Bài tập nâng cao Hình học 915046

Bài tập nâng cao hình học Bi nõng cao chương I Bài 1: a) Tìm x y hình bên (a) (b) y x 25 x 10 b) Tìm x, y, z hình c (c) x y z Baøi 2: ฀  400 , F  580 Kẻ đường cao EI tam giác Cho tam giác DEF có ED = cm, D Hãy tính: a) Đường cao EI b) Cạnh EF ฀ Giải tam giác vuông ABC, biết A  900 , AB = 5, BC = Hãy tính góc nhọn tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông 13 : 21 Bài 3: Cho tam giác ABD vuông B, AB = cm, BD = cm Trên cạnh BD lấy điểm C cho BC = cm Từ D kẻ Dx // AB, cắt đường thẳng AC E a) Tính AD b) Tính góc BAD, BAC Từ kết đó, kết luận Ac tia phân giác góc BAD không ? c) Chứng minh tam giác ADE cân D d) Chứng minh AC tia phân giác góc BAD Bài 4: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB = đơn vị độ dài Gọi I, J trung điểm AB, AD a) Tính diện tích hình cánh diều AICJ cách khác b) Tính sinICJ Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = cm, CD = 12 cm, AD = 10 cm a) Tính AH b) Tính số đo góc ADC, suy số đo góc ABC c) Tính AC Vì ta hệ thức 1   ? 2 AD AC AH = 580, AC = Bài Cho hình thang ABCD vuông B C, AC AD Biết D a) Tính độ dài cạnh AD, BC b) Chøng minh AC2 = AB.DC ฀  600 Kẻ BH  AC CK  AB Bài 9: Cho ABC có A a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm BC M Chứng minh MKH tam giác µ góc nhọn Chứng minh diện tích tam giác S= Bài Cho ABC có A µ = 600 AB.AC.sinA p dụng: a) Tính S(ABC) biết AB = cm, AC = cm A µ b) Biết S(ABC) = (cm2), AB = cm, AC = cm Tính số đo A ThuVienDeThi.com µ , B, µ C µ theo thứ tự a, Bài 8: Cho ABC có góc nhọn, cạnh đối diện với góc A b, c Chứng minh: a b c = = sin A sin B sin C µ = 1200 Kẻ đường phân giác AD Bài 9: Tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, A µ Tính độ dài AD A · Bài 10: Cho hình bình hành ABCD ( ACD < 900 ) · a) Chứng minh : AD2 = CD2 + CA - 2CD.CA.cos ACD · b) Neáu CD = cm, CA = cm, cos ACD = tứ giác ABCD hình gì? Tính diện tích tứ giác µ < 900 ) Kẻ BK  AC Bài 11: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC; A µ = 2.KBC · a) Chứng minh : A A b) Chứng minh : sin A = 2.sin cos A 2 , tính sinA µ = 900 ) Lấy điểm M cạnh AC Kẻ AH  BM, Bài 12: Cho tam giác vuông ABC ( B · = c) Bieát sin KBC CK  BM · a) Chứng minh : CK = BH.tgBAC · MC BH.tg BAC = MA BK µ = 600 Kẻ BH  AC CK  AB Bài 13: Cho ABC có A b) Chứng minh : a) Chứng minh : KH = BC.cosA b) Trung điểm BC M Chứng minh MKH tam giác · Bài 14: Cho tam giác ABC có BC = a ACB = 450 Về phía ABC, vẽ hình vuông ABDE ACFG Giao điểm đường chéo hai hình vuông Q N Trung điểm BC EG M P a) Chứng minh AEC = ABG b) Chứng minh tứ giác MNPQ hình vuông · c) Biết BGC = a Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a a Bài 15: Cho hình chữ nhật MNPQ có đỉnh nằm cạnh hình thoi ABCD ( M  AB, N  BC, P  CD, Q  DA ) Các cạnh hình chữ nhật song song với đường chéo · hình thoi Biết AB = cm tgBAC = 0, 75 a) Tính diện tích hình thoi ABCD b) Xác định vị trí điểm M cạnh AB cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn tính giá trị lớn Bài 16: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn đ.chéo BD Kẻ CH  AD CK  AB a) Chứng minh CKH ~ BCA · b) Chứng minh HK = AC.sin BAD · c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD = 600 , AB = cm AD = cm µ = 900 ) Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF  BC Nối AF Bài 17: Cho ABC ( A BE ThuVienDeThi.com a) Chứng minh AF = BE.cosC b) Bieát BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE · c) AF BE cắt O Tính sin AOB Bài 18: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh cm Trung điểm AB BC theo thứ tự M N Nối CM DN cắt P a) Chứng minh CM  DN · b) Nối MN, tính tỉ số lượng giác góc CMN · c) Nối MD, tính tỉ số lượng giác góc MDN diện tích tam giác MDN · Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD; sin DAC = 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE  BD DF  AC · a) AC cắt BD O, tính sin AOD b) Chứng minh tứ giác CEFD hình thang cân tính diện tích c) Kẻ AG  BD BH  AC, chứng minh tứ giác EFGH hình chữ nhật tính diện tích Bài 20: Cho đoạn thẳng MN = cm Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm Vẽ đường tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt A B a) Chứng minh : 1 = + 2 MB AM AN b) Tính số đo góc MAB µ = 900 ) Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt Bài 21: Cho tam giác vuông ABC ( A cạnh góc vuông AB AC M N Biết MB = 12 cm vaø NC = cm, trung điểm MN BC E F a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng b) Trung điểm BN G Tính độ dài cạnh số đo góc EFG c) Chứng minh EFG ~ ABC Bài 22: Cho ABC, kẻ AH  BC, bieát BH = cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75 Trên AH lấy điểm O cho OH = cm a) Chứng minh ABC tam giác vuông b) Trên cạnh AB lấy điểm M, OB lấy điểm P OC lấy ñieåm N cho AM OP ON = = = Tính độ dài cạnh số đo góc MPN AB OB OC Bài tập nâng cao chương II 1- Đường tròn xác định đường trịn Bài 1: Cho hình thang caân ABCD (AD // BC); BC  CD  AD  a a) Chứng minh A, B, C, D nằm đường tròn Hãy xác định tâm O bán kính đường tròn b) Chứng minh AC  OB Bài Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác, N, P, Q trung điểm AH, AB, AC Chứng minh OPNQ hình bình hành ThuVienDeThi.com Bài 3: Cho ABC, góc nhọn Vẽ đường tròn đường kính AB, vẽ đường tròn tâm O đường kính AC Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) D E, cắt đường tròn (O) H K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K) ฀ a) Chứng minh BD, BE đường phân giác góc ABC ; CK, CH đường ฀ phân giác góc ACB b) Chứng minh BDAE, AHCK hình chữ nhật Bài 4: Cho đường tròn (O) dường kính AB Vẽ bán kính OC vuông góc với AB O Lấy điểm M cung AC Hạ MH  OA Trên bán kính OM lấy điểm P cho OP = MH a) Tìm q tích điểm P M chạy cung AC b) Tìm q tích điểm P lấy bán kính OM cho OP khoảng cách từ M đến AB M chạy khắp đường tròn (O) Tính chất đối xứng đường trịn Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; R) (O’; R) hai