Đế thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2012 2013 môn: Toán47925

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐẾ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài (3 điểm) Cho x   32 2(  1) 4(x  1)x 2015  2x 2016  2x  Tính giá trị biểu thức: A  2x  3x Bài (3 điểm) Giải phương trình: 2x  2x   2x  3( x  x   1) Bài (3 điểm)     2 2013 Tìm số nguyên x, y thoả mãn: 2y 2x   2x 2y    x y Bài (3 điểm) Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c Biết P(x) > với x thuộc R a > 5a  3b  2c  Chứng minh rằng: abc Bài (3 điểm) Cho đường trịn (O;R), điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Trên đường thẳng d qua trung điểm AB song song với BC, lấy điểm P Đường trịn đường kính OP cắt đường tròn (O) M, N Chứng minh: PM = PN = PA Bài (3 điểm) ฀ Cho tam giác ABC vng C, có BAC  300 Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC Chứng minh rằng: 3BD  5AD  5CD  DC  2DA Bài (2 điểm) Cho a, b, c số thực thoả mãn < a, b, c với x thuộc R a > Câu Chứng minh rằng: 5a  3b  2c  (1) a bc Từ giả thiết P(x) > với x thuộc R a > suy c  3.0 b2 4a Vì P(x) > với x thuộc R nên P(-1)>0 Suy a – b + c > Vậy 0.5 0.5 5a  3b  2c   5a  3b  2c  a  b  c  4a  c  2b a bc Ta có 4a  c  4a  0.5 b2 4a 0.5 0.5 b2  b  2b Áp dụng BĐT Cơsi ta có 4a  4a 0.5  4a  c  2b Vậy (1) ThuVienDeThi.com Câu Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Trên đường thẳng d qua trung điểm AB song song với BC, lấy điểm P Đường trịn đường kính OP cắt đường trịn (O) M, N Chứng minh: PM = PN = PA 3.0 d P N C K A O I M B Câu Chứng minh PM=PN Gọi I=OAd, K=OABC, chứng minh IA=IK Có PA2 = AI2 + PI2 = AI2 + PO2 – OI2 (Pitago) = PO2 – (OI – AI)(OI + AI) = PO2 – OK.OA (vì IA = IK) = PO2 – OC2 ( hệ thức tam giác vuông OAC) = PO2 – ON2 = PN2 ( tam giác PNO vng N) Vậy PA=PM=PN ฀ Cho tam giác ABC vng C, có BAC  300 Trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC Chứng minh rằng: 3BD  5AD  5CD  DC  2DA 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 3.0 C D A 30° O B R Tính AC  R 3, BC  R Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo đẳng thức Pơtoleme ta có: AD.BC+AB.CD=AC.BD  AD.R  CD.2R  BD.R  AD  2CD  BD  3BD  AD  4CD  4AD.CD Vậy ta có: 0.5 0.5 0.5 0.5 3BD  5AD  5CD  AD  4CD  4AD.CD  5AD  5CD  4AD  4AD.CD  CD  0.5  (2AD  CD)   CD  2AD 0.5 ThuVienDeThi.com Cho a, b, c số thực thoả mãn < a, b, c