ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017 MƠN TỐN LỚP Thi ngày 08 tháng 11 năm 2016 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 120 phút, khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) - Bài (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A = 2) Cho A 3 3 3 3 x x x x x x 1 x x 1 2 a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – Tìm giá trị nhỏ biểu thức B Bài (4,0 điểm) Giải phương trình 1) Giải phương trình : x x x x x3 2) Giải phương trình: x x 12 x 3x x Bài (3,0 điểm) 1) Chứng minh với k số nguyên 2016k + lập phương số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình x 25 y ( y 6) Bài (7,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, I trung điểm CH, J trung điểm DH · = CBH · a) Chứng minh CIJ b) Chứng minh D CJH đồng dạng với D HIB c) Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD = HC2 d) Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c Chứng minh a b c bc ca ab -HẾT -Họ tên thí sinh:…………… …… …… Họ, tên chữ ký GT1:…………………… Số báo danh:……………….…… ……… Họ, tên chữ ký GT2:…………………… ThuVienDeThi.com PHÒNG GD-ĐT HUYỆN TRỰC NINH Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn thi : Tốn Nội dung Câu 3 Rút gọn biểu thức: A = Câu (1,75đ) 3 A= A= 3 2( 3) ( 1) 3 3 Điểm 3 2(3 5) ( 1) = 3 3 2( 3) 2 62 2(3 5) 0,75 2 62 2( 3) 2(3 5) 3 3 A= 2 0,5 0,5 x2 x x2 x x x 1 x x 1 a) ĐKXĐ: x A Bài (4 đ) x x3 1 x x3 x2 x x2 x A x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 Câu (2,25) x x 1x x x 1 x x x 1x x 1 x 1 0,5 x x 1 x 1 x x 1 x x x x 2 x b) B = A + x – 1= 2 x x x x x 1 2 0,5 Dấu “=” xảy x x ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN biểu thức B=-2 x=1 0,25 0,25 1) Giải phương trình : x x x x ĐKXĐ : x Câu (2đ) x3 0,25 x x 1 x x 1 Bài (4 đ) 0,25 0,5 x3 x3 x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 2 x3 x 1 1 x 1 1 x3 (*) x 1 1 x 1 1 Nếu x phương trình (*) x3 x3 x 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x 2 ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 0,25 16( x 1) x x x 10 x 25 ( x 5) x (TM) Nếu x phương trình (*) 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x=1 x=5 2) Giải phương trình: x x 12 x 3x x 0,25 Đặt u x x 12, v x 3x ( u 0, v 0) 0,25 u x x 12, v x x u v x 10 2( x 5) 0,25 0,25 0,25 x3 x3 x 1 1 1 x 1 2 x x ( TM) 2 Từ (1) 2(u v) (u v ) (u v)(u v 2) (2) Vì u 0, v , từ (2) suy ra: u v Vì x x 12 x x (3) Bình phương vế thu gọn ta phương trình Câu (2đ) x 3x x x x 3 x 3 2 2 x x x 7 x x (7 x 7) (6 x 6) x 3 ( x 1)(7 x 1) 0,25 0,5 x 3 x 1, x tm x 1, x Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= Câu (1,5đ) Bài (3 đ) 1) Chứng minh với k số nguyên 2016k + lập phương số nguyên Giả sử 2016k + = a3 với k a số nguyên Suy ra: 2016k = a3 - Ta chứng minh a3 – không chia hết cho Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r 0;1; 1; 2; 2;3; 3 Trong tất trường hợp ta có a3 – không chia hết cho Mà 2016k chia hết cho 7, nên a3 – 2016k ĐPCM 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: Câu (1,5đ) 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 x 25 y ( y 6) Từ x 25 y ( y 6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 ThuVienDeThi.com 0,25 Để ý phương trình chứa ẩn số x với số mũ , ta hạn chế giải với x số tự nhiên Khi đó: y+3+x y+3-x Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau đây: -16 = (-2) = (-4) = (-8) thừa số đầu giá trÞ (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta cã x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta cã x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta cã x= , y= -6 Vì phương trình đà cho cã c¸c nghiƯm : ( x,y) 5, ; 5, 6 ; 4, 3. 0,5 0,25 0,5 D Bài (7 đ) C E I A Câu a (1,5 đ) J H B O + Vì ABC nội tiếp đường trịn đường kính AB nên AC BC Suy BC CD (1) 0,5 + Lập luận để IJ // CD (2) + Từ (1) (2) suy IJ ^ BC · = CBH · + Suy CIJ (cùng phụ với HCB ) (3) 0,5 0,5 · +) Trong vuông CBH ta có: tan CBH = Câu b (2 đ) CH (4) BH + Lập luận chứng minh CJ // AB + Mà CH AB (gt) + Suy CJ CH · = +) Trong tam giác vuông CIJ ta có tan CIJ + Từ (3), (4), (5) CH CJ HB HI ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 CJ CJ = (CI = HI ) (5) 0,5 CI HI 900 CH CJ (cmt) + Xét D CJH D HIB có HCJ BHI HB + Nên D CJH đồng dạng với D HIB 0,5 HI 0,5 Câu c (1,5 đ) 900 + Lập luận để chứng minh HEI + Chứng minh HEI đồng dạng với HCJ HE HI + Suy HC HJ 0,5 + Suy HE.HJ = HI.HC 0,5 2 + Mà HJ HD; HI HC + Suy HE.HD = HC2 C M 450 A Câu d (2 đ) H O K B N · + Lấy điểm M nửa đường tròn (O) cho BOM = 450 + Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) M cắt AB N Ta có M N cố định + Kẻ MK AB K + Chứng minh D MON vuông cân M KM = KN Suy ANC 450 Xét C º M Ta có C º M nên H º K Do AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi) 0,5 + Xét C khác M Tia NC nằm hai tia NA NM Do ·ANC < ·ANM = 450 · + D HNC có NHC = 900 · · nên HNC + HCN = 900 · · Mà HNC < 450 nên HCN > 450 · · Suy HNC < HCN Suy HC < HN 0,5 + Do AH + CH < AH + HN = AN · = 450 + Vậy Khi C nửa đường tròn (O) cho BOC ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 AH + CH đạt giá trị lớn Chứng minh a b c bc ca ab Áp dụng BĐT Cauchy ta có a b c a b c Bài (2 đ) 0,5 a 2a bc abc Chứng minh tương tự ta b 2b c 2c ; ca abc ab abc a b c a b c 2 Suy bc ca ab abc a b c Dấu xảy b c a a b c (Trái với giả thiết) c a b Vậy dấu = không xảy suy đpcm ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 ...PHÒNG GD-ĐT HUYỆN TRỰC NINH Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn thi : Tốn Nội dung Câu 3 Rút gọn biểu thức: A = Câu (1,75đ) 3 A=... -1, x= Câu (1,5đ) Bài (3 đ) 1) Chứng minh với k số nguyên 2016k + lập phương số nguyên Giả sử 2016k + = a3 với k a số nguyên Suy ra: 2016k = a3 - Ta chứng minh a3 – không chia hết cho Thật vậy:... 0;1; 1; 2; 2;3; 3 Trong tất trường hợp ta có a3 – không chia hết cho Mà 2016k chia hết cho 7, nên a3 – 2016k ĐPCM 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: Câu (1,5đ) 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25