dây AB, CD theo thứ tự thuộc hai đường tròn cho B C nằm A D AB < 2R a) Chứng minh AD // OO’ b) Chứng minh AC = OO’ = BD c) Gọi I trung điểm AD, chứng tỏ điểm I nằm đường cố định dây AB, CD thay đổi vị trí cho AB, CD luôn B, C nằm A, D ฀  600 Lấy điểm I cố định tia phân giác Ot góc xOy làm tâm Bài 7: Cho góc xOy vẽ đường tròn cho cắt Ox A, Oy B (A B không đối xứng qua Ot) Haï ID  Ox, IE  Oy a) Chứng minh DA = EB b) Gọi T tâm đường tròn qua A, I, B Chứng minh TAI, TBI tam giác Xác định vị trí T cách nhanh c) Tìm q tích điểm T đường tròn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng cắt Ox, Oy) d) Tìm q tích điểm H, trực tâm AIB (theo điều kiện câu c) Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K dựng hình chữ nhật AHKO Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn cắt cạnh AB D, cắt cạnh AC E Gọi F giao điểm thứ hai đường tròn (O) với đường thẳng AB Chứng minh: a) AEF tam giác cân b) DO  OE c) D, A, O, E nằm đường tròn V ị trí t ương đối đường th ẳng đường trịn – Tính chất tiếp tuyến - Tính chất hai tiếp tuyến cắt Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) Một tiếp tuyến chung MM’, tiếp tuyến chung NN’ (M, N nằm (O) ; M’, N’ nằm (O’)) Các đường thẳng MM’ , ThuVienDeThi.com NN’ cắt tiếp điểm P dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng điểm Q, Q’ a) Chứng minh tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy b) Chứng minh M 'O ' MP  M ' P MO O 'Q ' PQ  Q ' P QO c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt điểm I Chứng minh ba điểm O, I, O’ thẳng hàng ฀  600 Một đường tròn tâm I bán kính R = cm, tiếp xúc với Ox A, Bài 9: Cho góc xOy tiếp xúc với Oy B Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, cắt Ox E, cắt Oy F a) Tính chu vi OEF Chứng tỏ chu vi có giá trị không đổi M chạy cung nhỏ AB ฀ có số đo không đổi M chạy cung nhỏ AB b) Chứng minh EIF Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R dây AC tạo với AB góc 300 Tiếp tuyến đường tròn C cắt đường thẳng AB D Chứng minh rằng: a) OAC ~ CAD b) DB.DA = DC2 = 3R2 Baøi 11: Cho ABC vuông A, đường cao AH Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC F Chứng minh rằng: a) AH tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (J) H b) EF tiếp tuyến (I) E, tiếp tuyến (J) F Bài 12: Cho ABC cân A Đường cao AH BK cắt I Chứng minh: a) Đường tròn đường kính AI qua K b) HK tiếp tuyến đường tròn đường kính AI Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm D bán kính OB Gọi H trung điểm AD Đường vuông góc H với AB cắt nửa đường tròn C Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB E a) Tứ giác ACED hình ? b) Chứng minh HCE cân H c) Chứng minh HE tiếp tuyến đường tròn tâm I Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB Từ A B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Lấy M điểm tùy ý nửa đường tròn, vẽ đường tiếp tuyến, cắt Ax C, cắt By D Gọi A’ giao điểm BM với Ax, B’ giao điểm BM với By Chứng minh raèng: