Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh năm học 2004 - 2005 môn: Toán 6 thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Theo đề bài mỗi nhóm đều có tổng mang giá trị dương nên tổn của 6 nhóm đó là số dương.. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC..[r]

§Ò thi chän häc sinh giái thcs cÊp tØnh N¨m häc 2004 - 2005 M«n: To¸n Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) C©u (2 ®iÓm) TÝnh 101  100  99  98     a/ A = 101  100  99  98     423134 846267  423133 b/ B = 423133 846267  423134 C©u (2 ®iÓm) a/ Chøng minh r»ng: 1028 + chia hÕt cho 72 b/ Cho A = + + 22 + 23 + + 22001 + 22002 B = 22003 So s¸nh A vµ B c/ Tìm số nguyên tố p để p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 là các số nguyên tố C©u (2 ®iÓm) Người ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, tổ em thì thừa em, cßn nÕu mçi tæ 10 em th× thiÕu em Hái cã bao nhiªu tæ, bao nhiªu häc sinh ? C©u (3 ®iÓm) Cho +ABC có BC = 5,5 cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho CM = cm a/ Tính độ dài BM b/ BiÕt BAM = 800; BAC = 600 TÝnh CAM c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = cm C©u (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 1 1     1 22 32 42 1002 Lop7.net Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh N¨m häc 2004 - 2005 M«n: To¸n C©u 1: TÝnh 101 51 a/ A  (1 ®iÓm)  101 51 423133 846267  846267  423133  (1 ®iÓm) b/ B = 423133 846267  423134 C©u 2: a/ Vì 1028 + có tổng các chữ số chia hết cho nên tổng đó chia hết cho L¹i cã 1028 + cã ch÷ sè tËn cïng lµ 008 nªn chia hÕt cho VËy 1028 + chia hÕt cho 72 (1/2 ®iÓm) 2002 2003 b/ Cã 2A = + + + + +2 => 2A – A = 22003 – => A = B – VËy A < B (1/2 ®iÓm) c/ XÐt phÐp chia cña p cho ta they p cã d¹ng sau: p = 5k; p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + (k  N; k > 0) + NÕu p = 5k th× p nguyªn tè nªn k = => p = + NÕu p = 5k + => p + 14 = 5(k + 3)  vµ lín h¬n nªn lµ hîp sè (lo¹i) + NÕu p = 5k + => p + = 5(k + 2)  vµ lín h¬n nªn lµ hîp sè (lo¹i) + NÕu p = 5k + => p + 12 = 5(k + 3)  vµ lín h¬n nªn lµ hîp sè (lo¹i) + NÕu p = 5k + => p + = 5(k + 2)  vµ lín h¬n nªn lµ hîp sè (lo¹i) Thö l¹i víi p = tho¶ m·n (1 ®iÓm) C©u 3: Gi¶ sö cã thªm häc sinh n÷a th× chia mçi tæ 10 em th× còng cßn thừa em chia tổ em Vậy cách chia sau cách chia trước häc sinh Mçi tæ 10 häc sinh h¬n mçi tæ häc sinh lµ: 10 - = (häc sinh) (1 ®iÓm) Do đó số tổ là: : = (tổ) (1/2 ®iÓm) Sè häc sinh lµ: 10 – = 37 (häc sinh) (1/2 ®iÓm) C©u 4: VÏ h×nh, ghi gi¶ thiÕt + kÕt luËn (1/2 ®iÓm) a/ C n»m gi÷a B vµ M => BC + CM = BM (1/2 ®iÓm) => BM = + 5,5 = 8,5 (1/2 ®iÓm) b/ C n»m gi÷a B vµ M =>AC lµ tia n»m gi÷a tia AB vµ AM (1/2 ®iÓm) => BAC + CAM = BAM => CAM = BAM – BAC => CAM = 800 – 600 = 200(1/2 ®iÓm) B Lop7.net A K' C K M c/ Xét trường hợp: + NÕu K n»m gi÷a C vµ M tÝnh ®­îc BK = BC + CK = 5,5 + = 6,5 (cm) + NÕu K n»m gi÷a C vµ B tÝnh ®­îc BK = 4,5 (cm) (1/2 ®iÓm) C©u 5: Ta cã: 1   1 2  1     32  1 99 1 (1/2 ®iÓm) 1 1         1  1  2 2 100 100 4 100  (1/2 ®iÓm)  1     99 100 100  Lop7.net §Ò thi chän häc sinh giái thcs cÊp tØnh N¨m häc 2004 - 2005 M«n: