.BF.FC Nh­ng BF – FC = BM – MF – MF – MC = -2MF = 22 Do ®ã BC = 222  4.75  784  28 2) 4® 0.5 Do giả thiết AC vuông góc với BF nên mặt phẳng qua BF cắt 0.5 vuông góc đường thẳng AC điểm H cần tìm Vậy H hình chiếu vuông góc B xuống đường thẳng AC Đường thẳng BH cắt AD J tam giác ABJ, BCA đồng dạng nên: AJ AB a  AJ  AB BC VËy J lµ trung điểm AD H trọng tâm tam giác ABD DeThiMau.vn Cã BJ2 = BA2 + AJ2 = 3a a a , BH  BJ nên BJ 2 3 Vì FJ vu«ng gãc víi AC (do AC vu«ng gãc víi mp(BFJ) ) vuông góc với AB nên FJ vuông góc với AD; AFD tam giác ( AD = AF = FD ) vµ FJ = a Do BJ = FJ , BJ vu«ng gãc với FJ nên BFJ vuông cân J Điểm K cần tìm hình chiếu vuông góc H xuống BF nên từ có tam giác BHK vuông cân K HK BH a Chó ý: Bµi nµy cã thĨ lµm b»ng phương pháp toạ độ, cho điểm tối đa Người đề: Nguyễn DeThiMau.vn Thị Vân Đề 2: đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Sở gd&đt hà nội trường THPT Tùng thiện Năm học 2008 - 2009 Môn toán hệ phổ thông Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (6 điểm) 1) Chứng minh với mäi sè nguyªn n > sè nn – n2 + n – chia hÕt cho ( n – )2 2) Giải phương trình: x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2 với số nguyên Câu II (3 điểm) Chứng minh với số tù nhiªn n tuú ý, ta cã:  2n  ! k   k !  n  k  !   n   C2nn Câu III (3 điểm) Chứng minh r»ng víi mäi tam gi¸c ABC nhän ta cã:     1   1   1    27  cos A   cos B   cos C  DÊu xẩy ? ( A, B, C góc tam giác) Câu IV (8 điểm) 1) Giả sử O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D trung điểm cạnh AB, E giao điểm đường trung tuyến cđa tam gi¸c ACD Chøng minh r»ng nÕu AB = AC OE vuông góc với CD 2) Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = a, AD = b Tia Ax vµ tia Cy vuông góc với mặt phẳng (P) thuộc nửa mặt phẳng bờ AC Lấy điểm M thuộc tia Ax chọn điểm N thuộc tia Cy cho mặt phẳng (BDM) vuông góc với mặt phẳng (BDN) TÝnh AM.CN theo a, b Dut cđa tỉ tr­ëng Sơn Tây, ngày 20 2008 Người đề DeThiMau.vn Nguyễn Thị Vân Sở gd_đt hà nội Trường thpt tùng thiện đáp án đề thi chọn hs giỏi, năm học 2008 2009 Môn toán _ Khối 12 Câu CâuI 4đ 1) 3đ 2) 3đ Đáp án Điểm Gi¶ sư n > 2, ta cã: nn – n2 + n – = ( nn-2 -1)n2 + ( n – ) = (n – 1)(nn-3 + nn-4 + … + 1)n2 + (n – 1)n0 = ( n – 1)( nn-1 + nn-2 + … + n2 + n0) Với giá trị k = 0, 2, … , n-1 ta cã nk – chia hÕt cho (n – 1) Suy ra: nn-1 + nn-2 + … + n2 + n0 chia hÕt cho (n – 1) ( cã n – sè h¹ng) Do ®ã sè: ( n – 1)( nn-1 + nn-2 + … + n2 + n0) chia hÕt cho (n – 1)2 Víi n = sè nn – n2 + n – = còng chia hÕt cho (n – 1)2 = VËy víi mäi sè nguyªn n > sè nn – n2 + n – chia hÕt cho ( n – )2 Gi¶ sử x, y thuộc Z thoả mÃn phương trình, ®ã: y2 = (x(x + 8)).