Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh năm học 2004 2005 môn: Toán 847824

Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm) a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - b/ Giải phương trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = C©u (2 ®iÓm) a/ Cho ®a thøc f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c số hữu tỉ Biết f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên b/ Tìm giá trị nhỏ của: A = 3x  x  x  2x  Câu (2 điểm) a/ Chứng minh với sè bÊt kú a, b, x, y ta cã (a2 + b2)(x2 + y2)  (ax + by)2 b/ Chøng minh r»ng: x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho x2 + x + víi mäi sè tù nhiên m,n Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC cã gãc nhän víi ®­êng cao AA’, BB’, CC Gọi H trực tâm tam giác ABC Chøng minh r»ng: HA' HB' HC '   1 AA' BB' CC ' Câu (1 điểm) Cho sè d­¬ng a, b, c cã tỉng b»ng Chøng minh r»ng: http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 1   9 a b c Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Câu a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x - = x(x2 - 22) - 3(x + 2) (1/2 ®iĨm) = x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x2 - 2x - 3) = (x + 2)(x2 - - 2x - 2) = (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)] = (x + 2)(x + 1)(x - 3) (1/2 ®iĨm) 2 b/ x -30x + 31x - 30 = (x - x + 1)(x - 5)(x + 6) = (*) 2 V× x - x + = (x - 1/2) + 1/4 > (1/2 ®iĨm) x   x  => (*) (x - 5)(x + 6) =  (1/2 ®iĨm)  x   x   C©u a/ Cã f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c lµ số nguyên (1/2 điểm) => a + b + c - c = a + b nguyªn => 2a + 2b nguyªn => 4a + 2b nguyªn => (4a + 2b) - (2a + 2b) = 2a nguyªn => 2b nguyªn VËy 2a, 2b nguyªn 3( x  x  1)  2( x  1)  b/ Cã A = (1/2 ®iĨm) 3  x  ( x  1) ( x 1) Đặt y = => A = y2 – 2y + = (y – 1)2 +  x 1 (1/2 ®iĨm) => A = => y =   => x = x 1 VËy A = x = (1/2 ®iĨm) 2 2 C©u a/ Ta cã (a + b )(x + y )  (ax + by) a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2  a2x2 + 2axby + b2y2 (1/4 ®iĨm) a2y2 - 2axby + b2x2  (ay - bx)2  (1/4 điểm) Vì bất đẳng thức cuối bất đẳng thức nên bất đẳng thức phải chứng minh bất đẳng thức (1/4 điểm) a b Dấu = xảy ay - bx = hay  (1/4 ®iĨm) x y b/ Ta cã x3m+1 + x3n+2 + = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + (1/4 ®iÓm) 3m 3n = x(x - 1) + x (x - 1) + (x + x + 1) (1/4 ®iĨm) 3m 3n Ta thÊy x - vµ x - chia hÕt cho x - ®ã chia hÕt cho x + x +  x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho x2 + x + C©u http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com b c 1  a  1 a  a  a c Do a + b + c = nên (1/2 điểm) b b b 1 a b  c  1 c  c  1 a c a b b c VËy                     a b c a c b b a c Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 1/3 Câu + Cã SABC = BC AA’ (1/2 ®iÓm) + Cã SHBC = BC HA’ (1/2 ®iĨm) + Cã SHAC = AC HB’ (1/2 ®iĨm) + Cã SHAB = AB HC’ (1/2 ®iĨm) B S S S HA' HB' HC' + HBC  ; HAC  ; HAB  S AA' S BB' S CC' ABC ABC ABC S S S S HAC HAB  ABC  => HBC S S ABC ABC HA' HB' HC ' VËy   1 AA' BB' CC ' http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com A B' C' H C A' (1/2 ®iĨm) (1/2 ®iĨm) ...Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Câu a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x... hÕt cho x + x +  x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho x2 + x + C©u http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com b c 1  a  1 a  a  a c Do a + b + c = nªn   1  (1/2 ®iĨm) b b b 1... ABC  => HBC S S ABC ABC HA' HB' HC ' VËy   1 AA' BB' CC ' http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com A B' C' H C A' (1/2 ®iĨm) (1/2 ®iĨm)