Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2016 2017 môn Toán lớp 915689

PHÒNG GD-ĐT MỘ ĐỨC TRƯỜNG THCS ĐỨC MINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 MÔN TOÁN LỚP Ngày thi 13 tháng 10 năm 2016 Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao Bài 1: (4,0 điểm) 1   x 1 x Cho biÓu thøc A    2x  x  2x x  x  x  :    x 1 x x   Víi x  0; x  ; x  a) Rót gän biểu thức A b) Tính giá trị A x  17  12 c) So s¸nh A với A Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng: a)  a  b  2 b  b  c  BiÕt a; b; c lµ sè thùc tháa m·n ®iỊu kiƯn: a = b + = c + ; c >0 20162 2016 có giá trị số tự nhiên 20172 2017 b) BiÓu thøc B=  20162  Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình a) x  3x   x   x   x  2x  b) 4x   3x   x3 Bài 4.(8,0 điểm) Cho ng trũn tõm O, bỏn kính R Vẽ hai đường kính AB CD vng góc với Lấy điểm E cung nhỏ AD Nối E với C cắt OA M; nối E với B cắt OD N a) Tính CM.CE + BD2 theo R OM ON số  AM DN OM ON c) Tìm vị trí điểm E để tổng đạt giá trị nhỏ Tính giá trị  AM DN b) Chứng minh rng tớch Bài 5: (1,5 điểm) Cho M 3  2008   3  a) Chứng minh M có giá trị nguyên b) Tìm ch÷ sè tËn cïng cđa M Chó ý: ThÝ sinh không sử dụng máy tính - Hết - ThuVienDeThi.com 2008 P N Bài (4 điểm) a) Rót gän biĨu thøc (2 ®iĨm)   2x  x  2x x  x  x       A   x  0;x  ;x    :   x x  1 x x  1 x   x 2x  x   x   x  2x  x  x   :    x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x  x     x x 1 x 1  x 1  x 1 x 1  :     x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x  x     x 1  x :  x       x x     x  x  x        x 1 x         : x 1 :  x  1 x                 1 x  x  x 1 x 1  x 1  :   x  1 1  x 1  x x   x x      0.5 0.5 0.25 0.25 1 x  x x 0.5 b) Tính giá trị A x  17  12 (1 ®iĨm)  TÝnh x  17  12   2 A     2  17  12 32 c) So s¸nh A víi A (1 ®iĨm)   x  15  10 32 2    32 3  2   5 32 2  32 1 x  x  x x x Chứng minh x  víi mäi x  0;x  x A x 1   A   A 1   x 0.25 ;x  A Bài (3 điểm) b  b  c  biÕt a; b; c lµ ba số thực thoả mÃn điều kiện a = b + = c + ; c > (2 ®iĨm) ThuVienDeThi.com 0.25  A  1 A A 0A  A  a  b  0.5 32 BiÕn ®ỉi A  a) Chøng minh r»ng 0.5 0.5 Ta cã: a  b   a  b   a  b 1 b   c   b  c   b  c  2  (c > theo (gt)) Tõ (1) vµ (2) suy a > b > c > Mặt khác a b a  b  a  b   0.5 0.25 0.25 a b 1 (V× a  a b b >b>0) 2 0.5  a  b  b Chøng minh t­¬ng tù cho tr­êng hỵp: VËy  a  b  2 b 2 b  b  c   b  c (®pcm) 0.25 0.25 b) BiĨu thøc cã giá trị số tự nhiên (1 điểm) Ta cã : B =  20162  20162 2016 20162 2016  2017  2.2016   = 20172 2017 20172 2017 0.5 2016 2016 2016  2017  2017 2017 2017 = 2016 2016  2017   2017 2017 0.25 = 2017 Vậy B có giá trị số tự nhiên Bài (3điểm) Giải phương trình 0.25 20172 a) x  3x   x   x   x  2x  x  1x    x   x  1x     x2  (1.75 ®iĨm) x  1x  31 0.5  x   §iỊu kiƯn  x2   x  x  1x  3   1    x2  x   1  x 1 1 x3 0.25  x   