a) A’AB ~ ABB’ , suy AA’.BB’ = AB2 b) CA = CA’ ; DB = DB’ c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax điểm A đường tròn Trên Ax chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm A B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường tròn cho ฀ ฀  DAE a) Chứng minh: BOC b) Giả sử B, C hai phía điểm A, chứng minh trường hợp ฀ ฀ BOC  DAE =1800 ThuVienDeThi.com V ฀ trí t฀฀ng ฀฀i c฀a hai ฀฀฀ng trịn Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; cm) (O’ ; cm) cắt điểm phân biệt A B biết OO’ = cm Từ B vẽ đường kính BOC BO’D a) Chứng minh điểm C, A, D thẳng hàng; b) Chứng minh tam giác OBO’ tam giác vuông; c) Tính diện tích tam giác OBO’ CBD; d) Tính độ dài đoạn AB, CA, AD Bài 2: Hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc điểm A Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn (O) (O’) B C (khác điểm A) DE tiếp tuyến chung hai đường tròn, D  (O) ; E  (O’) Gọi M giao điểm hai đường thẳng ฀  900 ; BD CE Chứng minh rằng: a) DME b) MA tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’); c) MD.MB = ME.MC Bài 4: Cho đường tròn (O ; R), đường tròn (O1 ; r1) tiếp xúc với (O ; R) đường tròn (O2 ; r2) vừa tiếp xúc với (O ; R) vừa tiếp xúc với (O1 ; r1) a) Tính chu vi tam giác OO1O2 theo R b) Dựng hai đường tròn (O1 ; r1) (O2 ; r2) bieát R = cm ; r1 = cm Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d điểm A nằm d Dựng đường tròn tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d A Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD) Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán kính AD, cắt AB E Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, cắt tiếp đường thẳng DE F a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) (B ; BE) tiếp xúc b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng Bài 11: Cho hai đường tròn (O) (O’) bán kính 3R R tiếp xúc A Đường thẳng d1 qua A cắt (O) B, cắt (O’) B’ Đường thẳng d2 vuông góc với d1 A cắt (O) C, cắt (O’) C’ a) Chứng minh BC’, CB’ OO’ đồng qui điểm M cố định b) Chứng minh tiếp tuyến chung PP’ TT’ cắt M c) Gọi I chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC’ Tìm q tích điểm I d1 d2 thay đổi vị trí (vẫn qua A vuông góc với nhau) Bài 12: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Góc vuông xAy quay xung quanh điểm A, Ax cắt (O) B, Ay cắt (O’) C a) Chứng minh OB // O’C b) Gọi C’ điểm đối xứng C qua O’ Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng c) Qua O vẽ d  AB, cắt BC M Tìm q tích điểm M dây AB, AC thay đổi vị trí vuông góc với Ơn t฀p ch฀฀ng II Bài 1: Cho đường tròn (O) (O) tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung ngoµi cđa (O) vµ (O’); B, C lµ hai tiếp điểm Tiếp tuyến chung hai đtròn A cắt BC M a) Chứng minh A, B, C thuộc đường tròn ( M ; BC/2 ) ThuVienDeThi.com b) Đường thẳng OO có vị trí đường tròn ( M ; BC/2 ) c) Xác định tâm đường tròn qua điểm O, O’, M d) Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tuyÕn