Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Trường THPT Tân Kỳ năm học 2013 2014 môn: Toán53785

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Trường THPT Tân Kỳ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN : TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1.(3 điểm) Cho phương trình: (2sin x  1)(2co s x  2sin x  m)   2cos x (Với m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc  0;   Câu (4 điểm) Cho A, B, C ba góc tam giác ABC cos B  cosC sin B  sin C 2 sin A  sin B  sin C b, Tìm giá trị lớn biểu thức: M  cos A  cos B  cos 2C a, Chứng minh tam giác ABC vuông : sin A  Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: 4x  x  2  11 x  Câu 4: (2 điểm) Cho k số tự nhiên thỏa mãn  k  2011 k k 1 k 5 Chứng minh rằng: C50 C2011  C15 C2011   C55 C2011  Ck2016 u1   * un2  2012un n  N Câu (2 điểm) Cho dãy {un} xác định bởi:  un 1  2013  n ui Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi: S n   Tìm lim Sn n  i 1 ui 1  Câu 6: (2 điểm) Tìm n  Z * cho phần nguyên n  8n  số nguyên tố 3n Câu7.(2 điểm) Trong mp Oxy cho hai đường tròn (C1) : x  y  13 , (C2) : ( x  6)  y  25 Gọi giao điểm có tung độ dương (C1) (C2) A viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C1) (C2) theo hai dây cung có độ dài Câu 8: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD có cạnh: BC = DA = a; CA = DB = b; AB = DC = c .Chứng minh rằng: 1 (S diện tích tồn phần tứ diện)  2 2 2 ab bc ca S Hết Họ tên : Số báo danh : DeThiMau.vn ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN : TỐN HỌC (Đáp án biểu điểm gồm có 04 trang) Câu Câu1 Lời giải Phương trình cho tương đương với : (2sin x  1)(2co s x  m  1)  Với sin x   5 x x   0;   6 Điểm 0.5 1.0 Để phương trình cho có nghiệm thuộc  0;   phương trình : cos x  1 m  5 vô nghiệm có hai nghiệm x  ; x  6 Từ ta m 3 v m =0 Câu 1.0 0.5 a, Chứng minh tam giác ABC vuông : sin A  cos B  cosC sin B  sin C A cos B  cosC A A  2cos A   cos A    2sin cos  Từ sin A  sin B  sin C 2 cos A 2 sin  góc vng.Vậy tam giác ABC vng A sin A  sin B  sin C sin A  sin B  sin C  M   1 cos A  cos B  cos 2C cos A  cos B  cos 2C 3 Biến đổi M 1   cos A  cos B  cos 2C  2 cos A  cos B  cos C M 1 cos 2C  cos C.cos ( A  B)   0 M 1        cos ( A  B)  1     1    cos ( A  B)   M 1   M 1   1   M 3 M 1 b, M  cos ( A  B)    A  B  C  600 M 3  cos C  cos ( A  B)  1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 Vậy MaxM = tam giác ABC Câu 3: Giải phương trình: 4x  x  2  11 x  ĐK: x  R DeThiMau.vn 0.5   x  x   11 x         x  x   x  x   11 x  x  x  x    6t  11t   0(*) x  2x  0 x  2x  Giải (*) t = thỏa mãn yêu cầu 0.5 Với t  Nên t  Câu 0.5 0.5 0.5 5 x  2x  x  2x  2   x  10 x    x    2 x  2x  x  2x  0.5 Cho k số tự nhiên thỏa mãn  k  2011 k k 1 k 5 Chứng minh rằng: C50 C2011  C15 C2011   C55 C2011  Ck2016 Dễ thấy 1  x  1  x  2011  1  x  2016 ; M  1  x   C50  C15 x1  C52 x  C35 x  C54 x  C55 x 5 N  1  x  2011 P  1  x  