THÔNG TIN TÀI LIỆU
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VỊNG ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2012 – 2013 Mơn thi: TỐN (Đề gồm trang) Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.0 điểm ) Rút gọn biểu thức sau: x x P 1 x 1 x x 1 1 x a b c Rút gọn P Tính giá trị P x Chứng minh: P Bài 2: (2.0 điểm) Giải phương trình a Cho x 90o Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến: sin x cos6 x 3sin x cos x tan x cos x cotan x sin x b Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x 19 Bài 3: (2.0 điểm) a Cho số nguyên dương: a1; a2 ; a3; ; a2013 cho: N = a1 a2 a3 a2013 chia hết cho 30 Chứng minh: M = a15 a25 a35 a2013 chia hết cho 30 2 b Cho x; y thỏa mãn: x y x y Chứng minh: x y 10 Bài 4: ( 2,5 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a Trên cạnh AB lấy điểm N, CN cắt đường thẳng DA E Đường thẳng qua C vng góc CN C cắt đường thẳng AB F Diện tích tứ giác ACFE a a Chứng minh: N trung điểm AB b Tính CF theo a Bài 5: (1,5 điểm) Cho đường tròn cố định (O; R) qua đoạn thẳng BC cố định Điểm M di chuyển đường trịn (O), M khơng trùng với B; C Gọi G trọng tâm tam giác MBC Chứng minh điểm G di động đường tròn cố định Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… ThuVienDeThi.com Bài Ý a HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI MƠN: TỐN Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Nội dung cần đạt ĐK: x 0; x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 74 x 2 b 0.5 c 0.5 2a 1.0 1 3 2 2 x x 1 1 P x 1 x 1 P x x x x ; mà x không thuộc TXĐ Dấu “=” xẩy khi: x x Vậy P 0.25 0.25 P 0.25 0.25 0.25x4 sin x cos6 x 3sin x cos x tan x cos x cotan x sin x sin x cos x sin x os c x sin x cos6 x 3sin x cos x(sin x cos x) 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos x Giá trị biểu thức không phụ thuộc giá trị x 2.0 x y x 19 2( x x 1) 3(7 y ) 2( x 1) 3(7 y ) 3(7 y ) y y số nguyên lẻ 2b 1.0 2.0 0.25x4 x x x x (2 x 1) x x P 1 x 1 x x x 1 x 1 1 x (1 x ) x 1,0 2.0 Điểm 3a 1.0 0.25 Mà x 1 y y HS tìm y thay vào tìm x để tìm cặp nghiệm: (2; 1); (2; -1); (-4; 1); (-4; -1) 0.25 0.25 0.25 - HS lập luận: a15 a1 a1 (a1 1)(a1 1)(a12 1) chia hết cho có tích số tự nhiên liên tiếp - HS lập luận: a15 a1 a1 (a1 1)(a1 1)(a12 1) chia hết cho (Chia trường hợp để xét: a1 5k ; a1 5k 1; a1 5k ) 0,25 0.25 Mà (5; 6) = nên a15 a1 30 Xét tương tự suy được: a15 a1 a25 a2 a35 a3 a2013 a2013 30 Hay a15 a25 a35 a2013 - a1 a2 a3 a2013 30 M N 30 Theo giả thiết: N 30 M 30 ThuVienDeThi.com 0.5 x y x y x x y y ( x 1) ( y 2) 3b 1.0 Vận dụng BĐT Bunhiacopski ta có: 0,25 ( x 2( y 2)) (12 22 ) ( x 1) ( y 2) 25 0,5 x 2( y 2) 25 x y 10 0.25 E B A F N D 4a 1,5đ 4b 1,0 1,5 C Gọi độ dài BN = b ( Với < b < a) C/m được: CBF = CDE (g-c-g) CF = CE S ACFE 2( S EAC S ECF ) EA.CD CE.CF a.EA CE (1) EA AN EA a b a ( a b) EA (2) Vì AN // DC nên áp dụng Talet: ED DC EA a a b a ( a b) Suy ra: DE = EA + AD = +a b a4 Áp dụng định lý Py ta go vào DEC ta có CE2 = CD2 +DE2 = a2 + (3) b Từ (1),(2),(3) suy a ( a b) a 2b a a ( a b) 2SACEF = + b b2 b2 a ( a b) Do SACEF = 3SABCD = 3a2 2b a2 +ab -6b2 = HS lập luận giải: a = 2b Vậy điểm N trung điểm AB a4 a4 Theo c/m trên: CF = CE mà theo (3) CE2 = a + a 5a b a2 CF a Lấy N trung điểm BC Trên NO lấy H cho NH NO (1) M (O) cố định, BC cố định nên H cố định ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5x2 0.5 0.25 Theo tính chất trọng tâm: NG NM (2) 1 Từ (1) (2): NHG NOM HG OM R 3 H cố định HG R Vậy G chạy đường tròn (H; R/3) ThuVienDeThi.com 0,25 0,5 ... ta có CE2 = CD2 +DE2 = a2 + (3) b Từ (1), (2) ,(3) suy a ( a b) a 2b a a ( a b) 2SACEF = + b b2 b2 a ( a b) Do SACEF = 3SABCD = 3a2 2b a2 +ab -6b2 = HS lập luận giải: a = 2b Vậy... 3b 1.0 Vận dụng BĐT Bunhiacopski ta có: 0 ,25 ( x 2( y 2) ) ( 12 22 ) ( x 1) ( y 2) 25 0,5 x 2( y 2) 25 x y 10 0 .25 E B A F N D 4a 1,5đ 4b 1,0 1,5 C Gọi độ... 1,0 2. 0 Điểm 3a 1.0 0 .25 Mà x 1 y y HS tìm y thay vào tìm x để tìm cặp nghiệm: (2; 1); (2; -1); (-4; 1); (-4; -1) 0 .25 0 .25 0 .25 - HS lập luận: a15 a1 a1 (a1 1)(a1 1)(a12
Ngày đăng: 31/03/2022, 23:26
Xem thêm: