THÔNG TIN TÀI LIỆU
đề thi học sinh giỏi cấp huyện Lớp: (Năm học 2004 -2005) Môn: Toán Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề ) Câu 1:(2 điểm) x7 cho biĨu thøc: A = x 1 a) Rót gän A b) BiÕt x = - , Tính giá trị A Câu2: ( điểm) a) Giải phương trình: x2 ( x+ 2y) - y2( y+ 2x) = 1991 Víi x,y N C©u3: (2 ®iĨm) Cho ax3 = by3 = cz3 vµ Chøng minh: 2 2 x y z b y2 a x2 c z2 a b c Câu 4: ( điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Các điểm C, D di chuyển nửa đường tròn cho gãc COD = 900 ( cung AC < cung AD ) Gọi E giao điểm đường thẳng AC, BD a) Tìm quỹ tích điểm E b) Gọi I, K giao điểm thứ hai ®êng trßn cã ®êng kÝnh CD víi AE, BE Chøng minh r»ng IK // AB c) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa IK, CMR: M lµ trung ®iĨm cđa OE Câu 5: ( điểm ) Chứng minh rằng: 1 100 DeThiMau.vn 10 đáp án Câu 1: (2đ) a) Rút gän A= A= = x x x x x 1 x x §K = (0,5®) ( x 6) x V× x ( x 6) 60 (0,5®) b) x = - cã x - = - - = - = 3- 2.2 +22 (0,5®) = ( -2)2 A= (2 3) 2 + =2 - + (0,5đ) Câu 2: giải phương trình (x,y N) X2( x + 2y) - y2( y+ 2x) = 1991 (1) (1) ( x3 - y3) + ( 2x2y - 2y2x) = 1991 ( x-y) (x2 +3xy +y2) =1991 (2) (0,5đ) Từ (2) x - y nguyên dương (do x,y N x - y nguyên dương Nếu x2 +3xy +y2 = ( x - y)2 + 5xy ( x - y)2 x - y (0,5®) Ta có ước nguyên dương 1991 1,11,181, 1991 (2) x xy x y 1 (3) x xy Hc (4) x y 11 y 1991 y 181 (0,5®) HƯ PT (3) V« nghiƯm HƯ PT (4) cã nghiƯm x = 12, y = (t.m) VËy nghiƯm cđa hƯ PT lµ x = 12, y = DeThiMau.vn (0,5đ) Câu3: Ta có = by ax a x3 x bx y = a x3 x cz 2 cz z a a a x3 ( a x2 a x3 x x by y y by cz z ) z cz (0,5đ) x Tương Tự: 3 b by a x2 y a 3b = 3 c a x2 ; by cz ( c a x2 by cz z (0,5®) 1 ) x y z a x by cz V× ( cz (0,5®) 1 ) 1 x y z a x2 by cz a b c ( ĐPCM) Câu 4:(3 điểm) tìm quỹ tích điểm E , BCE vuông t¹i C gãc CBE = gãc COD = 450 gãc CEB = 450 E thc cung chøa gãc 450 giíi h¹n cung PQ tõ P vµ Q (AP AB ; BQ AB) b) gãc OKD = gãc OCD = 450 = gãc AED ( cïng ch¾n cung OD) OK // AE gãc K1 = I1 (1) l¹i cã: gãc K1 = gãc C1 ( tg OKIC néi tiÕp ) (2) gãc c1 = gãc A ( COA c©n ) (3) DeThiMau.vn (0,5®) Tõ : (1),(2),(3) IK//AB c) Theo chứng minh : OK // AE chứng minh tương tự OI // BE OIEK hình bình hành trung điểm IK trung điểm OE ( ĐPCM) Câu 5: Ta có 1 100 100 100 1 (0,5®) 100 100 100 100 10 (ĐPCM) DeThiMau.vn (0,5đ) đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn : Toán Thời gian: 150 phút Câu 1: (2điểm) phân tích phân thức thành nhân tử a) x3 - x2 - b) TÝnh A = x14 - 10 x13 + 10x12 - 10x11 + + 10x2 - 10x + 10 ( với x = 9) Câu 2: ( 2điểm) Cho biÓu thøc: P = ( a a a 1 ) a a 1 a a) Rút gọn P b) Tìm a để P nguyên Câu 3: (2 điểm) a) Cho đa thức : A(x) = a2x3 3ax2 - 6x -2a ( a Q) Xác định a cho A(x) (x+1) b) t×m x,y cho 2x2 + y2 + 2xy - 6x - 2y + = C©u 4: ( 3điểm) Cho hình bình hành ABCD , đường thằng qua đỉnh