Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 trường THPT Cẩm Thuỷ 3 năm học: 2008 – 2009. môn thi: Toán42861

Sở GD&ĐT Thanh hoá Trường THPT Cẩm Thuỷ Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học: 2008 2009 Môn thi: Toán - Thời gian: 180 phút Họ tên:. SBD: : Cõu (5.0 điểm): 1) Khảo sát hàm số y   x  1 2  x 2) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình  x  1   x    m  1   m  2 C©u (2.0 điểm): Giải hệ phương trình: 1  x  x  y  y   1  x   y   20 x y  C©u 3(2.0 điểm): Tìm số nguyên dương n cho: C 21n 1  2.2C 22n 1  3.2 C 23n 1  4.2 C 24n 1    (2n  1)2 n C 22nn11  2009 Câu 4(2.0 điểm): Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x thuộc tập xác định (4  x)(6  x)  x  x m Câu 5(2.0 điểm): Giải phương trình: sin x  sin x  sin x  sin x  cos x  cos x  cos x cos x Câu 6(6.0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AK cắt cạnh SB , SD M N Đặt V1= VS.AMKN , V = VS.ABCD 1) Khi mp(P)//BD, h·y tÝnh tû sè thÓ tÝch V1 V V SM SN , y= TÝnh theo x vµ y SB SD V V1 3) Chøng minh r»ng:   V 2) Đặt x = Câu 7(1.0 điểm): Cho n số nguyên dương lẻ n 3,   R,    2  2! Chøng minh r»ng: 1     2 3 n   1      m < -2 th× cã 1nghiƯm  Khi (m +1)2(2 - m) =  m = -2 m =1 có nghiệm (m 1) (2 - m)   m  (2;2) \ 1;1 phương trình Khi  (m  1) (2 - m)  cã nghiÖm  Khi (m +1)2(2 - m) = m = -1 m = có nghiÖm  Khi (m +1)2(2 - m) < m > có 1nghiệm Giải hệ phương trình x x u Đặt  , §iỊu kiƯn: u  2; v  y   v  y DeThiMau.vn 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 2.0 0.5 uv 5  Tacã hÖ  3 u  3u  v  3v  15 u   u  v  v3     u   uv   v  Suy nghiệm là:   3   3        ;1  ;1 1;  1;     Tìm số nguyên dương n Xét hàm số: f ( x)  (1  x) n 1 = C 20n 1  C 21n 1 x  C 22n 1 x  C 23n 1 x  C 24n 1 x    C 22nn11 x n 1 0.5 0.5 0.5 0.5 Ta cã f ' ( x)  (2n  1)(1  x) n = 0.5 = C 21n 1  2C 22n 1 x  3C 23n 1 x  4C 24n 1 x    (2n  1)C 22nn11 x n Do ®ã f ' (2)  2n   = C 21n 1  2.2C 22n 1  3.2 C 23n 1  4.2 C 24n 1    (2n  1)2 n C 22nn11 Suy ra: 0.5 C 21n 1  2.2C 22n 1  3.2 C 23n 1  4.2 C 24n 1    (2n  1)2 n C 22nn11  2009  2n + = 2009 n = 1004 0.5 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x thuộc tập xác định (4 x)(6 x) x x m Đặt (4 x)(6  x)  t  t2 = -x2 + 2x + 24 Do   x  suy  t  Khi ®ã ta cã bất phương trình: t2 + t 24 m.