BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC ( Các đề thi violympic toán 7) BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh rằng: 1200 a) ∆ABE = ∆ADC b) BMC Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM Bài 3:Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ 450 Chứng minh : PCQ Bài 4:Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác góc B C cắt AC AB E D a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE b) Gọi I giao điểm BE CD AI cắt BC M, chứng minh MAB; MAC tam giác vuông cân c) Từ A D vẽ đường thẳng vng góc với BE, đường thẳng cắt BC K H Chứng minh KH = KC Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC ) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đường thẳng vng góc với MN I ln qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Bài 6: Cho tam giác vuông ABC: A 900 , đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC Bài 7: Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vng góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm a) ∆ABC ∆ ? Chứng minh điều b) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB Bài 8: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM BME ThuVienDeThi.com 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam Bài 9: Cho tam giác ABC cân A có A giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC Bài 10: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh CD Tia phân giác góc ABE cắt AD K Chứng minh AK + CE = BE **************************************** BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ Bài Tìm giá trị n nguyên dương: a) n 16 2n ; b) 27 < 3n < 243 Bài Thực phép tính: ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng Bài 4: a) Tính: 1 P = 2010 2011 2012 5 2010 2011 2012 2 2009 2010 2011 3 2009 2010 2011 b) Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 x3 x 0, 25 xy c) Cho: A = x2 y Tính giá trị A biết x ; y số nguyên âm lớn Bài 5: Một thỏ chạy đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ đoạn đường lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ đoạn đường lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ hai đoạn đường ? Bài 6: Trên quãng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính quãng đường người tới lúc gặp ? Bài 7: a) Tìm x biết: x 1 x x x 2012 2011 2010 2009 b) Tìm tất số nguyên dương n cho: 2n chia hết cho Bài 8: a)Tìm số tự nhiên n để phân số b)Tìm x, y, z biết: x y ; 7n có giá trị lớn 2n y z ThuVienDeThi.com x y 16 c) Tìm x, y, z biết 3x y 3z x y z 64 216 d) Tìm số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000 Bài 9: Chứng minh với số n nguyên dương có: a) A = 5n (5n 1) 6n (3n 2) 91 B 3638 4133 chia hết cho 77 b) c) C = 3n 3n 1 2n 2n chia hết cho d) Chứng minh 102006 53 số tự nhiên Bài 10: Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 15 phút Tính thời gian tơ từ A đến B? Bài 11: Tìm x Z để A Z tìm giá trị a) A = x3 x2 b) B = 2x x3 Bài 12: Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây.Hỏi lớp có h/ s Biết số lớp trồng Bài 13: Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu nửa sai nửa: a, Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải Em xác định thứ tự giải cho bạn Bài 14: a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 a - 11b + 3c 17 (a, b, c Z) bz cy cx az ay bx a b c Chứng minh rằng: a b c x y z x y z t Bài 15: Cho y zt zt x t x y x y z x y y z zt t x CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: P zt t x x y y z b) Biết Bài 16: Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây a c chứng minh rằng: c b a2 c2 a b2 a b a a) 2 b) 2 b c b a c a a c b Bài 18: Tìm A biết rằng: A = bc ab ca Bài 17: Cho Bài 19: Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A ? ThuVienDeThi.com Đáp án: BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh rằng: E 1200 a) ∆ABE = ∆ADC b) BMC Giải: A a) Xét ∆ABE ∆ADC : AB = AD; AE = AC ( tam giác đều) D BAE DAC 600 BAC nên ∆ABE = ∆ADC ( c - g - c) MCE MEC b) Ta có : BMC ( t/c góc ngồi) M = MCA ACE MEC Từ ∆ABE = ∆ADC B C MCA MEA ( cặp góc tương ứng) nên BMC ACE MEC MEA ACE AEC = 600 + 600 = 1200 Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM + HC = NH F N b) Chứng minh: EN // FM Giải: a) Ta có : AHB EMA ( ch - gn) E Vì AHB EMA 900 M AB = AE ( gt) BAH AEM ( phụ với MAE ) A Suy : EM = AH (1) Tương tự: AHC FNA ( ch - gn) (2) HC NA Từ (1) (2) Suy : EM + HC = AH + NA = NH b) Từ AHC FNA AH NF ( 3) Từ (1) (3) Ta có : EM = MF C B H mặt khác : EM // NF ( vng góc với AH) Ta suy : EN // FM ThuVienDeThi.com Bài 3: Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ Q D A 450 Chứng minh : PCQ Giải: I Trên cạnh AB lấy điểm P Vẽ đường tròn(P; PB) đường tròn ( C;CB) Cắt I Gọi J = PI AD P Ta có : APQ có chu vi cm Thật vậy: PBC BIC (c c c) B C BCP (*) ICP PBC Nên PIC 900 Suy : QIC QDC (ch cgv) DCQ IQ QD ; ICQ (**) Vậy Chu vi APQ AP PQ AQ AP PI IQ AQ = AP+ PB + QD + AQ = AB + AD = Từ (*) (**) Ta có : ICQ ICB ICD BCD 90 450 PCQ PCI 2 Bài 4:Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác góc B C cắt AC AB E D a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE b) Gọi I giao điểm BE CD AI cắt BC M, chứng minh MAB; MAC tam giác vuông cân c) Từ A D vẽ đường thẳng vng góc với BE, đường thẳng cắt BC K H Chứng minh KH = KC 450 22,50 Giải:a) Ta có: ABE ACD Nên ACD ABE ( g c g ) C K BE CD ; AD = AE b) Vì ABC vng cân A nên AM đường trung tuyến AM đường cao Suy : MAB; MAC tam giác vuông Có góc 450 tam giác vng cân c) ABK có BE vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên ABK cân B Suy : BE đường trung trực Nên EK = EA AEB KEB(c c c) EKC 900 ; KCE 450 nên EKC vuông cân nên KC = KE CEK 450 (*) nên EK // AM Suy : EKH vuông cân K 900 ; ( Vì K ThuVienDeThi.com M E H I A D B Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vuông g?c với BC kẻ t? D E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đường thẳng vng góc với MN I ln qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Giải: a) Ta có : DMB ENC ( g-c-g) ( Vì MBD ACB ) NCE Nên MD = NE E 900 , MD = NE ( cmt) b) Xét DMI ENI : D MID NIE ( Hai góc đối đỉnh) Nên DMI = ENI ( cgv - gn) MI NI c) Từ B C kẻ đường thẳng vng Góc với AB AC cắt J Ta có : ABJ ACJ( g c g ) JB JC Nên J thuộc AL đường trung trực ứng với BC Mặt khác : Từ DMB ENC ( Câu a) B Ta có : BM = CN BJ = CJ ( cm trên) A M I C L D MBJ NCJ 900 Nên BMJ CNJ ( c-g-c) MJ NJ hay đường trung trực MN E J Luôn qua điểm J cố định Bài 6: Cho tam giác vuông ABC: A 900 , đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA N B D H Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho M CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E A C Chứng minh: AE = BC a) Ta có : AMB DMC (c g c) AB DC Suy ABC CDA(c c c) Mặt khác : ACI : ACI 900 ; AC CI : vuông cân E J ACJ ICJ ( CH -CGV) ICJ hay CJ phân giác ACI hay ACJ vuông cân J ACJ Nên AJ = AC ThuVienDeThi.com I 900 ; AJ = AC ( cmt); Xét EJA ABC : BAC JAE BAC ( BAH EAJ ) Nên EJA = ABC ( g-c-g) ) AE BC Bài 7: Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vng góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm a) ∆ABC ∆ ? Chứng minh điều ThuVienDeThi.com b) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB A E F B E C D J K I B Bài 10: K' A ThuVienDeThi.com H D C ... x3 Bài 12: Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây.Hỏi lớp có h/ s Biết số lớp trồng Bài 13:... **************************************** BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ Bài Tìm giá trị n nguyên dương: a) n 16 2n ; b) 27 < 3n < 243 Bài Thực phép tính: ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài Hiện hai kim... c a a c b Bài 18: Tìm A biết rằng: A = bc ab ca Bài 17: Cho Bài 19: Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A ? ThuVienDeThi.com Đáp án: BÀI 1: Cho