SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Trường THPT Tân Kỳ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN : TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1.(3 điểm) Cho phương trình: (2sin x 1)(2co s x 2sin x m) 2cos x (Với m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc 0; Câu (4 điểm) Cho A, B, C ba góc tam giác ABC cos B cosC sin B sin C 2 sin A sin B sin C b, Tìm giá trị lớn biểu thức: M cos A cos B cos 2C a, Chứng minh tam giác ABC vuông : sin A Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: 4x x 2 11 x Câu 4: (2 điểm) Cho k số tự nhiên thỏa mãn k 2011 k k 1 k 5 Chứng minh rằng: C50 C2011 C15 C2011 C55 C2011 Ck2016 u1 * un2 2012un n N Câu (2 điểm) Cho dãy {un} xác định bởi: un 1 2013 n ui Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi: S n Tìm lim Sn n i 1 ui 1 Câu 6: (2 điểm) Tìm n Z * cho phần nguyên n 8n số nguyên tố 3n Câu7.(2 điểm) Trong mp Oxy cho hai đường tròn (C1) : x y 13 , (C2) : ( x 6) y 25 Gọi giao điểm có tung độ dương (C1) (C2) A viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C1) (C2) theo hai dây cung có độ dài Câu 8: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD có cạnh: BC = DA = a; CA = DB = b; AB = DC = c .Chứng minh rằng: 1 (S diện tích tồn phần tứ diện) 2 2 2 ab bc ca S Hết Họ tên : Số báo danh : DeThiMau.vn ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN : TỐN HỌC (Đáp án biểu điểm gồm có 04 trang) Câu Câu1 Lời giải Phương trình cho tương đương với : (2sin x 1)(2co s x m 1) Với sin x 5 x x 0; 6 Điểm 0.5 1.0 Để phương trình cho có nghiệm thuộc 0; phương trình : cos x 1 m 5 vô nghiệm có hai nghiệm x ; x 6 Từ ta m 3 v m =0 Câu 1.0 0.5 a, Chứng minh tam giác ABC vuông : sin A cos B cosC sin B sin C A cos B cosC A A 2cos A cos A 2sin cos Từ sin A sin B sin C 2 cos A 2 sin  góc vng.Vậy tam giác ABC vng A sin A sin B sin C sin A sin B sin C M 1 cos A cos B cos 2C cos A cos B cos 2C 3 Biến đổi M 1 cos A cos B cos 2C 2 cos A cos B cos C M 1 cos 2C cos C.cos ( A B) 0 M 1 cos ( A B) 1 1 cos ( A B) M 1 M 1 1 M 3 M 1 b, M cos ( A B) A B C 600 M 3 cos C cos ( A B) 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 Vậy MaxM = tam giác ABC Câu 3: Giải phương trình: 4x x 2 11 x ĐK: x R DeThiMau.vn 0.5 x x 11 x x x x x 11 x x x x 6t 11t 0(*) x 2x 0 x 2x Giải (*) t = thỏa mãn yêu cầu 0.5 Với t Nên t Câu 0.5 0.5 0.5 5 x 2x x 2x 2 x 10 x x 2 x 2x x 2x 0.5 Cho k số tự nhiên thỏa mãn k 2011 k k 1 k 5 Chứng minh rằng: C50 C2011 C15 C2011 C55 C2011 Ck2016 Dễ thấy 1 x 1 x 2011 1 x 2016 ; M 1 x C50 C15 x1 C52 x C35 x C54 x C55 x 5 N 1 x 2011 P 1 x 2016 2011 2011 C02011 C12011x1 Ck2011x k C2011 x 2016 2016 C02016 C12016 x Ck2016 x k C2016 x Ta có hệ số x P C Vì P M.N , mà số hạng chứa x k M.N : k 0.5 k 2016 0.5 0.5 1 k 1 2 k 2 k 3 k 3 k 4 k 4 5 C50 Ck2011x k C15 xCk2011 x C52 x 2Ck2011 x C35 x 3C2011 x C54 x 4C2011 x C55 x 5Ck2011 x k k 1 k 5 nên C50 C2011 C15 C2011 C55 C2011 Ck2016 0.5 Tacó: un2 2012un un2 2013un un 2013 2013 u u 1 n n un (*) ; n N * 2013 u1 u1 u2 un un 1 Câu un 1 Suy un dãy tăng Giả sử un bị chặn lúc tồn số L cho lim un L ( L 2) Từ 0.5 n L un (un 1) L( L 1) L (vô lý) lim un L n n n 2013 2013 L 0.5 un không bị chặn Suy lim un lim n n u n (*) ta có: lim(un 1 ) lim Mặt khác : un2 2012un un (un 1) un 2013 2013 un (un 1) 2013(un 1 un ) 2013 un 1 1 un 1 un 1 u 1 un un 2013 n 1 1 2013 un un 1 un un 1 DeThiMau.vn 0.5 Cho n u1 2013 2013 1 u2 u1 u2 u2 u2 2013 u3 u2 u3 Tương tự un 2013 un 1 un un 1 Cộng vế theo vế ta : n Sn i 1 Câu ui 2013 1 ui 1 un 1 lim Sn lim 2013 1 n Gọi S tập hợp số nguyên tố Trường hợp 1: n 3k n 2013 un 1 0.5 n 8n 1 A 3k 8k 3 3n 9k A 3k 8k k 3k 8 A S k n 1.0 Trường hợp 2: n 3k 1 1 n 8n 3k 2k 8k 3k 10k 3 3n 3 3n 3n A 3k 10k k 3 3k 1 A A S k n Trường hợp 3: n 3k n 1 16 8k 3k 12k 3 3n 3n A 3k 12k k 4k 2 S 0.5 A 3k 4k Kết luận: A S n 1;3 Câu 0.5 (C1) có tâm O(0;0),bán kính R1 13 (C2) có tâm I(6;0),bán kính R2 Giao điểm (C1) (C2) A (2;3) B(2;-3).Với A có tung độ dương 0.5 nên A(2;3) Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0 Gọi d1 d (O, d ); d d ( I , d ) 2 2 2 Yêu cầu toán trở thành: R2 d R1 d1 d d1 12 0.5 0.5 DeThiMau.vn b (4a 3b) (2a 3b) 2 12 b ab a b2 a b2 b 3a 0.5 *b=0 ,chọ a=1,suy pt d là:x-2=0 *b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy pt d là:x-3y+7=0 Câu A G D E C B F *Diện tích mặt tứ diện abc/4R=S/4 *BĐT tương đương a2+b2+c2 9R2 *Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a2+b2+c2= BC CA AB (OC OB) (OA OC ) (OB OA) =6R2-2( OB.OC OCOA OAOB ) =9R2-( OA OB OC )2 9R *Dấu xảy OA OB OC O O trùng trọng tâm G tam giác ABC tam giác ABC ABCD tứ diện Giáo viên đề: Nguyễn Thái Lâm DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.5 0.5 ...ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN : TỐN HỌC (Đáp án biểu điểm gồm có 04 trang) Câu Câu1 Lời giải Phương trình... Ck2011x k C15 xCk2 011 x C52 x 2Ck2 011 x C35 x 3C2 011 x C54 x 4C2 011 x C55 x 5Ck2 011 x k k 1 k 5 nên C50 C2 011 C15 C2 011 C55 C2 011 Ck2016 0.5 Tacó: un2 2012un un2 2013un... C15 x1 C52 x C35 x C54 x C55 x 5 N 1 x 2 011 P 1 x 2016 2 011 2 011 C02 011 C12011x1 Ck2011x k C2 011 x 2016 2016 C02016 C12016 x Ck2016 x k C2016