§Ị thi chän häc sinh giái líp 11 cÊp trêng năm học 2012 -2013 Sở GDĐt hoá Trường THPT trần phú Môn : Toán Thời gian làm : 150 phút , không kể thời gian phát đề -Câu ( 2,0 điểm) Giải phương tr×nh sau: x x 2013 2013 Câu ( 3,0 điểm) Cho phương trình (2sin x 1)(2co s x 2sin x m) 2cos x ( Víi m lµ tham số) a, Giải phương trình với m = b, Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc 0; Câu (5,0 điểm) a, Giải hệ phương trình : 2 x y x y 2 3 x y x y n b, T×m hƯ sè cđa x khai triĨn sau: 3 nx biÕt n lµ sè nguyên thoả mÃn hệ thức x 2Cn1 C n2 n 20 C©u (4,0 điểm) Cho A, B, C ba góc tam gi¸c ABC cos B cosC sin B sin C 2 sin A sin B sin C b, Tìm giá trị lớn biÓu thøc: M cos A cos B cos 2C a, Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC vuông : sin A Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C1) : x y 13 ,đường tròn (C2) : ( x 6) y 25 a, Tìm giao điểm hai đường tròn (C1) (C2) b, Gọi giao điểm có tung độ dương (C1) (C2) A viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C1) (C2) theo hai dây cung có độ dài Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a ,cạnh SA = a vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a, Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b, M điểm di động đoạn BC BM =x ,K hình chiếu S DM Tính độ dài đoạn SK theo a x Tính giá trị nhỏ đoạn SK …………… HÕt………………… Họ tên thí sinh: SBD: DeThiMau.vn đáp án thi chọn học sinh giỏi lớp 11 cấp trường năm học 2012 -2013 Sở GDĐt hoá Trường THPT trần phú Môn : Toán C âu Câ u1 Đáp án Điể m 0,25 x x 2013 2013 §K x 2013 §Ỉt t x 2013 ( víi t t 0) t x 2013 t x 2013 Ta cã hÖ PT: 0,5 x t 2013 ( x t )( x t 1) 2 t x 2013 0,5 + Với x +t =0 ta t = -x x 2013 x Giải ta x 8053 lµ nghiƯm + Víi x t +1 = ta : x +1 = t x x 2013 Giải ta 0,25 8049 x lµ nghiƯm 8053 1 8049 §¸p sè : x , x 2 (2sin x 1)(2co s x 2sin x m) 2cos x C© u2 0,25 a , Với m =1 ta phương trình : (2sin x 1)(2co s x 2sin x 1) 2cos x (2sin x 1).cos x 5 + sin x x k 2 x k 2 6 0,5 + co s x x 0,5 k 1,5 0,25 b, Ph¬ng trình đà cho tương đương với : (2sin x 1)(2co s x m 1) 5 Víi sin x x x 0; 6 Để phương trình đà cho có nghiệm thuộc 0; phương trình : cos x vô nghiệm có hai nghiệm x C© u3 0,25 ;x 0,25 1 m Từ ta m 3 v m =0 x y x y x x y y x x 2 3 x y x y 3( x x) 2( y y ) y y 13 13 13 13 Ta nghiệm hƯ lµ : ;0 ; ; ; ;0 ; ; ; DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 n C© u4 3 nx biết n số nguyên thoả mÃn hƯ x , T×m hƯ sè cđa x khai triÓn sau: thøc 2Cn1 C n 20 n Tõ hÖ thøc 2Cn1 C n 20 §k n 2, n Z n 3n 40 n n Ta n= thoả mÃn n 40 14 k k 8 k k x x C8 x x x k 0 Ta cã : Khai triÓn chøa x4m 0,5 40 14k k VËy hƯ sè cđa x4 lµ C82 26 1792 0,5 0,5 C© u5 0,5 0,5 a, Chøng minh r»ng tam giác ABC vuông : sin A cos B cosC sin B sin C 0,5 A 0,5 cos B cosC A A 2cos A cos A ¢ lµ gãc Tõ sin A 2sin cos 0,5 sin B sin C 2 cos A 2 0,5 sin vuông.Vậy tam giác ABC vuông t¹i A sin A sin B sin C sin A sin B sin C M 1 cos A cos B cos 2C cos A cos B cos 2C 3 M 1 cos A cos B cos 2C BiÕn ®ỉi vÒ 2 cos A cos B cos C M 1 cos 2C cos C.cos ( A B) 0 M 1 cos ( A B) 1 1 cos ( A B) M 1 M 1 1 M 3 M 1 b, M cos ( A B) A B C 600 M 3 cos C cos ( A B) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 VËy MaxM = tam giác ABC (C1) cú tõm O(0;0),bỏn kính R1 13 0,25 (C2) có tâm I(6;0),bán kính R2 0,25 DeThiMau.vn Giao điểm (C1) (C2) A (2;3) B(2;-3).Vì A có tung độ dương nên A(2;3) 1,0 Vì A có tung độ dương nên A(2;3) Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0 Gọi d1 d (O, d ); d d ( I , d ) 0,25 0,25 Yêu cầu toán trở thành: R d R d d d 12 2 2 2 2 0,25 b (4a 3b) (2a 3b) 2 12 b ab a b2 a b2 b 3a *b=0 ,chọ a=1,suy pt d là:x-2=0 *b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy pt d l:x-3y+7=0 0,25 S a, SA vuông góc với mp(ABCD) nên SA vuông góc với AB AD Vậy tam giác SAB SAD vuông A Lại có SA vuông góc với (ABCD) AB Vuông góc với BC nến SB vuông góc với BC Vởy tam giác SBC vuông C Tương tự tam giác SDC vuông D b, Ta cã BM =x nªn CM = a- x 0,25 AKD DCM ˆ 900 , DAK ˆ CDM ˆ DCM ˆ ) (v× cã AKD AK AD AD AK DC DC DM DM = a2 x 2ax 2a 2 0,25 0,25 A 0,25 D K 0,25 0,25 B M C 0,25 0,25 Tam giác SAK vuông A nên 0,25 x 2ax 3a SK SA AK a x 2ax 2a 2 0,25 SK nhá nhÊt vµ chØ AK nhá nhÊt K O x SK nhá nhÊt 0,25 a 0,25 -HÕt Ghi chó: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa - Chỉ chấm hình học sinh vẽ hình đầy đủ xác DeThiMau.vn ...®¸p ¸n thi chän häc sinh giái líp 11 cÊp trường năm học 2012 -2013 Sở GDĐt hoá Trường THPT trần phú Môn : Toán C âu Câ u1 §¸p ¸n §iĨ m 0,25 x x 2013 2013 ĐK x 2013 Đặt t x 2013 ( víi... 2013 ( víi t t 0) t x 2013 t x 2013 Ta cã hÖ PT: 0,5 x t 2013 ( x t )( x t 1) 2 t x 2013 0,5 + Víi x +t =0 ta t = -x x 2013 x Giải ta x 8053 lµ nghiƯm... -HÕt Ghi chó: - Nªó học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa - Chỉ chấm hình học sinh vẽ hình đầy đủ xác DeThiMau.vn