To¸n Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) C©u (2 ®iÓm) Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh: 3 1     11 13  a/ 5 5 5     11 13 1 1 1 b/ ( + + + + 90 ) ( 12 34 - 68 ) :      3 6 C©u (2 ®iÓm) a/ Chøng minh r»ng 3636 - 910 chia hÕt cho 45 b/ TÝnh x, y, z biÕt r»ng: y x z   x + y + z y  z 1 x  z 1 x  y  c/ T×m c¸c sè a, b, c biÕt: ( - 2a2b3 )10 + ( 3b2c4 )15 = C©u (2 ®iÓm) Một người từ A đến B với vận tốc km/h và dự định đến B lúc 11 45 phót Sau ®i ®­îc quãng đường thì người đó với vận tốc km/h nên đến B lúc 12 trưa Tính quãng đường AB, người đó khởi hành lúc giê? C©u (3 ®iÓm) ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC vÏ tam gi¸c ACE vu«ng c©n (gãc ACE = 900) §­êng cao Ah cña tam gi¸c ABC vµ ®­êng cao CK cña tam gi¸c BCE c¾t ë N Chøng minh AN = BC C©u (1 ®iÓm) Cho 25 số, đó số bất kì nào có tổng là số dương Chứng minh tổng 25 số là số dương Lop7.net Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh N¨m häc 2004 - 2005 M«n: To¸n C©u 1: 1 1 1 1          8   = a /  11 13   1 1 1 1 5          11 13   8 b/ Ta cã: 12.34 - 68 = Do đó giá trị biểu thức (1 ®iÓm) C©u 2: a/ Ta cã 3636 cã tËn cïng b»ng 910 cã tËn cïng b»ng (1/4 ®iÓm) 36 10 Do đó 36 - chia hết cho 5, đồng thời chia hết cho 9, chia hết cho 45 (1/4 ®iÓm) b/ Ta cã: y x x   x yz (1) y  z 1 x  z 1 y  z  ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng cho tØ sè ®Çu ta ®­îc: x yz x  y  z (2) x  y  z  NÕu x + y + z = th× tõ (1) suy x = 0; y = 0; z = NÕu x + y + z  th× tõ (2) suy ra: x + y + z = (1/2 ®iÓm) Khi đó (1) trở thành: y x z    1  x 1  y 1 z2 2 2   x 2 x   x  2    Do đó: 2 y   y   y  2     2 x    z z     Có đáp số: (0; 0; 0) và (1/2; 1/2; -1/2) c/ Ta cã: 210 a20 b 30 + 315 b30 c60 = Hai đơn thức vế trái không âm mà có tổng nên: Lop7.net (1/2 ®iÓm) a 20 b 30  a b      b c  b 30 c 60  (1/4 ®iÓm) Do đó b = 0, a và c tuỳ ý hoÆc a = 0; c = vµ b tuú ý hoÆc a = 0; b = 0; c = C©u 3: Ta có sơ đồ sau: A C B Gäi thêi gian ®i CB víi vËn tèc km/h lµ t1 (phót) Gäi thêi gian ®i CB víi vËn tèc km/h lµ t2 (phót) => t2 - t1 = 15 (phót) vµ v1 = km/h; v2 = km/h v Ta có  mà vận tốc và thờigian là đại lượng tỉ lệ nghịch v nªn: t t t t t      15  15 t 43 1 => t2 = 15 = 60 (phót) = (giê) VËy qu·ng ®­êng AB b»ng: = 15 (km) Và người đó khởi hành lúc: 12 - = (giờ) C©u 4: VÏ h×nh, ghi gi¶ thiÕt, kÕt luËn (1/2 ®iÓm) NA  BC ( gt )   AC  CE ( gt )  NAC = BCE (Góc có cạnh tương ứng vu«ng gãc cïng tï) (1) (1 ®iÓm) L¹i cã: C  C  1v  (2)   C2 = E E  C  1v   vµ AC = CE (gt) (3) (1 ®iÓm) Tõ (1), (2), (3) =>+ACN =+BEC (gcg) VËy AN = BC (1/2 ®iÓm) (1/2 ®iÓm) (1/2 ®iÓm) (1/2 ®iÓm) N Ta cã: E A K C B C©u 5: (1 ®iÓm) Trong 25 số đã cho, phải có ít số dương vì 25 số âm, thì tổng số bât kì là âm, trái với đề bài Lop7.net Tách riêng số dương đó, còn lại 24 số, chia thành nhóm Theo đề bài nhóm có tổng mang giá trị dương nên tổn nhóm đó là số dương Vậy tổng 25 số đó là số dương §Ò thi chän häc sinh giái thcs cÊp tØnh N¨m häc 2004 - 2005 M«n: To¸n Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) C©u (2 ®iÓm) a/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x3 - 7x - b/ Giải phương trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = C©u (2 ®iÓm) a/ Cho ®a thøc f(x) = ax2 + bx + c, víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ BiÕt r»ng f(0), f(1), f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn 3x  x  b/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A= x  2x  C©u (2 ®iÓm) a/ Chøng minh r»ng víi sè bÊt kú a, b, x, y ta cã (a2 + b2)(x2 + y2)  (ax + by)2 b/ Chøng minh r»ng: x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho x2 + x + víi mäi sè tù nhiªn m,n C©u (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc nhän víi ®­êng cao AA’, BB’, CC’ Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: HA' HB' HC '   1 AA' BB' CC ' C©u (1 ®iÓm) 1 Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng:   9 a b c Lop7.net Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh N¨m häc 2004 - 2005 M«n: To¸n C©u a/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x - = x(x2 - 22) - 3(x + 2) (1/2 ®iÓm) = x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x2 - 2x - 3) = (x + 2)(x2 - - 2x - 2) = (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)] = (x + 2)(x + 1)(x - 3) (1/2 ®iÓm) 2 b/ x -30x + 31x - 30 = <=> (x - x + 1)(x - 5)(x + 6) = (*) 2 V× x - x + = (x - 1/2) + 1/4 > (1/2 ®iÓm) x   x  => (*) <=> (x - 5)(x + 6) = <=>  (1/2 ®iÓm)  x   x     C©u a/ Cã f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c lµ c¸c sè nguyªn (1/2 ®iÓm) => a + b + c - c = a + b nguyªn => 2a + 2b nguyªn => 4a + 2b nguyªn => (4a + 2b) - (2a + 2b) = 2a nguyªn => 2b nguyªn VËy 2a, 2b nguyªn 3( x  x  1)  2( x  1)  b/ Cã A = (1/2 ®iÓm) 3  2 x  ( x  1) ( x  1) §Æt y = => A = y2 – 2y + = (y – 1)2 +  x 1 ®iÓm) => A = => y =  (1/2  => x = x 1 VËy A = x = (1/2 ®iÓm) C©u a/ Ta cã (a2 + b2)(x2 + y2)  (ax + by)2 <=> a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2  a2x2 + 2axby + b2y2 (1/4 ®iÓm) <=> a2y2 - 2axby + b2x2  <=> (ay - bx)2  (1/4 ®iÓm) Vì bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức đúng nên bất đẳng thức phải chứng minh là bất đẳng thức đúng (1/4 ®iÓm) Lop7.net a b  (1/4 ®iÓm) x y b/ Ta cã x3m+1 + x3n+2 + = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + (1/4 ®iÓm) 3m 3n = x(x - 1) + x (x - 1) + (x + x + 1)(1/4 ®iÓm) 3m 3n Ta thấy x - và x - chia hết cho x3 - đó chia hết cho x2 + x +  x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho x2 + x + A C©u B' + Cã SABC = BC AA’ (1/2 ®iÓm) C' + Cã SHBC = BC HA’ (1/2 ®iÓm) H + Cã SHAC = AC HB’ (1/2 ®iÓm) + Cã SHAB = AB HC’ (1/2 ®iÓm) B A' S S HA' HB' S HAB HC' + HBC  ; HAC  ; (1/2 ®iÓm)  S AA' S BB' S CC' ABC ABC ABC S S S S HAC HAB  ABC  => HBC S S ABC ABC DÊu “=” x¶y vµ chØ ay - bx = hay VËy HA' HB' HC '   1 AA' BB' CC ' (1/2 ®iÓm) C©u b c 1  a  1 a  a  a c Do a + b + c = nªn   1  (1/2 ®iÓm) b b b 1 a b  c  1 c  c  1 a c a b b c VËy                     a b c a c b b a c Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 1/3 Lop7.net C §Ò thi chän häc sinh giái thcs cÊp tØnh N¨m häc 2004 - 2005 M«n: To¸n Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) C©u (2 ®iÓm) (5  6)  3 b/ Chứng minh a, b, c là các