Phòng Giáo dục đào tạo Huyện Yên Sơn Đề thi chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2008 2009 Môn thi : toán Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) §Ị nµy cã 01 trang Bµi : ( 10 điểm) Cho a b hai số nguyên tố cïng Chøng minh r»ng : A = 8a + 3b vµ B = 5a + 2b lµ hai sè nguyên tố Bài : ( 10 điểm) Biến đổi thành tích biểu thức ; ( x2 - )2 + 36 Từ kết hÃy tìm n N ®Ĩ ( n2 - )2 + 36 số nguyên tố Bài : ( 10 điểm) Cho số dương a, b, c thoả mÃn abc = Chøng minh r»ng : a3 b3 c3 (1 b)(1 c) (1 a)(1 c) (1 a)(1 b) Bài : ( 10 điểm) a c Cho a, b, c, d số dương thoả mÃn HÃy trục thức b d mÉu cđa biĨu thøc : P= a b c d Bài : ( 10 điểm) Gọi D, e theo thứ tự trung điểm Cho ABC cân A A cạnh AB AC Trên tia đối tia DE lấy ®iĨm M t ý kh«ng trïng víi D Trên tia đối tia ED lấy điểm N cho MAN 90 Hai đường thẳng MB NC cắt P Tính góc BPC DeThiMau.vn Phòng Giáo dục đào tạo Huyện Yên Sơn Đáp thi chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2008 2009 Môn thi : Thêi gian : 150 ( Thang ®iĨm 50 ) Đáp có 02 trang Bài : ( 10 điểm) Giải : Gọi d ước chung hai số A B Do : ( 8a + 3b ) ∶ d vµ ( 5a + 2b ) ∶ d 5( 8a + 3b ) ∶ d vµ 8( 5a + 2b ) ∶ d 5( 8a + 3b ) - 8( 5a + 2b ) ∶ d b ∶ d (1) L¹i cã : 2( 8a + 3b ) ∶ d vµ 3( 5a + 2b ) ∶ d 2( 8a + 3b ) - 3( 5a + 2b ) ∶ d a ∶ d (2) Tõ (1) vµ (2) suy : d = ƯC (a,b) Mà (a,b) = d = ¦C ( 8a + 3b , 5a + 2b ) = VËy A = ( 8a + 3b ) vµ B = ( 5a + 2b ) hai số nguyên tố Bài : ( 10 điểm) Giải : * Ta cã ( x2 – )2 + 36 = x4 – 16x2 + 64 + 36 = ( x4 + 100) – 16x2 = ( x2 + 10)2 – 36x2 = ( x2 – 6x + 10 ) ( x2 + 6x + 10 ) * Theo ý trªn ta cã : ( n2 – )2 + 36 = ( n2 – 6n + 10 ) ( n2 + 6n + 10 ) §Ĩ ( n2 – )2 + 36 số nguyên tố điều kiện cần lµ : n2 – 6n + 10 = n2 – 6n + = ( n – )2 = n = Thö lại với n = ta : ( n2 )2 + 36 = 37 số nguyên tố với n = thoả mÃn điều kiện đầu Bài : ( 10 điểm) Giải : * áp dụng bất đẳng thức Cối, ta : a3 1 b 1 c a (1 b)(1 c) 3a (1 b)(1 c) 8 (1 b)(1 c).64 T¬ng tù : b3 a c 3b (1 a)(1 c) 8 c3 a b 3c (1 a)(1 b) 8 Cộng theo vế ba đẳng thức trên, ta cã : a3 b3 c3 abc (1 b)(1 c) (1 a)(1 c) (1 a)(1 b) V× : a + b + c = 3 abc = a3 b3 c3 (1 b)(1 c) (1 a)(1 c) (1 a)(1 b) Đẳng thức xẩy chØ a = b = c DeThiMau.vn Bµi : ( 10 ®iĨm) a bt a c ta b d c dt Khi đó, biểu thức viết lại dạng: ( b d )( t 1) 1 P= = (b d)(t 1) bt b dt d ( b d )( t 1) a 1 ( b d ) b b ( b d )( a b ) = (b d)(a b) a (b d) b Bài : ( 10 điểm) Giải : Tõ gi¶ thiÕt suy ˆ A ˆ (90 ) 90 (1) A 2 Mặt khác , ∆ ADM ta cã : 180 ˆ (2) A1 M D1 D 90 2 ˆ M tõ (1) vµ (2) suy A XÐt ∆ NEA vµ ∆ ADM ta cã : vµ E 3 D NEA đồng dạng ADM M A Giải : * Đặt t = NE AD NE BD EA DM EC DM 1 D 1 N 2 B 1 NEA đồng dạng BDM có thêm E Khi ®ã , ∆ MNP ta cã : 2 N ) 180 (M 2 B 1) D 90 BPC 180 (M DeThiMau.vn ...Phòng Giáo dục đào tạo Huyện Yên Sơn Đáp thi chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2008 – 20 09 M«n thi : Thêi gian : 150 phút ( Thang điểm 50 ) Đáp có 02 trang Bài : (... 36 = x4 – 16x2 + 64 + 36 = ( x4 + 100) – 16x2 = ( x2 + 10)2 – 36x2 = ( x2 – 6x + 10 ) ( x2 + 6x + 10 ) * Theo ý trªn ta cã : ( n2 – )2 + 36 = ( n2 – 6n + 10 ) ( n2 + 6n + 10 ) §Ĩ ( n2 – )2 + 36... b Bµi : ( 10 điểm) Giải : Từ giả thi? ??t suy ˆ A ˆ (90 ) 90 (1) A 2 Mặt khác , ADM ta cã : 180 ˆ (2) A1 M D1 D 90 2 ˆ M tõ (1) vµ (2) suy A XÐt