Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh năm học 2016 2017 môn Toán42592

S ăGD- TăH UăGIANG K ăTHIăCH NăHSGăTHCSăC PăT NHăN MăH Că2016-2017 ăCHệNHăTH C MƠN: TỐN Th i gian: 150 phút Bài 1: a) Tính giá tr c a 2017  x5  x7 Bi t x  b) Gi i h ph 62  62 20    y 7 ng trình  x 1  5x  7xy2 Bài 2: a) Tìm s th c x bi t  6x  9x    3x  3x  x3 b) Cho đa th c f ( x)  x7  g ( x)  x3  x  Tìm ph n th ng vƠ ph n d chia f(x) cho g(x) Bài 3: a) Tìm t t c s nguyên d ng n cho 60+2n-n2 lƠ s ph ng b) Cho hai s th c a, b th a mãn a+b-ab=-1 a2 +b2 =13 Tính P  a  b3 c) Cho đa th c f ( x2 1)  x4  3x2  th a mãn , v i m i x Tìm f ( x2  1) d) Tìm GTNN c a A  x2  y2  x  y  xy v i x, y lƠ s th c Bài 4: a) Tam giác ABC vuông t i A có AB = 6cm, AC = 8cm Các đ ng phơn giác phân giác ngoƠi c a góc B l n l t c t đ ng th ng AC t i M vƠ N Tính di n tích c a tam giác BMN b) Tính di n tích c a l c giác đ u có c nh a  2 cm Bài 5: a) Cho tam giác ABC vuông t i A vƠ có di n tích b ng 2017 dm2 Trên c nh c a tam giác vuông ta d ng n a đ ng trịn đ ng kính AB, BC vƠ CA Tính t ng di n tích ph n tô đen b) Cho O lƠ m t m n m mi n c a tam giác ABC Qua O k đ ng th ng song song v i c nh AB, BC, CA l n l t c t c nh c a tam giác nh hình v G i a, b, c l n l t lƠ di n tích c a tam giác HIO, GFO, DEO vƠ s lƠ di n tích tam giác ABC.Ch ng minh r ng S  ( a  b  c )2 S ăGiáoăD căvàă àoăT oă 9ăc păTHCS Kìăthiăch năh căsinhăgi iăt nhăl pă ThuVienDeThi.com t nhăNgh ăană N măh că2016- 2017 Câu 1: (4,0 m) a Tìm h s a ,b,c c a đa th c P ( x)  x2  bx  c bi t P(x) có giá tr nh nh t b ng ứ1 x=2 b Gi i h ph  x2  xy2  xy  y3   ng trình:   2( x  1)  x ( y  1)  y  Câu 2: (4,0 m) a Gi i ph ng trình x    x2   x b Cho s d ng a,b,ca,b,c th a mãn ab+bc+ca=1 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P 2a 1 a  b  b2  c  c2 Câu 3: (3,0 m) Cho tam giác ABC có góc BAC  1350 , BC=5cmBC=5cm đ ng cao AH=1cm Tính đ dƠi c nh AB AC Câu 4: (5,0 m) Cho tam giác ABC nh n n i ti p đ ng tròn tơm O, D lƠ m cung DC không ch a A D ng hình bình hƠnh ADCE G i H,K l n l t lƠ tr c tơm c a tam giác ABC, ACE;P,Q l n l t lƠ hình chi u vng góc c a K đ ng th ng BC,AB I lƠ giao m c a EK v i AC a Ch ng minh r ng m P,I,Q th ng hƠng b Ch ng minh r ng đ ng th ng PQ qua trung m HK Câu 5: (4,0 m) a Tìm t t c s nguyên t khác m,n,p,q tho mãn 1 1     1 m n p q mnpq b Trên m t hƠng có ghi s Ta ghi s ti p theo lên b ng theo nguyên t c N u có s x,y phơn bi t b ng ghi thêm s z=xy+x+y Ch ng minh r ng s đ c ghi b ng (tr s ra) có d ng 3k+2 (v i k lƠ s t nhiên) S ăGIÁOăD CăVÀă ÀOăT O QU NGăTR ăTHIăCHệNHăTH C KỊăTHIăH CăSINHăGI IăV NăHỐăL Pă Khố thi ngƠy 15 tháng n m 2017 Mơn thi: TỐN ThuVienDeThi.com ( thi g m có 01 trang) giao đ ) Th i gian lƠm bài: 150 phút (không k th i gian Bài 1: (5,0 m) Cho bi u th c x x x 1 : x x  x( x  1)  x Tìm u kiên c a x đ A có ngh a vƠ rút g n A Tính giá tr c a A x  3 2  3 2 3 2 3 2 Gi s s th c x tho mãn x ≥ Tìm giá tr nh nh t c a A Bài (5,0 m) Gi i ph ng trình x  11  x  Cho s th c d ng a, b, c, d Ch ng minh r ng: Bài (2,0 m) Gi i h ph b (a  b )  d (c  d )  bd ac  bd 2   xy  x  y  x  y ng trình:    x y  y x   2x  y Bài (6,0 m) Cho t giác ABCD n i ti p đ ng trịn (O), đ ng kính AD Hai đ ng chéo AC vƠ BD c t t i E; G i F lƠ hình chi u c a E AD vƠ G lƠ trung m ED ng tròn ngo i ti p tam giác DGF c t (O) t i m th hai lƠ H (HH D) G i I lƠ giao m c a BC vƠ FG a) Ch ng minh r ng t giác BCGF n i ti p đ ng tròn b) Ch ng minh r ng D, I, H th ng hƠng Bên hình trịn có bán kính b ng ch n m b t kí Ch ng minh r ng t n t i m m cho có kho ng cách gi a chúng nh h n Bài (2,0 m) Cho s th c x, y Ch ng minh r ng: [x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1 (Kí hi u [x] lƠ s nguyên l n nh t không v t x) Ta g i m t b s nguyên t đ p tích c a s nguyên t nƠy b ng 10 l n t ng c a chúng Hãy tìm t t c b s nguyên t đ p nói ( s b không nh t thi t ph i phơn bi t) H T ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com Câu 1.(3,0 m) ăthiăHSGăl pă9ăt nhăTháiăBìnhă2016-2017 Cho 2x     Tính P  1 1 x4  x3  x2  12 x  11 2x 6x  Câu 2.(3,0 m) Cho hai hƠm s : y= y  (m2  2) x  m3  3m  y=xứ2m+1 có đ th l n l t lƠ d1;d G i A( x0 ; y0 ) lƠ giao m c a d1;d a) Tìm t a đ m A b) Tìm m nguyên đ bi u th c T  x02  3x0  nh n giá tr nguyên y02  y0  Câu 3.(4,0 m) 1) Gi i ph ng trình: 2x 11x  21  3 4x  2) Gi i h ph ng trình sau: 2x y2  x2 y  xy  x    2 2  x y  x y  6x  x   Câu (2,0 m) Cho tam giác MNP t i P G i H lƠ trung m c a MN, K hình chi u vng góc c a H PM D ng đ ng th ng qua P vng góc v i NK vƠ c t HK t i I Ch ng minh r ng I lƠ trung m c a HK Câu 5.(4,0 m) Cho tam giác ABC vuông t i A Trên tia đ i tia AC l y m M cho 011 vƠ 8x+9y+10z=100 (1) 25 Ta th y 100=8x+9y+10z > 8(x+y+z) suy x  y  z  25 Ta có 11  x  y  z   x  y  z  12  x  12  y  z Thay x vào (1) ta có y+2z=4 suy z=1 (vì y,z > ) Khi z=1 y=2 suy x=9 V y s bƠi ki m tra đ t m 8;9;10 l n l t lƠ 9;2;1 Bài (4 m ) a/Gi i ph ng trình x   x    x3  y3  b/Gi i h ph ng trình   x  y  xy  Bài gi iă  b 1  3 a  b   a b 1  x3 a  3  a/ t a  x  5; b  x  Ta có h sau :      b  2  x  6 b  b    a b 1    a  V y nghi m c a ph ng trình lƠ x=3 ,x=-6 b/ t a=x+y ,b=xy Ta có h ph ng trình vi t l i :  x   a   2b a  3ab   b  y         x  2b(4b  15b  15)  a   a  2b     y  V y h có nghi m lƠ (0;2) ;(2;0) Bài (4 m ) 5 a/Cho  x  ; x   3x   3x  a 3 10  25  9x2 x b/Cho x,y,z > vƠ x+y+z=12 Tìm giá tr l n nh t c a  x  y  z  15   x  y  z  15   x  y  z  24  M   +  + y z x       Bàiăgi iă Tính giá tr c a bi u th c P  ThuVienDeThi.com 10  25  x2  3x   3x 6x    x x x.