((x + 1)(x + 7)) = (x2 + 8x)(x2 + 8x + 7) = t(t +7) = t2 + 7t Víi t = x2 + 8x NÕu t > th× (t + 3)2 = t2 + 6t + < t2 + 7t = y2 < t2 + 8t +16 = (t + 4)2 nghĩa y2 nằm hai số phương liên tiếp, điều xẩy Do đó: x2 + 8x  , tõ ®ã -9  x 1.5 DeThiMau.vn 0.5 0.75 Câu II 3đ Xét với giá trị x = -9, -8, , 0, 1.ta nhận x(x + 1)(x + 0.75 7)(x + 8) số phương với giá trị x -9, -8, -7, -4, -1, 0.5 Như ta nhận tất nghiệm phương trình là: (-9; 12), (-9; -12), (-8; 0), (-7; 0), (-4; 12), (-4; -12), (-1; 0), (0; 0), (1; 12), (1; 12) Tõ ®ång nhÊt thøc: (1+x)2n = (1+x)n(1+x)n Sử dụng nhị thức Niutơn ta có: C20n  C21n x   C22nn x n   Cn0  Cn1 x   Cnn x n   Cn0  Cn1 x   Cnn x n  So s¸nh c¸c hệ số xn sử dụng đẳng thức Cnk  Cnn  k , k  0,1, , n Ta được: C2nn Cn0 Cn1     Cnn  2 Do ®ã:  2n  !  2n  ! n  n !    2 n !n ! k 0 (k !)   n  k  !2 k  ( k !)   n  k  ! n 2 2  C2nn  Cn0    Cn1     Cnn C2nn Đó điều cần chứng minh Câu III 3đ Dùng BĐT Cô-si c/m được: Với x, y, z >0: 1.25       1   1   1    1  y  z   x  y z x C/m được: cosA + cosB + cosC 3/2 áp dụng BĐT ta điều phải c/m Câu 8đ 1) 4đ 0.75 0.5 1.5 DeThiMau.vn Do E trọng tâm tam giác ACD nên:     OE  OC  OA  OD   OC  OA  OB  3 2        CD  (CA  CB)  OA  OB  2OC 2   AB = AC ; AO  BC     Ta nhận được:   12.OE.CD  (2OC  3OA  OB )(OA  OB  2OC )         3OA  OB  4OC  4OA.OB  4OC.OA     3R  R  R  4OA(OB  OC )    4OA.CB  ë R = OA = OB = OC bán kính đường tròn ngoại tiếp 0.5 tam giác ABC 12OE.CD OE CD 2) 4đ Kẻ AK  BD  MK  BD  MK  ( BDN ) KỴ CH  BD  NH BD Đặt AKM , CHN , AM = x, CN = y Ta cã: AM x a  b tan    AK ab 1 DeThiMau.vn tan   CN y a  b  CH ab  2 Do  MBD    NBD       Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã: xy VËy AM CN    tan  tan   (3) a  b2 a 2b   xy  a 2b a  b2 a 2b a  b2 Người đề: Nguyễn DeThiMau.vn Thị Vân 1 ... độ, cho điểm tối đa Người đề: Nguyễn DeThiMau.vn Thị Vân Đề 2: đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Sở gd&đt hà nội trường THPT Tùng thi? ??n Năm học 2008 - 2009 Môn toán hệ phổ thông Thời gian làm... Trường thpt tùng thi? ??n đáp án đề thi chọn hs giỏi, năm học 2008 2009 Môn toán _ Khối 12 Câu CâuI 4đ 1) 3đ 2) 3đ Đáp án Điểm Giả sử n > 2, ta cã: nn – n2 + n – = ( nn-2 -1)n2 + ( n – ) = (n – 1)(nn-3...Sở gd_đt hà nội Trường thpt tùng thi? ??n đáp án đề thi chọn hs giỏi, năm học 2008 2009 Môn toán _ Khối 12 Câu CâuI 4đ 1) 2𠧸p ¸n §iĨm 0.75 1) Ta cã: x03 