đường tròn qua điểm O, O, M Bài 2: Cho đoạn thẳng AB trung điểm O AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax, By vu«ng gãc víi AB Mét gãc vuông có đỉnh O có hai cạnh cắt Ax By C D Gọi C giao ®iĨm cđa tia CO víi tia ®èi cđa tia By Chứng minh: a) Tam giác CDC tam giác cân b) Đường thẳng CD tiếp tuyến đường tròn đường kính AB c) Đường tròn ngoại tiếp COD tiếp xúc với đường thẳng cố định góc vuông O thay đổi Bài 3: Cho hai đường tròn (O) (O) Các tiếp tuyến chung MN, PQ ( M,P nằm (O); N, Q nằm (O) ) a) CMR: MN đối xứng với PQ qua đường thẳng OO b) CMR: điểm M, N, P, Q nằm đường tròn c) Nối MQ cắt (O), (O) tương ứng điểm thứ hai A, B Chøng minh MA = QB Bµi 4: Cho đường tròn (O) tiếp tuyến xy tiếp điểm C nằm (O) a) CMR dây AB song song víi xy th× CA = CB b) CMR đường thẳng d song song với xy đồng thời tiếp xúc với (O) điểm D điểm C, O, D thẳng hàng c) Cho hai đường thẳng song song d1 , d2 cách khoảng cm, điểm M nằm hai đường thẳng d1 , d2 cách d1 khoảng cm HÃy dựng đường tròn qua M vµ tiÕp xóc d1 , d2 Bµi 5: Cho đường tròn (O) (O) tiếp xúc với A Qua A kẻ đường thẳng a cắt (O) C, cắt (O) C đường thẳng b cắt (O) B, cắt (O) B Chứng minh BC // B’C’ Hướng dẫn giải §2 Tính chất đối xứng x Bài 2: a) Ta chứng minh AA’ = BB’; suy AD = BE ฀  600 nên dễ dàng chứng minh b) Vì xOy ฀  DIE ฀  1200 AIB A' t D A I B' Ta chứng minh ATI = BTI E B y T ฀ ฀ Neân ATI  BTI  60 Suy tam giác Lấy A (hoặc B) làm tâm vẽ cung tròn (A ; AI) cắt cung nhỏ AB T, tâm đường tròn qua A, I, B c) Ta chứng minh đường tròn tâm T bán kính TI qua O Thật vậy, giả sử (T) cắt IO O’ cắt O’T T’ ฀ '  2IO ฀ ' T ' Nhöng BTT ฀ '  2BO ฀ ' T ' Suy ITB ฀  2IO ฀ ' B , ñoù IO ฀ ' B  300 Ta coù ITT ฀  300 Nếu O’B OB hai đường thẳng phân biệt IO ฀ ' B IOB ฀ Ta có IOB có góc vị trí góc góc góc BOO’, chúng Do BO BO’ trùng nhau, O’ trùng với O PHẦN THUẬN: Ta có TI = TO  T thuộc trung trực OI cố định Để đường tròn ฀ ฀ tâm T cắt tia Ox, Oy TOx ; TOy góc nhọn Do T nằm miền góc ฀ xác định Ou  Ox, Ov  Oy Do T thuộc đoạn thẳng T1T2 vừa thuộc trung trực uOv OI, vừa thuộc miền góc uOx (để A, B phân biệt) O ThuVienDeThi.com PHẦN ĐẢO: Lấy T’ thuộc đoạn T1T2 vẽ đường tròn bán kính TI, cắt Ox A’, cắt Oy B, ta phải chứng minh đường tròn (I ; IA’) qua B (Chứng minh IDA’ = IEB’  IA’ = IB’) KẾT LUẬN: Q tích T đoạn thẳng T1T2, không kể T1, T2 d) AIBT hình thoi nên trực tâm H AIB nằm đường thẳng TI, Bz  AI, ta chứng minh Bz  BT Ta chứng minh H thuộc (I) H đối xứng với T qua I Q tích trực tâm H đoạn thẳng H1H2 đối xứng T1T2 qua I không kể H1, H2 F Baøi A D B O I H E C K a) Ta c/m AO phân giác góc FAE nên AO trục đối xứng góc FAE AO đường thẳng chứa đường kính (O) nên AO trục đối xứng đường tròn (O) F giao điểm AB với (O) Hình đối xứng F giao điểm AC với (O), điểm E F E đối xứng qua AO Vậy AEF tam giác cân ฀  2DFO ฀ ฀  2EFO ฀ b) Ta c/m được: DOI , EOI ฀ ฀  2DFE  900 hay DO  OE Suy DOE c) Laáy I trung điểm DE, ta có