( 3x   3x  5) a  x  y  z  15   x  y  z  15   x  y  z  24  b/ M    +   + y z x       Thay x+y+z=1 vào M ta có : 1 4 4 M   3.(   )   3(  )   3.16    M  1 x y z x y z 12 Max M =-1 vƠ ch x=y=3 vƠ z=6 Bài (4 m ) a/ Cách 1: Hình v a/Ta có P  B I G P N D A C M G i D lƠ ti p m c a đ ng tròn (I) vƠ đo n th ng AB Tam giác ABC vuông t i A nên theo đ nh lí Pitago ta có : AB2  AC  BC  BC  92  122  15 AB  AC  BC  12  15 M t khác ta có : AD    (cm) 2 Mà BD =AB-AD=9-3=6 (cm) T giác IDAN lƠ hình vng nên ID=DA=AP=PI=3 (cm) Ta th y ID vng góc v i AB (1) Mà AB vng góc AN (2) T (1) vƠ (2) suy : ID song song v i AN Tam giác ABN có ID song song v i AN nên theo h qu c a đ nh lí ta-lét ta có : BD BI   (3) AB BN BG MƠ G lƠ tr ng tơm nên theo tính ch t v tr ng tâm ta có :  (4) BM BI BG T (3) vƠ (4) suy   nên IG song song v i MN BN BM Tam giác BMN có IG song song v i MN nên theo h qu c a đ nh lí ta-lét ta có : IG BI BG 2     IG  MN MN BN BM 3 Tam giác ABN có ID song song v i AN nên theo h qu c a đ nh lí ta-lét ta có : ID BI    AN  ID  4,5 (cm) AN BN ThuVienDeThi.com Mà MN=AM-AN=6-4,5=1,5 (cm ) 2 Lúc IG  MN  1,5  (cm) 3 Cách 2: Hình v B I G P N D A C M G i D lƠ ti p m c a đ ng tròn (I) vƠ đo n th ng AB Tam giác ABC vuông t i A nên theo đ nh lí Pitago ta có : AB2  AC  BC  BC  92  122  15 AB  AC  BC  12  15 M t khác ta có : AD    (cm) 2 Mà BD =AB-AD=9-3=6 (cm) T giác IDAN lƠ hình vng nên ID=DA=AP=PI=3 (cm) Ta th y ID vng góc v i AB (1) Mà AB vng góc AN (2) T (1) vƠ (2) suy : ID song song v i AN nên ID song song v i AM (vì M thu c AN ) BD Ta có :  (3) AB BG MƠ G lƠ tr ng tơm nên theo tính ch t v tr ng tơm ta có :  (4) BM BD BG T (3) vƠ (4) suy   nên DG song song v i AM BA BM Ta có DI song song v i AM (5) MƠ DG song song v i AM (6) T (5) vƠ (6) suy D,I,G th ng hƠng Tam giác ABM có DG song song v i AM nên theo h qu c a đ nh lí ta-lét ta có : DB BG DG 2     DG  AM   (cm) BA BM AM 3 M t khác ta có DI+IG=DG nên IG=DG-DI=4-3=1 (cm) Cách 3: ThuVienDeThi.com A R E D I G B C J G i D,J l n l t lƠ trung m c a AC ,BC H GE’ vng góc v i AB H IE vng góc v i AB Ta có JD lƠ đ ng trung bình c a tam giác ABC nên : JD  AB  JD  (cm) 2 15 Ta có JA  BC  JA  (cm) 2 Ta có AD  AC  AD  (cm) AG Theo tính ch t tr ng tơm G ta có :  (1) AJ MƠ tam giác ABD có