(*) XÐt hµm sè g (t )  t  t 24 đoạn [0 ; 5] Có bảng biÕn thiªn: t g’(t) + g(t) 0.5 0.5 0.5 -24 Để bpt đà cho nghiệm x thuộc TXĐ bpt (*) phải nghiệm víi mäi t tho¶ m·n  t  Từ bảng biến thiên suy ra: m 0.5 Giải phương trình: sin x sin x  sin x  sin x  cos x  cos x  cos x  cos x (*) (*)  (sinx - cosx)[2 +2(sinx+ cosx) + sinxcosx] = 0.5  sin x  cos x  0(1)  0.5 2  2(sin x  cos x)  sin x cos x  0(2) 4 0.5 DeThiMau.vn (1)  tan x   x    k (k  Z ) GiảI (2): Đặt t sin x cos x  sin( x   0.5 ) t  t 1 Tacã t2 + 4t +3 =  t = -1 v t = -3(lo¹i)   Víi t = -1  sin( x  )    sin(  ) 4   x    m2 (m  Z )   x    n 2 (n  Z )   sin x cos x  6.1 V1 V Gäi O giao điểm 2đường chéo S I giao điểm AK SO K Do (P)//BD, qua I kẻ đường song song với N BD cắt SB SD M M I M Trong tam giác SAC có I trọng tâm D Suy ra: O A SM SN B  ;  SB SD Vì SABCD hbh nªn Vs.ABC = Vs.ADC = V V SM SK 1    VS AMK  V Ta cã S AMK  VS ABC SB SC 3 T­¬ng tù ta cã VS ANK  V Khi mp(P)//BD, h·y tÝnh tû sè thÓ tÝch 0.5 C 0.5 0.5 0.5 Mµ V = Vs.ABC + Vs.ADC vµ V1 = VS.AMK+ VS.ANK V1  V V SM SN Đặt x = , y= Tính theo x vµ y SB SD V V SM SK x  x  VS AMK  V Ta cã S AMK  VS ABC SB SC y T­¬ng tù ta cã VS ANK  V V x y Suy  (1) V V Chøng minh r»ng:   V Do V1 = VS.AMN+ VS.MNK vµ Vs.ABC = Vs.ADC = V V SM SN xy  xy  VS AMK  V Mµ S AMN  VS ABD SB SD Suy 6.2 6.3 DeThiMau.vn 1.0 0.5 0.5 0,25 VS KMN SM SN SK xy   xy  VS KMK  V VS CBD SB SD SC V xy Suy  (2) V x Tõ (1) vµ (2) suy y  3x  1 Do x>0; y> nªn x> x 1    x  VËy ta cã x   ;1 V× y   3x  2  V 3x xy 1  XÐt hµm sè f(x) =  = víi x   ;1 V 4(3 x  1) 2  x(3 x  2) Cã f’(x) = 4(3 x  1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BBT: x f’(x) f(x) - + 0,5 8 V1   V Tõ BBT suy Cho n số nguyên dương lẻ n 3,   R,   Chøng minh r»ng:  2 n  1    <  2! n!     x2 xn  x2 x3 xn      vµ G(x) = 1  x      Đặt F(x) = x 2! n!  2! 3! n!     x2 x n 1  xn  = F(x)  Ta cã: F’(x) = 1  x  2! (n  1)!  n!   G’(x) =    x   x2 x3 x n 1  = 2! 3! (n 1)! 0,25 Đặt f(x) = F(x) G(x) f’(x) = F’(x).G(x) + F(x).G’(x) xn xn = [F(x) ].G(x)+ F(x) [- G(x) ] n! n! xn =[F(x)+G(x)] n! 0.25 DeThiMau.vn =- xn n!  x2 x4 x n 1  1     2! 4! (n  1)!   0.25 Do n lẻ nên với x khác ta có:  x2 x4 x n 1  1   >0   2! 4! (n  1)!   Suy bảng biến thiên: x f(x) f(x) +  Tõ BBT suy f(x)< x  , suy (®pcm) DeThiMau.vn 0  0,25  ... hoá Trường THPT Cẩm Thuỷ 2009 Câu 1.1 hướng dẫn chấm Thi chọn HSG Năm học: 2008 Môn thi: Toán Nội dung Điểm Khảo sát vẽ đồ thị hàm số * TXĐ: R * Giíi h¹n: lim y    0.5 x *Bảng biến thi? ?n:... y   v  y DeThiMau.vn 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 2.0 0.5 uv 5  Tacã hÖ  3 u  3u  v  3v  15 u   u  v  v? ?3     u   uv   v   Suy nghiệm là:  3? ??   3? ??     ... x 1    x  VËy ta cã x   ;1 V× y   3x  2  V 3x xy 1  XÐt hµm sè f(x) =  = víi x   ;1 V 4 (3 x  1) 2  x (3 x  2) Cã f’(x) = 4 (3 x  1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BBT: x f’(x)