số dương thoả mãn a + c = 2b thì ta luôn 1   cã: a c a b b c a/ TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: P = C©u (1,5 ®iÓm) a/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 x2 b/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M = x4  x2  C©u (2,5 ®iÓm) XÐt ®a thøc P(x) = x9 + x99 a/ Chứng minh P(x) luôn luôn chẵn với x nguyên dương b/ Chøng minh r»ng P(2) lµ béi sè cña 100 c/ Gọi N là số nguyên biểu thị số trị P(4) Hỏi chữ số hàng đơn vị N cã thÓ lµ ch÷ sè ®­îc kh«ng ? T¹i ? C©u (3 ®iÓm) Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm góc đó Hãy tìm trên Ox, Oy các ®iÓm A, B cho chu vi tam gi¸c MAB nhá nhÊt C©u (1 ®iÓm) Cho số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a + b > c và |a - b| < c Chứng minh phương trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = luôn luôn vô nghiệm Lop7.net Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh N¨m häc 2004 - 2005 M«n: To¸n C©u (  2)2 (  2)2  (  )(  )    a/ P = 3 (1/2 ®iÓm) (1/2 ®iÓm) b/ Ta cã: a b b c VT = (*) (1/4 ®iÓm)  ab bc Tõ a + c = 2b => a = 2b – c thay vµo (*) ta cã (1/4 ®iÓm) a b b c a b b c a c VT =    (**) 2b  c  b bc bc bc (1/4 ®iÓm) ac Thay b = vµo (**) ta cã 2( a  c ) a c    VP (§pcm) VT = (1/4 ®iÓm) a  c  2c a c a c C©u a/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 <=> 4x2 + 8x + = 42 - 6y2 <=> (2x + 2)2 = 6(7 - y2) (1/4 ®iÓm) 2 V× (2x + 2)  => - y  =>  y mµ y  Z => y = 0;  1;  (1/4 ®iÓm) 2 + Víi y =  => (2x + 2) = 6(7 - 1) <=> 2x + 4x - 16 = => x1 = 4; x2 = -2 + Víi y =  =>2x2 + 4x - = => x1, x2  Z (lo¹i) (1/4 ®iÓm) + Víi y = =>2x + 4x - 19 = => x1, x2  Z (lo¹i) Vậy cặp nghiệm (x, y) phương trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1) b/ NhËn xÐt r»ng nÕu x = th× M = 0, gi¸ trÞ nµy kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín nhÊt Vậy M đạt giá trị lớn với x khác Chia tử và mẫu cho x2 ta được: Lop7.net M=   x   1   x2   (1/2 ®iÓm) 1 M đạt giá trị lớn x  nhá nhÊt => x  = => x =  x2 x2 VËy M lín nhÊt b»ng 1/ x =  C©u Ta cã P(x) = (x3)3 + (x33)3 = (x3 + x33)( x6 – x36 + x66) = (x + x11)(x2 – x12 + x22)( x6 – x36 + x66) (1/4 ®iÓm) a/ Với x chẵn thì x9, x99 chẵn x lẻ thì x9, x99 lẻ => x9 + x99 chẵn với x nguyên dương (1/4 ®iÓm) 11 11 b/ Ta cã x = 2048 nªn x + x = 2050 (1/4 ®iÓm) Vì x = nên các thừa số còn lại chẵn đó p là bội 4100 VËy P(2) chia hÕt cho 100 (1/4 ®iÓm) c/ Ta cã N = P(4) = 49 + 499 = (29)2 + (299)2 = (29 + 299)2 – 29 299 (1/4 ®iÓm) Theo câu b thì số bị trf có chữ số hàng đơn vị là mà số trừ lại có số hàng đơn vị khác hay hiệu chữ số hàng đơn vị khac VËy ch÷ sè cña N kh¸c x A' C©u - Dựng A’ đối xứng với M qua Ox (1 điểm) - Dựng B’ đối xứng với M qua Oy - Nèi A’B’ c¾t Ox t¹i A, c¾t Oy t¹i B (1 ®iÓm) => AM = AA’ (A  Ox trung trùc cña A’M) BM = BB’ (B  Oy trung trùc cña B’M) (1/2 ®iÓm) => P(AMB) = AA’ + AB + BB’ nhá nhÊt (v× A’, A, B, B’ th¼ng hµng) A M O C©u TÝnh biÖt sè  = [(a – b)2 – c2][(a + b)2 – c2] (1/2 ®iÓm) V× a + b > c > vµ < | a – b| < c nªn (a – b)2 < c2 => (a – b)2 – c2 < vµ (a + b)2 > c2 => (a + b)2 – c2 > Do  < => Phương trình vô nghiệm Lop7.net y B B' (1/2 ®iÓm)