GE’ song song v i AD (cùng vng góc v i AB ) nên : BG BE ' E ' G    suy BE’=6 (cm) T có AE’=AB-BE’=3(cm) (2) BD BA AD AC  AB  BC MƠ t giác AEIR lƠ hình vng nên AE=EI=IR=RA=  (cm) (3) T (2) vƠ (3) suy E trùng v i E’ T ta có G,I,E th ng hƠng MƠ tam giác ABD có GE song song v i AD (cùng vng góc v i AB ) nên : BG BE EG 2     GE   BD BA AD 3 Suy GI=GE-EI=1 (cm) b Hình v B A H M I P D N C ThuVienDeThi.com Tam giác MNC vuông t i C nên theo đ nh lí Pitago ta có : MN  MC  NC  MN  (a  MB)2  NC  a  MB2  NC  2a.MB T ng t : MP  a  AP  MB2  AP.MB Tam giác MNP đ u nên ta có : a  MB2  NC  2a.MB  a  AP  MB2  AP.MB Suy : NC  2a.MB  AP  AP.MB  CN  AP  2DP.BM b/K NI vng góc v i MP K MH vng góc v i AD Ta có SMNP  NI MP Tam giác MIN vuông t i I nên theo đ nh lí Pitago ta có : MP MP NI  MI  MN  NI   MP  NI  1 MP MP Ta có SMNP  NI MP  MP  2 SMNP bé nh t MP bé nh t MƠ PM bé nh t P trùng v i H Khi ABMP lƠ hình ch nh t AB=MP=a vƠ ABM  BMP = MPA  PAB  900 Khi MP song song v i AB vƠ N lƠ trung m CD a2 Lúc SMNP  Bài (4 m ) R(b  c) bc a/Ta có R(b  c)  a bc   bc   2R  a (1) a Mà ta có 2R  a (2) T suy 2R=a nên tam giác ABC vuông t i A b Ta ch ng minh b ng ph n ch ng gi s có th ph kín đ c c m b ng m t đ ng tròn tâm O bán kính TH1: m cho trùng v i tơm O Khi m l i s cách tơm m t kho ng bé h n Suy vơ lí TH2 : Hình v : E O F A C B D ThuVienDeThi.com Các m không trùng tơm Khi v bán kính qua m Vì có bán kính nên t n t i bán kính t o thƠnh m t góc bé h n 600 G a s bán kính OC vƠ OD l n l t qua A B Xét tam giác OAB có AOB  600  OBA OAB  1200 Suy m t hai OBAvà OAB ph i l n h n ho c b ng 600 Khơng m t tính t ng quát gi s AOB  600 suy AB  OA OC  1(vô lý ).V y c hai tr ng h p gi s đ u sai Suy không th ph c m nƠy b ng m t hình trịn có bán kính b ng S ăGIÁOăD CăVÀă ÀOăT O THCS BỊNHă NH K ăTHIăCH NăH CăSINHăGI IăC PăT NHăL Pă9ă KHOÁ NGÀY 18 – – 2017 ăchínhăth c Mơn thi: TỐN Th i gian: 150 phút (không k th i gian phát đ ) Ngày thi: 18/3/2017 Tr ngă Quangă Ană ,tr ngă THCSă Ngh aă Th ngă ,T ă Ngh aă ,Qu ngă Ngưiă S ă nă tho iă 01208127776ă.Ngu năg că:s uăt măđ ăvàăgõăl iăđápăan Bài (6,0 m) Cho bi u th c: P = 2m  16m   m m 3 m2  m 1 2 m3 a) Rút g n P b) Tìm giá tr t nhiên c a m đ P lƠ s t nhiên Cho bi u th c: P = (a + b)(b + c)(c + a) ậ abc v i a, b, c lƠ s nguyên Ch ng minh r ng n u a + b + c chia h t cho P chia h t cho Bài (5,0 m) a) Ch ng minh r ng: v i m i s th c x, y d b) Cho ph ng, ta ln có: 1   x y x y ng trình: x2  3mx   (m lƠ tham s ) Có hai nghi m x1 x2 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: M =  x1  x2  Bài (2,0 m) Cho x, y, z lƠ ba s d   x12  x22     