ID = IA = IE = IO Vaäy D, A, O, E nằm đường tròn tâm I bán kính DE/2 Baøi 4: B A C D D' O B' Ta có C D đối xứng qua O Lấy B’ đối xứng A qua O B’ cố định CA có hình đối xứng qua O Là DB’ nên CA = DB’, DB = DB’ Suy D nằm trung trực d BB’… §3 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn – Tiếp tuyến O Bài 9: a) EM = EA ; FM = FB Suy OE + EF + OF = OA + OB ฀  300 ; ta tính OB  R ; đó: OIB có IOB OE + EF + OF = 2R Giá trị 2R không phụ thuộc vào vị trí ñieåm M F E M A B I 1฀ 1฀ ฀  1200 ; EIM ฀ ฀ b) Ta tính AIB  AIM ; MIF  MIB 2 ฀  AIB ฀ hay EIF ฀  600 Vậy EIF ฀ có số đo không đổi M chạy cung nhỏ Suy EIF AB Baøi 10: C 30 A 30 30 O ThuVienDeThi.com B D ฀ a) Tính số đo góc, ta CAO  300 ฀ ฀ ฀ Hai tam giác OAC CAD có CAO  300 (chung); ACO  ADC  300 Vaäy OAC ~ CAD ฀  300 (có nhiều cách chứng minh), b) Tam giác COB tam giác đều, OCA ฀ CBD  1200 Dễõ dàng chứng minh OAC ~ BCD Suy BD = R DCB ~ DAC  DC DB  Do DA.DB = DC2 mà DB = R , DA = 3R DA DC Vaäy DA.DB = DC2 = 3R2 A F P Baøi 11: E B I H C J a) Gọi I trung điểm BH I tâm đường tròn đường kính BH Gọi J trung điểm HC J tâm đường tròn đường kính BH Ta có IH  AH suy AH tiếp tuyến đường tròn đường kính HC Vậy AH tiếp tuyến chung hai đường tròn (I), (J) b) Chứng minh không khó khăn AFHE hình chữ nhật Gọi P giao điểm AH EF Ta có PE = PF = PH = PA ฀  IHP ฀  900 Vậy EF tiếp tuyến đường Chứng minh PEI ~ PHI (c.c.c), suy IEP troøn (I) ฀  PHJ ฀  900 Vậy EF tiếp tuyến đường Chứng minh PFJ ~ PHJ (c.c.c), suy PFJ A tròn (J) Bài 12: O I B C H a) Gọi O trung điểm AI ta có OA = OI = OK Vậy đường tròn tâm O đường kính AI qua K ฀ ฀  OAK b) Ta có AOK cân  AKO (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) ฀ ฀ Ta lại có HK = HB nên HBK  HKB Từ ta c/m OK  HK C Vậy HK tiếp tuyến đường tròn O E Bài 13: A a) ACED hình thang vuông H O D I b) Đặt AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y HA = HD = x Ta có hệ thức sau: x + y =R hay HI = R OH = OA – AH = (x + y) – x = y hay OH = y ฀ ฀ Hai tam giác OHC IEH có: OH = IE = y ; OC = IH = R ; COH (ñv)  HIE Suy OHC = IEH (c.g.c) Do HC = EH hay HCE tam giác cân H ThuVienDeThi.com K B ฀ E ฀  900 , tức HE  IE Vậy HE tiếp tuyến đường c) Do OHC = IEH nên H B' tròn tâm I x Bài 14: a) Tự giải D A' b) CA = CM (hai tiếp tuyến cắt C) M Lấy I trung điểm AM, CI đường trung bình AA’M C I Vậy CA = CA’ Tương tự DB = DB’ B c) Ta có AA’ // BB’ Lại có K AC DB   Vậy B’A’, DC, AB đồng qui CA ' DB' Baøi 15: a) CO  AE P, BO  AD Q Gọi I giao điểm OP AQ ฀  900 ; PIA ฀  QIO ฀ Hai tam giác PAI QOI coù: P  Q ฀ ฀  DAE Suy BOC C A ฀  900 hay P  Q ฀  1800 b) Tứ giác AQOP’ có P  Q C P' 0 ฀ ฀ maø tổng góc tứ giác lồi 360 , suy BOC'  DAE '  180 E' A O B E Q I D O §4 Vị trí tương đối hai đường tròn D C Bài 8: A a) AOBO’ hình thoi (AO = OB = BO’ = O’A) nên AB OO’ O' cắt I, trung điểm chung AB OO’ D’ đối xứng O I D qua O nên D’ thuộc O’ B OCO’D’ hình bình hành (OC // O’D’ ; OC = O’D’) D' AB CD’ cắt trung điểm đoạn