Trường THCS Đoàn Thượng Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp Năm học 2010-2011 Môn : Toán Câu 1:(1,5 điểm) Cho a Z , chứng minh r»ng a5- a chia hÕt cho 30 x2 x x x 2x 1 C©u : (2 ®iĨm) Cho P = x x 1 x x 1 a Rót gän P b.T×m giá trị lớn P x c Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị số nguyên P Câu 3:(2 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có cạnh a , b , c Kẻ đường cao AD Kẻ DE , DF tương ứng vuông góc với AB AC Đặt BE = m; CF = n ; AD = h Chøng minh r»ng : m c a) b) 3h2 + m2 + n2 = a2 n b Câu 4(3 điểm): Giải phương trình : a x x x b x x x 12 x 38 c x 1 x x x C©u 5(2 điểm) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mÃn đẳng thức sau : a xy x y = b y x x y x y xy C©u 6:(1,5 điểm) Cho a,b,c độ dài ba cạnh mét tam gi¸c a b c a c b Chøng minh r»ng : 1 b c a c b a Câu (1,5 điểm) Cho đường thẳng (d1): y = m x m víi m 1 (d2): y = x (d3): y = x a Chøng minh r»ng m thay đổi d1 qua điểm cố định b Chøng minh r»ng (d1) // (d3) th× (d1) (d2) c Xác định m để đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy Câu 8(3 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O,) tiếp xúc A Gọi AB đường kính đường tròn (O), AC đường kính đường tròn (O,) , DE tiếp tuyến chung hai đường tròn D thuộc (O), E thuộc (O,), K giao điểm BD CE a) Tứ giác ADKE hình ? ? b) CMR: AK lµ tiÕp tun chung cđa hai đường tròn (O) (O,) c) Gọi M trung ®iĨm cđa BC CMR: MK DE C©u (2 ®iĨm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x x x 12 x x2 x4 x2 Câu 11 (1,5 điểm) Cho đường tròn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC CMR: IA+IB+IC 6r b) Tìm giá trị lớn biểu thức P= .** * ThuVienDeThi.com Đáp án đề Câu 1: (1,5 ®iĨm) a5-a = a(a4-1) = a(a2-1)(a2+1) = a(a-1)(a+1)(a2-4+5) = a(a-1)(a+1) a a 5= a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) (0.5đ) Hạng tử thứ chia hết cho tích năm số nguyên liên tiếp H¹ng tư thø hai cịng chia hÕt cho ®ã : a5-a (0.25®) Ta thÊy: a5-a = a(a-1)(a+1)(a2+1) Do (a-1)a(a+1) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho , tức chia hết cho (2,3) = (0.5®) 5 a -a võa chia hÕt cho , vừa chia hết cho mà (5,6) =1 nên a -a 30 (0.25đ) Câu (2 điểm) Câu a ,c câu 0,75 điểm, câu b 0,5 điểm a) Điều kiện để P có nghĩa x > 0, x (0,25®) x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 P= (0,25®) x x 1 x x 1 = x x 1 x 1 x x x 1 (0,25®) 1 3 b) P = x- x +1= x 2 4 P đạt GTNN x= 4 x x 2 c)Q = P x x 1 x 1 M x Víi x > vµ x áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương M= x 1 Q x Tìm Q nguyên Q = x (0,25®) (0,25®) A F BD c m.c c m c c DC b n.b b n b b (0,25đ) 73 Câu (2 điểm) Mỗi câu điểm a) c c c BD.a c BD c b b b DC.a b DC b (0,5®) E B h m D c m n b b) a = (BD + DC)2 = BD2 + BD.DC + DC2 = m.c +2h2 + n.b = m(EA + m) + n(AF + n) +2h2 = m2 + n2 +2h2 + m.EA +n.AF = m2 + n2 + 2h2 + ED2 + FD2 = m2 + n2 +2h2 + AF2 + FD2 = m2 + n2 + 2h2 + h2 = m2 + n2 + 3h2 (đpcm) Câu (3 điểm) câu điểm a) Đặt x x x (1) XÐt trêng hỵp : ThuVienDeThi.com n C -1 x 0: (1) x = Lo¹i -2 x < -1: (1) x=-6 Lo¹i 10 x < - 2: (1) x= x > : (1) x = (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Vậy nghiệm phương trình lµ : x = 10 ; x= 3 b) Điều kiện x áp dụng BĐT CôSi cho hai số không âm ta có 7 x x 5 x x 2 7 x Đẳng thức xảy x= x Mặt khác : x2 -12x +38 = x Đẳng thức xảy x= Vậy phương trình có nghiÖm x= c) x x 3 x 1 + (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) x 1 = (1) NÕu x < th× x = lo¹i x 10 tõ (1) 0x=0 phương trình vô số nghiệm x >10 từ (1) x = 10 loại Vậy phương trình có nghiệm x 10 Câu (2 điểm) câu điểm a) xy+3x-2y-7= (x-2)(y+3)= x x 1 hc y y 1 x x Do : y y Hai cặp số cần tìm : (1;-4) vµ (3;-2) b) 2y2x +x+y+1 = x2+2y2+xy (1) 2y2(x-1) - x(x-1) - y(x-1) +1=0 V× x= nghiệm nên chia hai vế cho x-1 ta cã 2y2 - x-y+ = (2) x 1 x §Ĩ (1) nguyên phải nguyên Nên x-1 = x 1 x Thay x = vµ x= vµo (2) ta cã y nguyên y= Vậy phương trình đà cho có hai nghiệm nguyên (2;1) (0;1) Câu (1,5 điểm) Đặt ThuVienDeThi.com (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0.25đ) (0,25đ) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) M a b c a c b a b b c c a b c a c b a b a c b a c a b2 b2 c2 c2 a c a b a b c b c a ab bc ac abc ac bc ba abc (0,5®) ac b bc a M abc Vì a ,b,c độ dài cạnh tam giác nên abc ba c (0,75đ) Vậy M < (đpcm) (0,25đ) Câu (1,5 điểm) Mỗi câu 0.5 điểm a) y= (m2-1)x+(m2-5) = m2(x+1)-x-5 (0,25đ) Với m x=-1 y = -4 Vậy (d1) qua điểm cố định (-1;-4) (0,25®) m m = (d1): y = -x+5 b) V× (d1) // (d3) (0,25®) m Hai đường thẳng (d1) (d2) có (-1).1 = -1 nên (d1) (d2) (0,25đ) c) Hai đường thẳng (d2),(d3) có hệ số góc khác nên chúng cắt M Tìm toạ độ M : x+1 = -x +3 x = Vậy M(1;2) (0,25đ) Để (d1),(d2),(d3) đồng quy M d1 phải qua M m = (0,25đ) Câu 8(2,5 điểm) câu 0.5 điểm a)Theo tính chất góc tam gi¸c ta cã K 01 = B O1' = C Mµ 01 + 0ˆ1 = 180o B + C = 90o 1 K = 90o Trong BDA cã OD = AB 2 1 o BDA vu«ng D = 90 T¬ng tù : E = 90o Tø gi¸c ADKE cã K = D = E = 90o ADKE hình chữ nhật b) Cã A1 + A2 = D1+ D2 = 90o AK BC VËy AK lµ tiếp tuyến chung hai đường tròn MKC cân t¹i M K1 = C c) B O EKD = KEA E1 = EKA Mµ C + EKA = 90oTõ ®ã : K1 + E 1= 90o C©u 9(2 điểm ) câu điểm E D MK A M ’ O DE a) x x x 12 x x x x x x x = (0,25®) (0,5®) x 1 VËy GTNN x (0,25đ) 2 2 x ThuVienDeThi.com C x2 1 x x x2 2 x 5 x x GTLN cđa P lµ x = Câu 11(1,5 điểm) Học sinh không vẽ hình không chấm điểm Đặt BC = a , AC = b, AB = c KỴ BB’ ,CC’ vu«ng gãc víi AI b) P= Ta cã : IMA AI IM c.r = IA.BB AB BB ' Tương tự b.r = IA.CC Nên: (b+c)r = IA(BB’ + CC’) IA a BB’A IA r (0,5®) A (0,5®) M r I B B’ C’ b c IB a c IC ab ; ; a r b r c IA IB IC b a b c a c r a b c b c a ThuVienDeThi.com IA+IB+IC 6r C ... C = 90 o 1 K = 90 o Trong BDA cã OD = AB 2 1 o BDA vuông D = 90 Tương tự : E = 90 o Tø gi¸c ADKE cã K = D = E = 90 o ADKE hình chữ nhật b) Có A1 + A2 = D1+ D2 = 90 o... tròn MKC cân M K1 = C c) B O EKD = KEA E1 = EKA Mµ C + EKA = 90 oTõ ®ã : K1 + E 1= 90 o Câu 9( 2 điểm ) câu ®iĨm E D MK A M ’ O DE a) x x x 12 x x x ... VËy GTNN lµ x (0,25®) 2 2 x ThuVienDeThi.com C x2 1 x x x2 2 x 5 x x GTLN cđa P lµ x = Câu 11(1,5 điểm) Học sinh không vẽ hình không chấm điểm Đặt BC = a ,