SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức: P x y xy ( x y )(1 y ) ( x y )( x 1) ( x 1)(1 y ) Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = Bài (4,0 điểm) Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn18a 4b 2013 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: 18ax 4bx 671 9a 3 Tìm tất nghiệm nguyên x, y phương trình x x x y Bài (4,5 điểm) Cho p 2p + hai số nguyên tố lớn Chứng minh 4p + hợp số 2 Giải phương trình: x x x x 2 x Bài (6,0 điểm) Cho góc xOy có số đo 60o Đường trịn có tâm K nằm góc xOy tiếp xúc với tia Ox M tiếp xúc với tia Oy N Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM Tiếp tuyến đường tròn (K) qua P cắt tia Oy Q khác O Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN E Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN F Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp đường tròn Gọi D trung điểm đoạn PQ Chứng minh tam giác DEF tam giác Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 b2 c2 a HẾT -Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 Mơn thi: TỐN ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM (Đáp án biểu điểm gồm trang) Câu Câu 1.1 (2,5 ) Ni dung Điều kiện để P xác định : x ; y ; y ; x y P Câu 1.2 (1,5 đ) Câu 2.1 (2,0 đ) Câu 2.2 (2,0 đ) x(1 x ) y (1 x x y y x x y ) xy 1 x y x y 1 1 y x xy P=2 x x 1 ( x y) x x y y xy x y y x y 1 x 1 y x 1 y xy y xy x 1 x y y y x y x 1 x y 1 y 1 x 1 y x 1 y 1 x 1 1 x 1 y y 1 y y 0,5 x 0,5 0,5 0,5 y xy y = với x ; y ; y ; x y y y 1 x 1 1 0,5 y 1 Ta cã: + y x x x = 0; 1; 2; ; Thay vµo P ta cã cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) tho¶ m·n Cho hai số thực a, b thỏa mãn 18a b 2013 (1) 0,5 0,5 Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 18ax bx 671 a (2) TH1 : Với a = (2) 4bx 671 671 Từ (1) b Vậy (2) ln có nghiệm x 4b TH2 : Với a , ta có : ' 4b 18a(671 9a) 4b2 6a.2013 162a2 0,5 b2 a(18a b) 162 a2 b2 24 ab 54 a2 (2 b a)2 16 a2 0, a, b 0,5 Vậy pt ln có nghiệm Tìm số ngun x, y thỏa mãn phương trình: 0,5 3 x x 3x y y x2 0,5 (2) Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; x = từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán (1 ; 2), (-1 ; 0) Do p số nguyên tố lớn nên p có dạng p 3k *) Nếu p 3k p k 3(2 k 1) DeThiMau.vn 0,5 Ta có y x3 x 3x x x y (1) 4 9 15 0 ( x 2)3 y x x x 4 16 Câu 3.1 Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (2,0đ) Câu 3.2 (2,5 đ) p hợp số (Vô lý) *) Nếu p 3k 1, k p 12 k 3(4 k 1) Do k nên p hợp số Điều kiện: x PT x x x x 2 x 2x 0,5 0,5 0,5 0,5 4x2 4x x x 2x 2x x 3 2x 1 0 0,5 2 x x x 4 x x x (tmđk) 2x 1 0,5 0,5 Câu Câu 4.1 (2,5 đ) y Hình vẽ +PK phân giác góc QPO 0,5 MPE KPQ (*) 0,5 1200 + Tam giác OMN EMP + QK phân giác OQP Q N E 1800 KQP KPQ QKP D K 0,5 2KPQ Mà 2KQP 1800 600 1200 x O P M F Câu 4.2 (1,0 đ) Câu 4.3 (2,5 đ) QKP 1200 Do đó: EMP QKP ** Từ (*) (**), ta có MPE KPQ 0,5 Do hai tam giác MPE KPQ đồng dạng nên: MEP KQP 0,5 FQP hay: FEP Suy ra, tứ giác PQEF nội tiếp đường tròn 0,5 Gọi D trung điểm đoạn PQ Chứng minh tam giác DEF tam giác PM PE PM PK Do hai tam giác MPE KPQ đồng dạng nên: = Suy ra: = PK PQ PE PQ Do đó, hai tam giác MPK EPQ đồng dạng Ngoài ra: MPK EPQ PMK Từ đó: PEQ 900 Suy ra, D tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQEF Vì vậy, tam giác DEF cân D 2FQD ; EDQ OPQ Ta có: FDP OQP 2EPD 1800 FDP EDQ 600 FDE POQ Câu 0,5 Từ đó, tam giác DEF tam giác Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: DeThiMau.vn 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (2,0 đ) a 1 b 1 c 1 3 b2 c a2 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: b2 b nên: a 1 b2 (a 1) b2 (a 1) ab b (a 1) (a 1) a 1 1 b b 1 2b a 1 ab b a 1 1 b 0,5 Tương tự ta có: b 1 bc c (2) b 1 1 c c 1 ca a c 1 (3) 1 a Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta được: a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca (*) 3 2 1 b 1 c 1 a Mặt khác: 3(ab bc ca) a b c Nên (*) a b c ab bc ca 0 a 1 b 1 c 1 (đpcm) b2 c a2 Dấu "=" xảy a b c -HẾT -Lưu ý: - Các cách giải khác cho điểm tương đương với biểu điểm - Điểm tồn khơng làm trịn DeThiMau.vn 0,5 0,5 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2012- 2013 Mơn thi: TỐN ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM (Đáp án biểu điểm gồm trang)... Từ (1) b Vậy (2) ln có nghiệm x 4b TH2 : Với a , ta có : ' 4b 18a(671 9a) 4b2 6a .2013 162a2 0,5 b2 a(18a b) 162 a2 b2 24 ab 54 a2 (2 b a)2 16 a2 ... nên p có dạng p 3k *) Nếu p 3k p k 3(2 k 1) DeThiMau.vn 0,5 Ta có y x3 x 3x x x y (1) 4 9? ?? 15 0 ( x 2)3 y x x x 4 16 Câu 3.1