Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2008 – 2009 môn thi Toán36413

Phòng Giáo dục đào tạo Huyện Yên Sơn Đề thi chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2008 2009 Môn thi : toán Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) §Ị nµy cã 01 trang Bµi : ( 10 điểm) Cho a b hai số nguyên tố cïng Chøng minh r»ng : A = 8a + 3b vµ B = 5a + 2b lµ hai sè nguyên tố Bài : ( 10 điểm) Biến đổi thành tích biểu thức ; ( x2 - )2 + 36 Từ kết hÃy tìm n  N ®Ĩ ( n2 - )2 + 36 số nguyên tố Bài : ( 10 điểm) Cho số dương a, b, c thoả mÃn abc = Chøng minh r»ng : a3 b3 c3    (1  b)(1  c) (1  a)(1  c) (1  a)(1  b) Bài : ( 10 điểm) a c Cho a, b, c, d số dương thoả mÃn HÃy trục thức b d mÉu cđa biĨu thøc : P= a b c d Bài : ( 10 điểm) Gọi D, e theo thứ tự trung điểm Cho ABC cân A A cạnh AB AC Trên tia đối tia DE lấy ®iĨm M t ý kh«ng trïng víi D  ฀ Trên tia đối tia ED lấy điểm N cho MAN 90 Hai đường thẳng MB NC cắt P Tính góc BPC DeThiMau.vn Phòng Giáo dục đào tạo Huyện Yên Sơn Đáp thi chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2008 2009 Môn thi : Thêi gian : 150 ( Thang ®iĨm 50 ) Đáp có 02 trang Bài : ( 10 điểm) Giải : Gọi d ước chung hai số A B Do : ( 8a + 3b ) ∶ d vµ ( 5a + 2b ) ∶ d  5( 8a + 3b ) ∶ d vµ 8( 5a + 2b ) ∶ d  5( 8a + 3b ) - 8( 5a + 2b ) ∶ d  b ∶ d (1) L¹i cã : 2( 8a + 3b ) ∶ d vµ 3( 5a + 2b ) ∶ d  2( 8a + 3b ) - 3( 5a + 2b ) ∶ d  a ∶ d (2) Tõ (1) vµ (2) suy : d = ƯC (a,b) Mà (a,b) =  d =  ¦C ( 8a + 3b , 5a + 2b ) = VËy A = ( 8a + 3b ) vµ B = ( 5a + 2b ) hai số nguyên tố Bài : ( 10 điểm) Giải : * Ta cã ( x2 – )2 + 36 = x4 – 16x2 + 64 + 36 = ( x4 + 100) – 16x2 = ( x2 + 10)2 – 36x2 = ( x2 – 6x + 10 ) ( x2 + 6x + 10 ) * Theo ý trªn ta cã : ( n2 – )2 + 36 = ( n2 – 6n + 10 ) ( n2 + 6n + 10 ) §Ĩ ( n2 – )2 + 36 số nguyên tố điều kiện cần lµ : n2 – 6n + 10 =  n2 – 6n + =  ( n – )2 =  n = Thö lại với n = ta : ( n2 )2 + 36 = 37 số nguyên tố với n = thoả mÃn điều kiện đầu Bài : ( 10 điểm) Giải : * áp dụng bất đẳng thức Cối, ta : a3 1 b 1 c a (1  b)(1  c) 3a     (1  b)(1  c) 8 (1  b)(1  c).64 T­¬ng tù : b3  a  c 3b    (1  a)(1  c) 8 c3  a  b 3c    (1  a)(1  b) 8 Cộng theo vế ba đẳng thức trên, ta cã : a3 b3 c3 abc     (1  b)(1  c) (1  a)(1  c) (1  a)(1  b) V× : a + b + c = 3 abc = a3 b3 c3    (1  b)(1  c) (1  a)(1  c) (1  a)(1 b) Đẳng thức xẩy chØ a = b = c DeThiMau.vn Bµi : ( 10 ®iĨm) a  bt a c ta b d c dt Khi đó, biểu thức viết lại dạng: ( b  d )( t  1) 1 P= =  (b  d)(t  1) bt  b  dt  d ( b  d )( t  1)  a   1 ( b  d )  b   b ( b  d )( a  b ) = (b  d)(a  b) a  (b  d)   b Bài : ( 10 điểm) Giải : Tõ gi¶ thiÕt suy ˆ A ˆ  (90   )    90 (1) A 2 Mặt khác , ∆ ADM ta cã : 180    ฀ ฀ ฀ ˆ (2) A1  M  D1  D   90  2 ฀ ˆ M tõ (1) vµ (2) suy A XÐt ∆ NEA vµ ∆ ADM ta cã : ฀ vµ E ฀3  D NEA đồng dạng ADM M A Giải : * Đặt t = NE AD NE BD    EA DM EC DM ฀1  D ฀1  N ฀2 B ฀1 NEA đồng dạng BDM có thêm E Khi ®ã , ∆ MNP ta cã :  ฀ ฀2 N ฀ )  180  (M ฀2 B ฀ 1)  D ฀  90   BPC  180  (M DeThiMau.vn ...Phòng Giáo dục đào tạo Huyện Yên Sơn Đáp thi chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2008 – 20 09 M«n thi : Thêi gian : 150 phút ( Thang điểm 50 ) Đáp có 02 trang Bài : (... 36 = x4 – 16x2 + 64 + 36 = ( x4 + 100) – 16x2 = ( x2 + 10)2 – 36x2 = ( x2 – 6x + 10 ) ( x2 + 6x + 10 ) * Theo ý trªn ta cã : ( n2 – )2 + 36 = ( n2 – 6n + 10 ) ( n2 + 6n + 10 ) §Ĩ ( n2 – )2 + 36...  b  Bµi : ( 10 điểm) Giải : Từ giả thi? ??t suy ˆ A ˆ  (90   )    90   (1) A 2 Mặt khác , ADM ta cã : 180    ฀ ฀ ฀ ˆ (2) A1  M  D1  D   90  2 ฀ ˆ M tõ (1) vµ (2) suy A XÐt