Nhưng trung điểm AB I, nên CD’ qua I Vậy AB, OO’, CD’ cắt I, trung điểm đoạn thẳng b) Tứ giác OCDO’ hình bình hành nên OO’ // CD Vì BA  OO’ nên BA  CD Tứ giác ACBD’ có IA = IB, IC = ID nên ACBD’ hình bình hành AD’ // CB Vì DA  AD’ (DD’ đường kính) suy DA  CB Vậy A trực tâm BCD Bài 9: a) B, A, E thẳng hàng, suy hai đường tròn (A ; DA), (B ; BE) tiếp xúc E F ฀ ฀ ฀  DFB ฀  AED  FEB b) Ta c/m ADF ฀ ฀ ADF  DFB  BF // AD (*) E A B Vì ABCD hình bình hành BC // AD (**) Từ (*) (**) ta suy C, B, F thẳng hàng I' Bài 10: D C Tâm đường tròn tiếp xúc với (O) A nằm đường thẳng OA O A Giả sử đường tròn (I) thỏa mãn yêu cầu đề bài, tiếp xúc với D B Tại A vẽ tiếp tuyến chung cắt d P, PB = PA I Từ ta suy cách dựng B' P B Baøi 11: d1 P ฀ ' BA  BAC ฀ B a) A  900  A’B // AC I' ฀ 'B  O ฀ ' AC' OA Ta coù ฀ ฀ 'C' A  (OA ฀ ' B) OBA 'O P' I A' O A C ThuVienDeThi.com C' I'' T M O' B' T' Do OA’B ~ O’AC’ Ta có BOC đường kính đường tròn (O), B’O’C’ đường kính đường tròn (O’) O 'C' O ' B'   neân OO’ , BC’ , B’C đồng qui M OB OC MO ' O 'C Ta lại có   Suy M điểm cố định MO OB M P MO ' b) Giaû sử PP’ cắt OO’ M1, ta chứng minh   Suy M1 trùng với M MP MO ฀ c) Phần thuận: AIM  900 (A, I cố định), đồng thời I không miền góc PMT Ta có BC // B’C’ Do I nằm cung tròn đường kính AM, giới hạn hai tiếp tuyến MP, MT, cung I1I2 (khi B vị trí P C’ vị trí P’) Phần đảo: Lấy I’ cung I1I2 Đường thẳng MI’ cắt (O) B1, cắt (O’) C’1, ta phải ฀ AC'  1v AI’  B C* (có thể sử dụng định lí đảo định lí Thales) chứng minh B 1 1 Kết luận: Q tích điểm I cung I฀1I2 C ฀ C ฀  2A ฀ ;A ฀ B ฀ C ฀  1800 suy A ฀  600 Bài 13: Ta tính B Ta tính BC = R Gọi I tâm đường tròn nội tiếp, Gọi D, E, F tiếp điểm (I) với AB, BC, CD ฀  IAF ฀  300 , Trong tam giác IAD vuông D ta thấy IAD ID = IF = r, AD = AF = r Ta coù: SABC = p.r = E F I O B D A (AB + BC + CA).r (AD + AF + DB + CF + CE + EB).r Trong DB+CF = BE + EC = R Thay giá trị biết thu gọn ta = C SABC = r.(R + r) Bài 14: Ta chứng minh 1 DE = DF = R ; SACD = b.R ; SBCD = a.R ; SABC = a.b.sin  2 ab.sin  1800   ฀ ฀ Ta rút R  Ta tính EDC  FDC  a b Gọi M, N giao điểm tiếp tuyến chung K với AC BC 1800   ฀ Ta chứng minh CMN cân C nên: KDN    ab     ฀ MK  KN  R.tg  450    tg  45   sin  Do OK  r  KN.tgKNO , a b      1800    ab   ฀ KNO   450  Suy r  sin  tg2  450   4 a b 4  ThuVienDeThi.com N M E A K F B D ... cho AM OP ON = = = Tính độ dài cạnh số đo góc MPN AB OB OC Bài tập nâng cao chương II 1- Đường tròn xác định đường trịn Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC); BC  CD  AD  a a) Chứng minh... chéo hai hình vuông Q N Trung điểm BC EG M P a) Chứng minh AEC = ABG b) Chứng minh tứ giác MNPQ hình vuông · c) Biết BGC = a Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a a Bài 15: Cho hình chữ nhật... có đỉnh nằm cạnh hình thoi ABCD ( M  AB, N  BC, P  CD, Q  DA ) Caùc cạnh hình chữ nhật song song với đường chéo · hình thoi Biết AB = cm tgBAC = 0, 75 a) Tính diện tích hình thoi ABCD b)