Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức A= a Rút gọn biểu thức A. b So sánh A và Bài 2: (2 điểm) a Phân tích đa thức thành nhân tử: 24x3 26x2 + 9x 1 b Chứng minh rằng: với x, y 0 Bài 3: (2 điểm) Cho hệ phương trình:
UBND HUYỆN NGỌC HỒI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán Thời gian: 14/02/2012 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI: (Đề thi này có 01 trang) Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức A= 2 ( x y) x x y y x y . x y x x y y x y + − − − ÷ ÷ − + − a/ Rút gọn biểu thức A. b/ So sánh A và A Bài 2: (2 điểm) a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: 24x 3 - 26x 2 + 9x - 1 b/ Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4x y x y 3 (x y ) y x + + ≥ + với x, y ≠ 0 Bài 3: (2 điểm) Cho hệ phương trình: 1 m 2 x 1 y 2 2 3m 1 y 2 x 1 + = − − − = − − a/ Giải hệ phương trình với m = 1 b/ Tìm m để hệ đã cho có nghiệm. Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC có µ A = 90 0 , đường cao AH. Gọi D, E lần lượt theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh các hệ thức: a/ 2 2 AB HB AC HC = b/ DE 3 = BD.CE.BC Bài 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E, F sao cho : AE + EF + FA = 2a. a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định . b/ Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích ∆ CEF lớn nhất Hết ĐỀ CHÍNH THỨC UBND HUYỆN NGỌC HỒI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán (Bản hướng dẫn gồm 03 trang) Bài Nội dung Điểm 1 4.0 1a Điều kiện để A có nghĩa là x ≥ 0, y ≥ 0 ; x ≠ y 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x y x y ( x y ) ( x y)(x xy y) A . x y ( x y)( x y) x y x xy y − + + − + + = − − − + + − + 0,5 x y x xy y A . x y x xy y x y + + + = + − − + + 0,5 2 x y ( x y) (x xy y) A . x xy y x y + + − + + = − + + 0,5 xy x xy y = − + 0,25 1b Vì x ≥ 0; y ≥ và x≠y nên 2 ( x y)− >0 x xy y xy 0⇒ − + > ≥ 0,5 Do đó : 0 ≤ A = xy xy 1. x xy y xy < = − + hay 0 ≤ A<1 0,5 Ta có : A - A A( A 1) 0= − ≤ Vậy A A≤ 0,5 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=0 ⇔ x=0 hoặc y = 0 0,5 2 4,0 2a 24x 3 -26x 2 +9x-1 = 24x 3 - 12x 2 -14x 2 + 7x + 2x - 1 0,5 = 12x 2 (2x-1) - 7x(2x-1) + (2x-1) 0,25 = (2x - 1)(12x 2 - 7x + 1) 0,25 = (2x - 1)(12x 2 - 4x - 3x + 1) 0,25 = (2x - 1)[4x(3x - 1) - (3x - 1)] 0,25 = (2x - 1)(3x - 1)(4x - 1) 0,5 2b Đặt A = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4x y x y (x y ) y x + + + Sử dụng (a - b) 2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab 0,5 C/m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2xy x 2xy x 4x 2. . x y y x y y x y + ≥ = ÷ + + + 0,5 Tương tự 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2xy y 4y x y x x y y x + ≥ + ≥ ÷ + + 2 2 x y ; 2 0,5 Ta có: 2.A 2 2 2 2 4(x y ) 2 6 x y + ≥ + = + ⇒ A ≥ 3 Vậy BĐT được C/m, xảy ra dấu bằng "=" khi x = y 0,5 3 . 4,0 3a Điều kiện: x 1 y 2 ≠ ≠ Đặt: 1 u x 1 1 v y 2 = − = − Điều kiện u 0 v 0 ≠ ≠ 0,5 Ta có hệ phương trình: u mv 2(1) 2v 3mu 1(2) + = − = 0,5 Với m = 1 ta có 3 u u v 2 5 2v 3u 1 7 v 5 1 3 8 x x 1 5 3 1 7 19 y y 2 5 7 = + = ⇔ − = = = = − ⇒ ⇔ = = − 0,5 Vậy với m = 1, hệ phương trình có nghiệm là 8 x 3 19 y 7 = = 0,5 3b Từ (1) u 2 mv⇒ = − . Thế vào (2) ta có: 2 2 2 2 2 2v 6m 3m v 1 (3m 2)v 1 6m 1 6m v , m R 3m 2 1 6m 4 m u 2 m( ) 3m 2 3m 2 − + = ⇔ + = + + ⇔ = ∀ ∈ + + − ⇒ = − = + + 1,0 Để hệ có nghiệm thì m 4 u 0 4 m 0 1 v 0 1 6m 0 m 6 ≠ ≠ − ≠ ⇔ ⇔ − ≠ + ≠ ≠ 0,5 Vậy với m 4 1 m 6 ≠ − ≠ thì hệ phương trình có nghiệm 0,5 4 4,0 4a E D H C B A Ta có: AB 2 = BH.BC 0,5 AC 2 = CH.BC 0,5 ⇒ 2 2 AB HB AC HC = 0,5 4b Ta có: AH 2 = HB.HC ⇒ AH 4 = HB 2 .HC 2 (1) 0,5 Trong tam giác vuông AHB có HB 2 = BD.AB Trong tam giác vuông AHC có HC 2 = EC.AC 0,5 Thay HB 2 , HC 2 vào (1) ta được AH 4 = BD.AB.EC.AC = BD.EC.BC.AH ⇒ AH 3 = BD.EC.BC 0,75 Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên các đường chéo AH = DE Suy ra DE 3 = BD.EC.BC 0,75 5 4,0 5a K H F E D C B A Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF , Vẽ CH ⊥ EF , H ∈ EF . 0,5 ∆ DFC = ∆ BKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 90 0 ; DC = BC ) ⇒ CF = CK . 0,5 Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA = EB + FD = EB + BK = EK. Do đó ∆ CEF = ∆ CEK ( c.c.c) Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau và bằng a 0,5 CH không đổi , C cố định , CH ⊥ EF ⇒ EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định ( C, a). 0,5 5b ∆ HCF = ∆ DCF ( H = D = 90 0 ; CF chung; CH = CD = a ) ⇒ S HCF = S DCF . Chứng minh tương tự ta có : S HCE = S BCE do đó S HCF + S HCE = S DCF + S BCE 0,5 ⇒ S CEF = 1 2 S CDFEB ⇒ S CEF = 1 2 ( a 2 – S AEF ) S AEF ≥ 0 ⇒ S CEF ≤ 1 2 a 2 0,5 Dấu “ =” xảy ra ⇔ S AEF = 0 ⇔ E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D . 0,5 Vậy E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D thì S CEF đạt giá trị lớn nhất . 0,5 Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa phần đó. . HỒI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán Thời gian: 14/02/2012 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI: (Đề thi này. TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán (Bản hướng dẫn gồm 03 trang) Bài Nội dung Điểm 1 4.0 1a Điều kiện để A có nghĩa là x ≥ 0,