2016 2011 2011  C02011  C12011x1   Ck2011x k   C2011 x 2016 2016  C02016  C12016 x   Ck2016 x k   C2016 x Ta có hệ số x P C Vì P  M.N , mà số hạng chứa x k M.N : k 0.5 k 2016 0.5 0.5 1 k 1 2 k 2 k 3 k 3 k 4 k 4 5 C50 Ck2011x k  C15 xCk2011 x  C52 x 2Ck2011 x  C35 x 3C2011 x  C54 x 4C2011 x  C55 x 5Ck2011 x k k 1 k 5 nên C50 C2011  C15 C2011   C55 C2011  Ck2016  0.5 Tacó: un2  2012un un2  2013un  un  2013 2013 u  u  1  n n  un (*) ; n  N * 2013 u1   u1  u2   un  un 1  Câu un 1  Suy un dãy tăng Giả sử un bị chặn lúc tồn số L cho lim un  L ( L  2) Từ 0.5 n  L  un (un  1) L( L  1) L  (vô lý)  lim un  L  n  n  n  2013 2013 L  0.5  un không bị chặn Suy lim un    lim  n  n  u n (*) ta có: lim(un 1 )  lim Mặt khác : un2  2012un un (un  1)   un 2013 2013  un (un  1)  2013(un 1  un )  2013  un 1  1   un  1  un 1   u 1   un   un  2013  n 1  1   2013     un   un 1   un  un 1   DeThiMau.vn 0.5 Cho n     u1    2013     2013 1   u2   u1  u2    u2    u2   2013    u3   u2  u3   Tương tự    un   2013    un 1   un  un 1   Cộng vế theo vế ta : n Sn   i 1 Câu  ui   2013 1   ui 1   un 1     lim Sn  lim 2013 1  n  Gọi S tập hợp số nguyên tố Trường hợp 1: n  3k n      2013 un 1   0.5 n 8n 1 A    3k  8k  3 3n 9k  A  3k  8k  k  3k  8  A  S  k   n  1.0 Trường hợp 2: n  3k  1 1 n 8n    3k  2k   8k    3k  10k   3 3n 3 3n 3n  A  3k  10k    k  3 3k  1 A  A  S  k   n  Trường hợp 3: n  3k   n  1 16  8k    3k  12k    3 3n 3n  A  3k  12k   k  4k  2  S 0.5 A  3k  4k  Kết luận:  A  S  n  1;3 Câu 0.5 (C1) có tâm O(0;0),bán kính R1  13 (C2) có tâm I(6;0),bán kính R2  Giao điểm (C1) (C2) A (2;3) B(2;-3).Với A có tung độ dương 0.5 nên A(2;3) Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0 Gọi d1  d (O, d ); d  d ( I , d ) 2 2 2 Yêu cầu toán trở thành: R2  d  R1  d1  d  d1  12 0.5 0.5 DeThiMau.vn b  (4a  3b) (2a  3b) 2       12 b ab  a  b2 a  b2 b  3a 0.5 *b=0 ,chọ a=1,suy pt d là:x-2=0 *b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy pt d là:x-3y+7=0 Câu A G D E C B F *Diện tích mặt tứ diện abc/4R=S/4 *BĐT tương đương a2+b2+c2  9R2 *Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC          a2+b2+c2= BC  CA  AB  (OC  OB)  (OA  OC )  (OB  OA)      =6R2-2( OB.OC  OCOA  OAOB )    =9R2-( OA  OB  OC )2  9R     *Dấu xảy OA  OB  OC  O  O trùng trọng tâm G tam giác ABC  tam giác ABC  ABCD tứ diện Giáo viên đề: Nguyễn Thái Lâm DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.5 0.5 ...ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN : TỐN HỌC (Đáp án biểu điểm gồm có 04 trang) Câu Câu1 Lời giải Phương trình... Ck2011x k  C15 xCk2 011 x  C52 x 2Ck2 011 x  C35 x 3C2 011 x  C54 x 4C2 011 x  C55 x 5Ck2 011 x k k 1 k 5 nên C50 C2 011  C15 C2 011   C55 C2 011  Ck2016  0.5 Tacó: un2  2012un un2  2013un...  C15 x1  C52 x  C35 x  C54 x  C55 x 5 N  1  x  2 011 P  1  x  2016 2 011 2 011  C02 011  C12011x1   Ck2011x k   C2 011 x 2016 2016  C02016  C12016 x   Ck2016 x k   C2016