TRƯỜNG THTH SÀI GÒN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học : 2016 - 2017 Mơn Tốn : Lớp Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (3,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x 5x 8x b) (x y2 5)2 4x y2 16xy 16 Bài (4,0 điểm) a) Cho hai đa thức A = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 2017; B = x 10x 21 Tìm số dư phép chia đa thức A cho đa thức B b) Cho a, b, c số thực đôi khác khác thỏa mãn: a b b2 c c2 a Tính giá trị biểu thức P = (a + b)(b + c)(c + a) Bài (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: x 3x x 1 b) Cho a > 0, b > a + b = Chứng minh 1 a 1 b 1 Bài (3,5 điểm) Cho ABC có AH đường cao(H nằm B C), AB = cm, BH = 3,6 cm, CH = 6,4 cm Trên cạnh BC lấy điểm I cho BI = BA a) Chứng minh: ABC vuông b) Chứng minh: AI phân giác góc HAC Bài (3,5 điểm) Cho ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC lấy điểm E F cho EAD Kẻ EH AB H, FK AC K FAD a) Chứng minh: AE EH AF FK b) Chứng minh: AC2 AB2 CE.CF BE.BF Bài (2,0 điểm) Hai người mua gạo Người thứ mua gạo nếp, người thứ hai mua gạo tẻ Giá gạo tẻ rẻ giá gạo nếp 20% Biết khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua nhiều khối lượng gạo nếp 20% Hỏi người trả tiền hơn? % so với người kia? HẾT ThuVienDeThi.com GIẢI TÓM TẮT Bài a) (x 1)(x 2) b) (x y2 5)2 4x y2 16xy 16 (x y2 5)2 (2xy 4)2 (x y2 2xy 4)(x y2 2xy 4) [(x y)2 9][(x y)2 1] (x y 3)(x y 3)(x y 1)(x y 1) Bài a) A (x 10x 16)(x 10x 24) 2017 (t 4)(t 4) 2017 (với x 10x 20 t) A (t 16) 2017 t 1 2002 (t 1)(t 1) 2002 B(t 1) 2002 Vậy số dư phép chia đa thức A cho đa thức B 2002 b) Với a b;b c c a , ta có a b b2 c a b2 b c (a b)(a b) b c Tương tự (b c)(b c) c a (c a)(c a) a b nên (b c)(c a)(a b) (a b)(a b)(b c)(b c)(c a)(c a) (b c)(c a)(a b) P (a b)(b c)(c a) 1 (a b)(b c)(c a) Bài a) x 3x x 1 (x 1)(x 2) x 1 (1) • Nếu x 1 x 1 , ta có: (1) (x 1)(x 2) (x 1) (x 1)(x 1) x 1 x 1 (thỏa x 1 ) • Nếu x 1 x 1 , ta có: (1) (x 1)(x 2) (x 1) (x 1)(x 3) x 1 x 1 (không thỏa x 1 ) x x Vậy nghiệm b) Với a > 0, b > a + b = a + > 0, b + > 0, ta có 1 3(b 1 a 1) 4(a 1)(b 1) 3.3 4(ab a b 1) 4ab 4ab (đúng) a 1 b 1 (do a b ab 1 4ab ) A BA 3,6 BH Bài a) • BC = 3,6 + 6,4 = 10 cm , B chung BC 10 BA BAC ~ BHA(c.g.c) mà BHA vuông H nên BAC vuông A (hoặc tính AH, AC rối dùng Pi-ta-go đảo) BIA A 1A (cùng phụ hai góc nhau) b) BAI AE EH H I C B Bài a) HAE nên AHE ~ AKF KAF AF FK A b) • Vẽ đường thẳng qua B song song với AC cắt AE, EAC AF I, J J FAC BIA FAB mà EAC FAB BIA • JAB ~ AIB(g.g) K AB JB AB2 IB JB AB2 IB.JB IB AB AC AC AC H IB BE JB BF mà nên A AC CE AC CF C B E D F AB2 BE BF AC2 AB2 AC2 CE CF CE.CF BE.BF I M Cách khác: 1 SAEB.SAFB h.BE h.BF BE.BF • (1) h K SAFC.SAEC 1 CF.CE h.CF h.CE N 2 H 1 EH.AB FN.AB S S C B E D F • AEB AFB SAFC.SAEC 1 FK.AC EM.AC 2 EH.FN.AB2 EH.FN.AB2 BE.BF (2) J , kết hợp (1) FK.EM.AC FK.EM.AC2 CF.CE ThuVienDeThi.com EH AE FN AF EH FN AE AF 1 , kết hợp ; • ANF ~ AME FK AF EM AE FK EM AF AE AB2 BE.BF AB2 AC2 (2), ta có AC CF.CE BE.BF CF.CE Bài Gọi giá tiền kg gạo tẻ x(đồng/kg)(x > 0), suy giá tiền kg gạo nếp 20 x x x (đồng/kg) 100 Gọi khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua y(kg)(y > 0), suy khối lượng gạo nếp người thứ 20 mua y y y (kg) 100 Số tiền người thứ hai mua gạo tẻ xy(đồng) số tiền người thứ mua gạo nếp 24 96 96 x y xy xy (đồng) Vì xy xy xy nên người thứ trả tiền 5 25 100 100 100 so với người thứ hai 100 • AHE ~ AKF Có sai sót, kính mong Thầy Cơ bạn thông cảm ThuVienDeThi.com ... 3)(x y 1)(x y 1) Bài a) A (x 10x 16)(x 10x 24) 2017 (t 4)(t 4) 2017 (với x 10x 20 t) A (t 16) 2017 t 1 2002 (t 1)(t 1) 2002 B(t 1) 2002 Vậy số... FK.AC EM.AC 2 EH.FN.AB2 EH.FN.AB2 BE.BF (2) J , kết hợp (1) FK.EM.AC FK.EM.AC2 CF.CE ThuVienDeThi.com EH AE FN AF EH FN AE AF 1 , kết hợp ; • ANF ~ AME FK AF EM AE FK EM AF AE... 100 so với người thứ hai 100 • AHE ~ AKF Có sai sót, kính mong Thầy Cơ bạn thông cảm ThuVienDeThi.com