1 0.25  x 1 1   x 1  x2  x3 0    x2        x x x x    x = thoả mÃn điều kiện xác định Vậy phương tr×nh cã nghiƯm nhÊt x = b) 4x   3x    4x   0.25 x3 (1) (1.25 ®iĨm) §iỊu kiƯn x  1  0.5  4x   3x  4x   3x  3x   x   ThuVienDeThi.com 0.25 4x   3x  x3  4x   3x  0.25  4x   3x  x3   4x   3x  (V× x  x3 x3   4x   3x   (2) 4x   3x  2 nªn x + > 0) 0.25 0.5 Giải tiếp phương trình (2) ta nghiệm phương trình x = C M A O N B E D Bài (8 điểm) v hỡnh im ฀  CED  900 ECD a) Xét COM CED có COM góc chung  COM ഗ CED (g.g)  CO CM   CM.CE  CO.CD  R.2R  2R CE CD 0,5 0,5 Xét OBD vuông O Theo định lý Py-ta-go BD  OB2  OD  R  R  2R 0,5 Vậy CM.CE  BD  2R  2R  4R 0,5 0,5 Tương tự :  S OM CO ED.CO   OM  (1) ED CE CE ฀ chung , A ฀ E ฀  450 )  AM  EA.AC (2) Ta có: AMC ഗ EAC ( C CE OM OC.ED ED Từ (1) (2) suy ra:   (3) (  AOC vuông cân O) AM AC.EA 2EA a) Ta có: COM CED (cmt)   S ฀ chung ; O ฀ E ฀  900  ON  OB  ON  OB.EA (4) EAB B EA EB EB DN DB DB.ED ฀ chung, D ฀ E ฀  450 )  DNB EDB (B   DN  (5) ED EB EB ON OB.EA EA   (6) Từ (4) (5): DN DB.ED 2ED OM ON Từ (3) (6):   số AM DN OM ON b) Đặt x  Ta có: x, y không âm và: ,y AM DN x  y  x  y  xy   x  y  xy   2 ONB S   ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 xy (TMĐK) 2 OM ON  OM ED     EA  ED Vậy: Tổng    AM 2EA  AM DN min ฀  E điểm cung nhỏ AD Dấu "=" xảy khi: x = y xy = 0,5 0,5 0,5 5.a) Chứng minh giá trị M số nguyên (1 điểm) Biến đổi M    5   1004 1004 0.25 Đặt a ; b    a b 10 a.b Đặt U n  a n  b n víi n  N Khi ®ã M = U1004 Ta cã U n   a n   b n   a.a n 1  b.b n 1  10  b a n 1  10  a b n 1  10 a n 1  b n 1  ab a n  b n   10U n 1  U n (v× ab = 1)  U n   10U n 1  U n (*) 0.25 Ta thÊy U0 =  Z ; U1 = a + b = 10  Z U  a  b  a  b   2ab  102  2.1  98  Z Theo công thức (*) U 10U U1 mµ U1, U2  Z suy U  Z L¹i theo (*) U  10U U có giá trị nguyên Quá trình lặp lặp lại vô hạn suy Un có giá trị nguyên với n N* Suy M = U1004 có giá trị số nguyên 0.25 0.25 b)Tìm chữ số tận cïng cđa M (0.5 ®iĨm) Tõ (*) suy U n   U n  10U n 1 10  U n   U n  U n   U n    U n   U n 10  U n   U n 10  U 4k r Ur có chữ số tận gièng 1004 = 4.251 suy U1004 vµ U0 có chữ số tận giống Mà U0 có chữ số tận (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tương đương Điểm toàn không làm tròn Hết ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 ... = 20172 2017 20172 2017 0.5 2016 2016 2016  2017  2017 2017 2017 = 2016 2016  2017   2017 2017 0.25 = 2017 VËy B cã gi¸ trị số tự nhiên Bài (3điểm) Giải phương trình 0.25 20172 a) x 3x... trường hợp: Vậy a  b  2 b 2 b  b  c   b  c (®pcm) 0.25 0.25 b) Biểu thức có giá trị số tự nhiên (1 điểm) Ta có : B =  20162  20162 2016 20162 2016  2017  2 .2016   = 20172 2017. .. a) nên M có chữ sè tËn cïng b»ng Chó ý: NÕu thÝ sinh làm cách khác cho điểm tương đương Điểm toàn không làm trßn Hết ThuVienDeThi.com 0.25 0.25