Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố Thanh Hóa năm học 2016 2017 môn Toán lớp 941058

PHỊNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HĨA - ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn Tốn : Lớp (Thời gian làm bài: 150 phút) - Bài 1: (5,0 điểm)  x2  x 1 x Cho biểu thức: P   Với x  0, x    : 1 x x x x x       a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P  c) So sánh: P 2P Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x, y  Z thỏa mãn: y x  x  y   x  y  xy b) Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện: 1 1 1        b c a b c a 3 Chứng minh rằng: a  b  c chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: x  20 x  25  x  x   10 x  20 b) Cho x, y số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y + Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vng góc với EF b) Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c      ab bc ca bc ca ab - Hết - Lưu ý: Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Họ tên thí sinh:- -Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: -; Chữ ký giám thị 2: ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG TOÁN NĂM HỌC 2016 - 2017 PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ Câu Ý Nội dung Điều kiện : x  0, x   x2 x  x 1 P   :  x x 1 x  x 1 1 x       a 2đ Bài 5,0đ b 2,0đ  x  x 1   : x x x 1     x 1  x2   x   x ( x  1)  ( x  x  1)   x  1x  x  x 1   x  1x   x  x 1  x 1  x 1 : x 1 2 x 1 0,5 0,5 0,5 0,5 Với x  0, x  Ta có: P 2   x  x 1 0,5  x  x 1  x x 60  ( x  2)( x  3)  1,0 x   nên x    x  (t/m) Vậy P = x = 0,25 Vì x   x  x   0 2 x  x 1 0 P2  P( P  2)  0.25 Vì c 1,0đ Điểm  P2  2P   P  2P Dấu “=” xảy P =  x = Vậy P2  2P 0,25 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com 0,25 y x  x  y   x  y  xy  y x  x  y   x  y  xy   x  1(2 y  y  x)  1 Vì x, y  Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1 A 2đ Bài 4,0đ b 2đ +) Nếu x – =  x = Khi 2y2 - y – = -  y = (t/m) 1 y = Z (loại) +) Nếu x – = -1  x = Khi 2y2 - y =  y = (t/m) 1 Z (loại) y = x  x  Vậy  ;  y   y 1 a) Từ giả thiết 1 1 1 (   )2    a b c a b c 1  2(   )  ab bc ca Vì a, b, c  nên a + b + c =  a  b  c a 2đ 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5  a  b   c  3  a  b3  3ab(a  b)  c3 Bài 4,0đ 0,5  a  b3  c3  3abc Vậy a  b3  c3 3 với a, b, c  Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà khơng chứng minh trừ 0,5 điểm Đkxđ: x  R x  20 x  25  x  x   10 x  20 Vì x  20 x  25  x  x   với x  10x – 20   x  Ta có: x  20 x  25  x  x   10 x  20 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5  x   x   10 x  20  x   x   10 x  20  x  28  x  4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm x = ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 =  x  y   7( x  y )  10   y b 2đ 0,5  ( x  y  2)( x  y  5)   y   4  x  y   1 * x + y + = - x = - 5; y = * x + y + = - x = - 2; y = Vậy Amin = - x= - 5; y = Amax = - x = -2; y = 0,5 0,5 0,5 E M A a 2đ Bài 6,0 đ B 2đ N D B F C ฀ ฀ ฀ Ta có: ECD (cùng phụ với ECB )  BCF Chứng minh được:  EDC =  FBC (cạnh góc vng – góc nhọn)  CE = CF   ECF cân C Mà CM đường trung tuyến nên CM  EF * Vì  EDC =  FBC  ED = FB  NCF vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: BC2 = NB.BF  a2 = NB.DE (đpcm) *  CEF vng C có CM đường trung tuyến nên 1.0 1,0 0,5 0.5 EF  AEF vuông A có AM đường trung tuyến nên CM  AM  EF 0.5 ThuVienDeThi.com  CM = AM  M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vng nên B, D thuộc đường trung trực AC  B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC (đpcm) c 2đ Đặt DE = x (x > 0)  BF = x SACFE = SACF + SAEF = AF  AE  CB   (AB  BF)  AE  AD   (a  x).DE  (a  x)x SACFE = 3.SABCD  (a  x)x  3a  6a  ax  x   (2a  x)(3a  x)  Do x > 0; a >  3a + x >  2a  x   x = 2a  A trung điểm DE  AE = a AN AE Vì AE //BC nên  1 NB BC  N trung điểm AB Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD Bài 1,0đ * Vì a, b, c > nên Tương tự:  0.5 0.25 0.5 0,5 0.25 a a ac 1  ab ab abc b ba  ; bc abc c cb  ca abc a b c    (1) ab bc ca * Ta có: 0.5 a a  bc a (b  c) Vì a, b, c > nên theo bất đẳng thức Cơ- si ta có: a  (b  c)  a (b  c)  2   abc a (b  c) ThuVienDeThi.com 0,5  2a a 2a a    abc abc bc a (b  c) Tương tự:  2b b  ; abc ac 2c c  abc ba a b c   2 bc ca ab Dấu ‘ =” xảy a = b +c; b = c + a; c = a +b tức a = b = c (vô lý)  a b c    (2) bc ca ab 0,5 Từ (1) (2) ta có đpcm Lưu ý chấm bài: - Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 5, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG TOÁN NĂM HỌC 2016 - 2017 PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ Câu Ý Nội dung Điều kiện : x  0, x   x2 x  x 1 P   : ... đpcm Lưu ý chấm bài: - Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 5, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm ThuVienDeThi.com ... 3ab(a  b)  c3 Bài 4,0đ 0,5  a  b3  c3  3abc Vậy a  b3  c3 3 với a, b, c  Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà khơng