A hình bình hành cắt BD, BC, DC theo thø tù ë E,K,G Chøng minh r»ng a) AE2 = EK EG b) 1 AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí qua A tích BK DG có giá trị không đổi Câu 5: Rót gän biĨu thøc A= 22 32 42 DeThiMau.vn n2 n đáp án + thang điểm Câu 1: (2đ) a) x3 - x2 - = x3- + - x2 = ( x3 - 23) - (x2 - 22) = ( x - 2) ( x2 +2x + 22) - ( x - 2) ( x + 2) = ( x - 2) ( x2 +x + 2) b) A = x14 - ( x+1)x13 +( x+1)x12 - ( x+1)x11 + +( x+1)x2 - ( x+1)x +( x+1)x = x14 - x14 - x13 + x13 + x12 - x12 - x11 + - x2 - x + x + = Câu 2: (2đ) Làm phần cho điểm a) Rút gọn : P = ( P= = a a a 1 ) a a 1 a §K: a 1; a ( a 2) (a - 1) - ( a 2) (a 1) a ( a 1) (a - 1) a 2a a 1 a a 1 b) P Nguyªn nguyªn a - ¦(2) a 1 a-1 1; ) + NÕu a - 1= -1 a = ( lo¹i) + NÕu a - 1= a = (t/m) + NÕu a - 1= -2 a = -1 ( lo¹i) + NÕu a - 1= a = ( t/m) Câu 3: (2đ) a) Chia đa thức A(x) cho (x+1) được: A (x) = (x+1) [ a2x2 + (3a - a2)x -( + 3a - a2)] + (- a2 + a + 6) §Ĩ A (x) (x-1) sè d - a2 + a + = a =-2 ; a = b) x2 + 2xy + y2 - 2( x+ y) +1 + x2 - 4x + = [( x+ y)2 - 2( x+ y) +1] + (x - 2)2 ( x + y- 1)2 + ( x - 2)2 = DeThiMau.vn x y 1 x 0 ( x y - 1) V× x, y 0 x ( x 2) x2 y 1 A Câu 4: (3 điểm) B D C G K a) Chøng minh: AE2 = EK EG Ta cã CD // AB (gt ABCD hình bình hành) AEB đồng dạng với GED AE EB EG ED (1) (0.5đ) Tương tự từ AD // BC DAE đồng dạng với BEK ( BK //AD) AE ED EK BK Tõ (1) vµ (2) (2) AE EK EG AE AE2 = EK EG (§PCM) b) Ta cã AED đồng dạng với KEB hay AE ED AE KE ED EB hay AE ED KE EB AE ED AK BD T¬ng tù : AEB đồng dạng với GED AE EB AE EB Hay AE EG AE ED EG BD Tõ (2),(3) Hay AE( (0.5®) (2) AE EB hay GE ED (3) (0.5®) ED EB BD AE AE ED EB = = 1 AK AG BD BD BD BD 1 1 + ) = 1 + = AK AG AK AG AE DeThiMau.vn (ĐPCM) (0.5đ) c) Ta cã DG ED BK EB vµ AB EB AD ED DG BK ED EB 1 AB AD EB ED (0.5®) DG BK = AB AD = const ( AB,AD Không đổi) (ĐPCM) Câu5: (1điểm) Ta có A = ( n 1) (n 1) 1.3 2.4 3.5 2 n2 = 1.2.3.4 (n 1) 3.4.5 n( n 1) 2.3.4 n 2.3.4 n = n 1 n n 2n (0.5®) (0.5®) DeThiMau.vn (0.5®) đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp: (Năm học 2004 -2005) Môn: Toán Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề ) Câu 1: (2 điểm) cho biÓu thøc B = y - 5x y + 6x2 a) Rút gọn tính giá trị B cho x = - 18 ;y= 4 b) Tìm cặp số (x,y) thoả mÃn đồng thời ®iỊu kiƯn sau: x- y +1 = vµ B=0 Câu 2:(2 điểm) Giải phương trình (6x + 5y)2(3x + 2) (x + 1) = 35 Câu3:(2điểm) DeThiMau.vn Chứng minh r»ng a + bc b + ac c > ( Với a,b,c > 0) ab Câu 4: Trên đường kính AB đường tròn tâm 0, lấy hai điểm T S đối sứng qua 0, lấy điểm M đường tròn cho MA < MB , đường thẳng MT,MO,MS cắt đường tròn C,E,D đường thẳng CD cắt đường thẳng AB F Qua D kẻ đường thẳng // với AB cắt ME MC L,N a) Chứng minh LN = LD b) Hạ OH CD chứng minh HNDE tứ giác nội tiếp c) Chứng minh EF tiếp tuyến đường tròn tâm O Câu 5: (1đ) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y + 2033 đáp án (ĐK: y 0) Câu 1: (2®) a) B = y - 5x y + 6x2 = y ( y - 2x) - 3x y x = ( y - 2x) ( y - 3x ) Ta cã : y = 18 4 = (0.5) 18(4 ) 18(4 ) = 16 = - = ( -1)2 y = -1 VËy B = [( - 1) + 2.2 22 ] [ -1 + ] = 3 x b) Theo bµi ta cã x 1 y Gi¶i hƯ (1) cã x 1 y 9 Gi¶i hƯ (1) cã y y 1 (1) Hc 2x (t/m) (t/m) DeThiMau.vn x y (0.5) y 1 (2) 3x (0.5) VËy cặp số thoả mÃn đề là: x =1; y = vµ x = ; y = (0.5) Câu 2: (2đ) Giải PT (6x + 5)2 (3x + 2y) (x + 1) = 35 (1) (36x2 + 60x + 25) (3x + 2) (x + 1) = 35 [12(3x2 + 5x + 2) + 1] (3x2 + 5x + 2) = 35 (2) Đặt: 3x2 + 5x + = t (0.5) (3) (2) víi (12t + 1) t = 35 12t2 + t - 35 = PT nµy cã t1 = ; t2 = (0.5) ThÕ t = 35 vào (3) ta được: 9x2 + 15x + = PT nµy cã nghiƯm: x1 = x2 = 15 189 21 ; 18 15 189 21 18 (0.5) ThÕ t = - vµo PT (3) cã 12x2 + 20x +15 = ( PT vô nghịêm = 102 - 12 15 = - 80 nên theo bất đẳng thức c«si ta cã bc bc ab c 1 1 a a a a b c 2a bca DÊu "=" xÈy T¬ng tù cã: (1) (0.25®) bc hay a = b+ c a b 2b (2) ac bca c 2c ab bca (3) (0.25®) Céng tõng vÕ cđa (1), (2),(3) ta ®ỵc DeThiMau.vn a b c + + ( a + b + c>0 ) b c ac b a (0.25®) b c a dÊu "=" xÈy a b c a + b + c = ( vô lý, a + b + c > 0) a c b không xẩy dấu"=" Vậy a b c + + > ( §PCM) b c ac b a (0.25đ) Câu4: (3điểm) Chứng minh LN = LD Ta cã: ND // TS NL // TO LD//OS theo định lý talét ta có TO OS MO ( v× cïng = ) NL LD ML mà TO = OS NL = LD (ĐPCM) (0.5) (0.5) b) ta cã OH CD (gt) HC = HD (1) LN = LD (2) Tõ (1) vµ (2) LH đường trung bình CDN LH // CN hay LH // MC (0.5) CME = HLE (đồngvị) DeThiMau.vn Mà CME = CDE ( Cïng ch¾n cung CD) HLE = HDE tø giác HLDE nôi tiếp c) HLDE nôi tiếp HEL = HDL (cïng ch¾n cung LH ) (0.5) (0.5) mà HDL = HFT ( đồng vị) ,dođó OEF = OHF = 900 EF tiếp tuyến đường tròn (O) (0.5) Câu5: (1đ) P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y +2033 = x2 - 6xy + 9y2 -12y + 4x +4 + x2 - 10x +25 +2004 = ( x -3y + 2)2 + ( x -5)2 + 2004 2004 ( v× ( x -3y + 2)2 x,y ; vµ ( x -5)2 x x x y y x5 dÊu "=" xÈy x 5 VËy P = 2004 y đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn : Toán Thời gian: 150 phút Câu1: (2điểm) Tính cách hợp lý nhÊt a) p = 1 1 1 1 + + + + + + + + 20 30 42 56 72 90 110 132 156 b) Q = 18.123 9.4567.2 3.5310.6 10 52 55 58 490.10 Câu2: (2 điểm) DeThiMau.vn (0.5đ) a) cho phân số 537 hÃy tìm số tự nhiên cho lấy tử số trừ số ®ã vµ 463 lÊy mÉu sè céng víi sè ®ã phân số b) tìm x biÕt : 360 : [41 - (2x-5)] =22 Câu 3: (2đ) a) cho biết (3a + 2b) 17 (a,b N ) Chøng minh (10 a + b) 17 b) chøng minh 88 +220 17 Câu4: Trên đường thẳng xy ta lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ x,y ta vẽ tia Om On a) kể tên góc hình b) gi¶ sư gãc xOm = 500 , yOn = 700 h·y chøng tá r»ng tia Om n»m gi÷a hai tia Ox On Tia On nằm hai tia Oy Om c) Tính số đo góc mOn Câu 5: Cho M = 2! 2! 2! 2! 3! 4! 