x2   x1 ng Ch ng minh r ng: ThuVienDeThi.com 1 1 1 1        x  yz y  xz z  xy  xy yz zx  Bài (7,0 m) Cho tam giác đ u ABC n i ti p đ ng trịn tơm O bán kính R M lƠ m t m di đ ng cung nh BC c a đ ng trịn a) Ch ng minh MB + MC = MA b) G i H, I, K l n l t lƠ chơn đ ng vng góc h t M xu ng AB, BC, CA G i S, S’ l n l t lƠ di n tích c a tam giác ABC, MBC Ch ng minh r ng: Khi M di đ ng ta ln có đ ng th c:  S + 2S'  3R Cho tam giác ABC có ba góc nh n AD, BE, CF lƠ đ ng cao L y M đo n FD, l y N tia DE cho MAN = BAC Ch ng minh MA lƠ tia phơn giác c a góc NMF MH + MI + MK = Bài (6,0 m) 1a) Rút g n đ cP= m 1 (v i m  0, m  1) m 1 1b) m 1 = 1+ m 1 m 1  N  m  lƠ c d ng c a  m  4; 9 (TM K) Ta có: P  N  m 1 V y m = 4; m = lƠ giá tr c n tìm 2) a + b + c (a, b, c  Z) t a + b + c = 4k (k  Z)  a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc = 16k  4ak  ack  ac   4k  b   abc P= = 64 k3  16bk2  16ak2  4abc  16ck2  4bck  4ack  abc  abc = 16k3  4bk  4ak  abk  4ck  bck  ack   2abc (*) ThuVienDeThi.com Gi s a, b, c đ u chia d  a+ b + c chia d (1) Mà: a + b + c  a + b + c (theo gi thi t) (2) Do (1) vƠ (2) mơu thu n  i u gi s lƠ sai  Trong ba s a, b, c nh t có m t s chia h t cho  2abc (**) T (*) vƠ (**)  P Bài (5,0 m) 1 a b 2 a)       a  b   4ab   a  b   (đúng) x y x y ab a b b) PT có a, c trái d u nên ln có hai nghi m phơn bi t x1 x2 Ta có: x1  x2   3m x1.x2   2   x12  x22  M =  x1  x2      = = x2   x1 2    x1 x2    x1 x2     2      x1  x2   x1 x2  1    x1  x2  1  2  x1 x2     x1 x2      2 =   m       D u ắ=” x y m = V y GTNN c a M lƠ  m = Bài (2,0 m) Áp d ng B T Cô si cho s d ng x2 yz, ta có: 1 1   x2 + yz  x2 yz  x yz  x  yz x yz x yz 1 1 1  T ng t , ta có:  z  xy z xy y  xz y xz 1 1 1         (1) x  yz y  xz z  xy  x yz y xz z xy  yz  xz  xy 1   Ta có: = (2) xyz x yz y xz z xy Suy ra: Ta có: yz  xz  xy  x + y + z (3) Th t v y: (*)  yz  xz  xy  x  y  z   x   y z   x y x   (B T đúng) D u ắ=” x y x = y = z ThuVienDeThi.com ... NGăNGÃIăăă K ? ?THI? ?CH NăH C? ?SINH? ?GI IăC PăT NHă N MăH C? ?2016? ?– 2017 Ngày thi 23/02 /2017 Mơn thi :Tốn Th i gian lƠm bƠi :150 phút Đ CHÍNH TH C Do đó, bi t th c t Suy ra, P 2017 Chú ý: ng ng 2017 i 10082... nhiên) S ăGIÁOăD CăVÀă ÀOăT O QU NGăTR ? ?THI? ?CHệNHăTH C KỊ? ?THI? ?H C? ?SINH? ?GI IăV NăHOÁăL Pă Khoá thi ngƠy 15 tháng n m 2017 Mơn thi: TỐN ThuVienDeThi.com ( thi g m có 01 trang) giao đ ) Th i gian... ÀOăT O Đ CHÍNH TH C ? ?THI? ?CH NăH C? ?SINH? ?GI IăC PăT NH N MăH C? ?2016? ?– 2017 Mơn thi: Tốn – L pă9 Th i gian làm bài: 150 phút (không k th i gian giao đ ) ThuVienDeThi.com ( thi có 01 trang) Tr ngă