5! n! ( Víi n > 3) Chøng tỏ M < đáp án Câu1: (2 điểm) P= = 1 1 4.5 6.5 6.7 11.12 12.13 1 1 1 1 5 6 12 13 b) Tư sè cđa Q = 18.123 + 18.4657 +18.5310 = 18(123 + 4657 + 5310) = 18.10 000 = 180 000 MÉu sè Q = + + + 10 + 52 + 55 + 58- 49.10 = (1 58)20 = 590 - 490 = 100 (v× tõ dÉy 1,4,7 ,58 cã 20 sè ) DeThiMau.vn VËy Q = 180 000 1800 100 C©u 2: (2 điểm) a) gọi số tự nhiên phải tìm lµ a theo bµi ta cã 537 a 463 a 9( 537 - a ) = (463 + a) 10a = 4370 a = 437 b) t×m x 360 : [41 - ( 2x -5)] = 22.5 41 - (2x -5) = 360 : 20 41 - (2x -5) = 18 2x -5 = 41 - 18 2x -5 = 23 2x = 28 x = 14 Câu 3: (2 điểm) a) Ta cã: 3a + 3b 17 10(3a + 2b) 17 10a + 20b 17 (1) mµ 17b 17 (2) (30a + 20b) -17b 17 hay (30a + 20b) 17 3(10a b) 17 10a b 17 17b 17 ( §PCM) b) chøng minh: 88 + 220 17 ta cã 88 + 220 = (2 ) + 220 = 224 + 220 = 220 (24 + 1) = 220 17 17 c©u 4: ( điểm) DeThiMau.vn a) có góc hình vẽ lµ gãc xOm, gãc xOn, gãc xOy, gãc mOn, gãc mOy, gãc nOy b) ta cã xOn + nOy = 1800 mà nOy =700 nên xOn = 1100 Trên nửa mặt phẳng bờ chưa tia Ox có hai tia Om vµ On Mµ xOm < xOn (500 < 1100 ) nên tia Om nằm hai tia Ox On Ta có yOm + mox =1800 mà mOx =500 Nên yOm = 1300 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy cã hai tia On, Om Mµ yOn < yOn (700 (0.5) ( x y ) 31 6( x y ) 31 (6x + 11y) +31y 31 (6x + 11y) 31 (do 31y 31) VËy (6x + 11y) 31 ( x y ) 31 (0.5) b) ) ta cã 89 - 224 =(23)9 - 224 = 227 - 224 (0.5) = 224(23 -1) = 224 (0.5) (ĐPCM) Câu3: ( 2điểm) Từ đầu ta có x y z x yz x y z (1) y z x z x y 2( x y z ) +) NÕu (x + + y + z) = x = y = z = [do(1)] +) NÕu (x + + y + z) Tõ(1) (0.5) x y z x yz y z 1 x z x y DeThiMau.vn x y z y z x x z y y y2 z z 3 x x 1 y= 3x = 2 x= (0.5) z=2 VËy +) NÕu (x + y + z) = x = y = z = +) NÕu (x + y + z) x = 5 ,y = , z = 6 (0.5) Câu4: (3điểm) a) ta có F1 = A1 ( góc có cạnh tương øng vu«ng gãc) (0.25) AFN = CAH ( F1 = A1 ; AF = AC (gt) vµ N = H = 900 ) AN = HC (1) T¬ng tù: BAH = EAM AH = EM (2) (0.5) Tõ (1),(2) AN + AH = HC + EM Hay NH = HC + EM (§PCM) (0.5) b) Ta cã EM = AH , AH = NF ( ANC = ANF) EM = NF EMN = FMN (c.g.c) M1 = N1 mµ M1 , N1 ë vị trí so le EN // FM Câu5: (1điểm) DeThiMau.vn (0.5) (ĐPCM) (0.5) ... DeThiMau.vn Họ tên : Lê xuân hiền đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Đơn vị : Trường THCS Nghĩa Trung - Việt yên Lớp: (Năm học 2004 -2005) Môn: Toán Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề ) Câu... 1) 2.3.4 n 2.3.4 n = n 1 n n 2n (0.5®) (0.5®) DeThiMau.vn (0.5®) ®Ị thi häc sinh giỏi cấp tỉnh Lớp: (Năm học 2004 -2005) Môn: Toán Thời gian: 150 phút ( không kể chép ®Ị ) C©u 1: (2... 5: Ta cã 1 100 100 100 1 (0,5®) 100 100 100 100 10 (ĐPCM) DeThiMau.vn (0,5đ) đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn : Toán Thời gian: 150 phút Câu 1: (2điểm) phân tích phân thức thành
Ngày đăng: 31/03/2022, 10:58
Xem thêm: