Hình học trong các đề thi vào 10 Giáo Viên Lại Văn Long Trường Thpt Lê hoàn Giáo Viên Lại Văn Long H×nh häc TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO 10 1 Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BC b¸n kÝnh R vµ ®iÓm A trªn nöa ®êng trßn (A kh¸c B vµ C) Tõ A h¹ AH vu«ng gãc víi BC Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓm A vÏ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, nöa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F a Tø gi¸c AFHE lµ h×nh g×? T¹i sao? b Chøng minh BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp c H y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm A sao cho tø gi¸c.
Giáo Viên: Lại Văn Long Trường Thpt Lê hồn H×nh häc TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO 10 Cho nöa đường tròn đường kính BC bán kính R điểm A nửa đường tròn (A khác B C) Từ A hạ AH vuông góc với BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F a Tứ giác AFHE hình gì? Tại sao? b Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp c HÃy xác định vị trí điểm A cho tứ giác AFHE cã diƯn tÝch lín nhÊt TÝnh diƯn tÝch lín nhÊt ®ã theo R (trÝch §TTN THCS 1999- 2000, tØnh VÜnh Phúc) Cho tam giác ABC vuông A, có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A thay đổi Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d tiếp tuyến đường tròn (O) A Các tiếp tuyến đường tròn (O) B C theo thứ tự cắt d D E a Chứng minh đường tròn đường kính DE qua điểm O b Chứng minh đường thẳng BC tiếp tuyến đường tròn đường kính DE c Chøng minh r»ng tø gi¸c BCED cã chu vi nhỏ tứ giác nội tiếp đường tròn (trích ĐTTN THCS 2000- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc) Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A, B Đường vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) (O') điểm C, D Lấy M cung nhỏ BC đường tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng MB với đường tròn (O') N giao điểm hai đường thẳng CM, DN P a Tam giác AMN tam giác gì, sao? b Chứng minh ACPD nội tiếp đường tròn c Gäi giao ®iĨm thø hai cđa AP víi ®êng tròn (O') Q, chứng minh BQ // CP (trÝch §TTS THPT 1999- 2000, tØnh VÜnh Phóc) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O P trung điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I, dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh r»ng: a Gãc CID b»ng gãc CKD b Tø giác CDFE nội tiếp dường tròn c IK // AB (trÝch §TTS THPT 1999- 2000, tØnh VÜnh Phóc) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm C cố định OA (C không trùng với O, A), điểm M di động đường tròn, M vẽ đường thẳng vuông góc với MC cắt tiếp tuyến kẻ từ A B D E a Chứng minh tam giác DCE vuông Giỏo Viên: Lại Văn Long DeThiMau.vn Giáo Viên: Lại Văn Long Trường Thpt Lê hồn b Chøng minh tÝch AD.BE kh«ng đổi c Tìm vị trí M cho diện tích tứ giác ABED nhỏ (trích ĐTTS THPT 2000- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD đáy nhỏ BC nội tiếp đường tròn tâm O; AB CD kéo dài cắt I Các tiếp tuyến đường tròn tâm O B D cắt điểm K a Chứng minh tứ giác OBID OBKD tø gi¸c néi tiÕp b Chøng minh IK song song với BC c Hình thang ABCD phải thoả mÃn điều kiện để tứ giác AIKD hình bình hành (trích ĐTTS THPT 2000- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc) Trên ®êng trßn (O; R), ®êng kÝnh AB, lÊy ®iĨm M cho MA > MB Các tiếp tuyến đường tròn (O) M B cắt điểm P; Các đường thẳng AB, MP cắt điểm Q; Các đường thẳng AM, OM cắt đường thẳng BP điểm R, S a Chứng minh tứ giác AMPO hình thang b Chứng minh MB // SQ (trÝch §TTS THPT 2001- 2002, tØnh VÜnh Phúc) Cho tam giác vuông ABC ( A 900 ); đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với điểm A C) Đường tròn đường kính DC cắt BC điểm thứ hai E; đường thẳng BD cắt đường tròn đường kính DC ®iĨm F (F kh«ng trïng víi D) Chøng minh: a Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC b Tứ giác ABCF nội tiếp đường tròn c AC tia phân giác góc EAF (trích ĐTTS THPT 2002- 2003, tỉnh Vĩnh Phúc) Cho đường tròn tâm O Từ điểm P đường tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C tiếp điểm) với đường tròn (O) a Chứng minh PAOC tứ giác nội tiếp đường tròn b Tia AO cắt đường tròn (O) B; đường thẳng qua P song song với AB cắt BC D Tứ giác AODP hình gì? c Gọi I giao điểm OC PD; J giao điểm PC DO; K trung điểm AD Chứng tỏ điểm I, J, K thẳng hàng (trích ĐTTS THPT 2002- 2003, tỉnh Vĩnh Phúc) 10 Cho tam giác cân ABC (AB = AC; B 450 ), mét ®êng tròn (O) tiếp xúc với AB AC B C Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M không trùng với B C) hạ đường vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, CA, AB a Chỉ cách dựng đường tròn (O) b Chứng minh tứ giác BIMK néi tiÕp Giáo Viên: Lại Văn Long DeThiMau.vn Giáo Viên: Lại Văn Long Trường Thpt Lê hoàn c Gäi P giao điểm MB IK; Q giao ®iĨm cđa MC vµ IH Chøng minh PQ MI (trÝch §TTS THPT 2003- 2004, tØnh VÜnh Phóc) 11 Cho tø gi¸c ABCD (AB // CD) néi tiÕp đường tròn (O) Tiếp tuyến A tiếp tuyến D đường tròn (O) cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh: a CAB AOD b Tø giác AEDO nội tiếp c EI // AB (trích ĐTTS THPT 2003- 2004, tỉnh Vĩnh Phúc) 12 Cho đường tròn (O) đường kính BC Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O B), vẽ đường tròn (O') đường kính AC Đường tròn qua trung điểm M đoạn thẳng AB vuông góc với AB cắt đường tròn (O) D E Gọi F giao điểm thứ hai CD với đường tròn (O'), K giao điểm thứ hai CE với đường tròn (O') Chứng minh: a Tứ giác ADBE hình thoi b AF // BD c Ba ®iĨm E, A, F thẳng hàng d Bốn điểm M, F, C E thuộc đường tròn e Ba đường thẳng CM, DK, EF đồng quy (trích ĐTTS THPT 2004- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc) 13 Từ điểm P nằm đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM PN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Đường thẳng qua điểm P cắt đường tròn (O) hai điểm E F Đường thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gọi H trung điểm đoạn EF Chứng minh rằng: a Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn b Các điểm P, N, O, H nằm đường tròn c Tam giác PQO cân d PM2 = PE.PF e PHM PHN (trÝch §TTS THPT 2004- 2005, tØnh VÜnh Phóc) 14 Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính AB Trên tiếp tuyến đường tròn O A lấy điểm M (M không trùng với A) Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm M D; tia MC nằm tia MA tia MO) tiếp tuyến thứ hai MI (I tiếp điểm) với đường tròn (O) Đường thẳng BC BD cắt đường thẳng OM tai E F Chứng minh: a Bốn điểm A, M, I O nằm đường tròn b IAB AMO c O trung điểm FE Giỏo Viờn: Li Vn Long DeThiMau.vn Giáo Viên: Lại Văn Long Trường Thpt Lê hoàn (trÝch §TTS THPT 2005- 2006, tØnh VÜnh Phóc) 15 Cho tam giác vuông ABC ( A 900 ; AB > AC) điểm M nằm đoạn AC (M không trùng với A C) Gọi N D giao điểm thứ hai BC MB với đương tròn đường kính MC; gọi S giao điểm thứ hai AD với đường tròn ®êng kÝnh MC; T lµ giao ®iĨm cđa MN vµ AB Chứng minh: a Bốn điểm A, M, N B thuộc đường tròn b CM phân gi¸c cđa gãc BCS c TA TC TD TB (trÝch §TTS THPT 2005- 2006, tØnh VÜnh Phóc) 16 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thc cung lín MN, cho C kh«ng trïng với M, N B Nối AC cắt MN E a Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b Chứng minh AME đồng dạng với ACM AM2 = AE.AC c Chứng minh AE.AC AI.IB = AI2 d HÃy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ (trích ĐTTN THCS Hà Nội 2002- 2003) 17 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E nửa đường tròn đường kính CH cắt AC F Chứng minh rằng: a Tứ giác àEH hình chữ nhật b EF tiếp tuyến chung hai đường tròn đường kính BH CH c Tứ giác BCFE nội tiếp (trích ĐTTN THCS tỉnh Bắc Giang 2002- 2003) 18 Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K a Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đường tròn b Chứng minh KN.KC = KH.KO c Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN d Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác Cè nhỏ (trích ĐTTN THCS Hµ Néi 2003- 2004) Giáo Viên: Lại Văn Long DeThiMau.vn Giáo Viên: Lại Văn Long Trường Thpt Lê hoàn 19 Trên đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy hai ®iĨm M, E theo thø tù A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM cắt BE C; AE cắt BM D a Chứng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vuông góc với AB b Gọi H giao điểm CD AB Chứng minh BE.BC = BH.BA c Chứng minh tiếp tuyến M E đường tròn (O) cắt điểm nằm đường thẳng CD d Cho biết BAM 450 vµ BAE 300 TÝnh diƯn tÝch tam giác ABC theo R (trích ĐTTN THCS TP HCM 2003- 2004) 20 Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đường tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA; tia đói tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H a Chứng minh: BMD = BAC , từ suy tứ giác AMHK néi tiÕp b Chøng minh: HK // CD c Chứng minh: OK.OS = R2 (trích ĐTTS THPT tỉnh Bắc Giang 2003- 2004) 21 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Đường tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) điểm M; ®êng tiÕp tun víi (O) vÏ tõ A c¾t (O') N Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài P a Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành b Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' nằm đường tròn c Chứng minh rằng: BP = BA (trích ĐTTS THPT NK Trần Phú, Hải Phòng 2003- 2004) 22 Cho đường tròn (O; R) dây cung BC = R A điểm cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC, tia BH cắt AC E, tia CH cắt AB F a Gọi I trung điểm đoạn thẳng AH, D trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh đường thẳng ID đường trung trực đoạn thẳng EF b Tính đọ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF theo R c Xác định điểm Q thuộc đoạn thẳng BC cho BQ = CQ (trích ĐTTS THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Tây 2003- 2004) 23 Cho tam giác ABC vuông A có AB > AC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F a Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhËt b Chøng minh AE.AB = AF.AC c Chøng minh BEFC tứ giác nội tiếp Giỏo Viờn: Li Vn Long DeThiMau.vn Giáo Viên: Lại Văn Long Trường Thpt Lê hon 24 Cho đường tròn tâm O dây AB, M điểm chuyển động đường tròn, từ M kẻ MH vuông góc với AB (H AB), gọi E F hình chiếu vuông góc H MA MB Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt dây Ab D a Chứng minh đường thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đường tròn b Chứng minh: MA2 AH AD MB BD BH (trích ĐTTS THPT Nguyễn TrÃi, Hải Dương 2003- 2004) 25 Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đường thẳng CE đường thẳng DF cắt I a Chứng minh IA vuông góc với CD b Chúng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp c Chứng minh đường thẳng AB qua trung ®iĨm cđa EF (trÝch ®Ị thi tun sinh THPT tØnh Hải Dương, năm 2003 - 2004) 26 Cho tam giác vuông ABC ( A = 900) Từ B dựng đoạn thẳng BD phía tam giác ABC cho BC = BD vµ ABC = CBD; gäi I trung điểm CD; AI cắt BC E a Chøng minh CAI = DBI b Chứng minh ABE tam giác cân c Chứng minh AB.CD = BC.AE (trÝch ®Ị thi tun sinh THPT tØnh Hải Dương, năm 2004 - 2005) 27 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có đường cao AH trung tuyến AM Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB điểm D, cắt AC điểm E (D E khác điểm A) a Chứng minh D, H, E thẳng hàng b Chứng minh MAE ADE vµ MA DE c Chøng minh ®iĨm B, C, D, E cïng thc mét ®êng tròn tâm O Tứ giác AMOH hình gì? d Cho ACB 300 vµ AH = a TÝnh diện tích tam giác HEC theo a (trích ĐTTS THPT Chuyªn Lª Hång Phong, TP HCM 2003- 2004) 28 Cho tam giác ABC Phân giác AD góc A cắt đường tròn ngoại tiếp P a Chứng minh r»ng: AP.AD = AB.AC vµ PD.PA = PB2 b Gäi I tâm đường tròn nội tiếp, J tâm đường tròn bàng tiếp góc A (J giao điểm AD phân giác góc B C) Chứng tỏ bốn điểm B, I, C, J nằm đường tròn c Chứng minh rằng: AI.AJ = AB.AC 29 Một hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Một điểm M di động cung ADC ; MB cắt AC ë P Giáo Viên: Lại Văn Long DeThiMau.vn Giáo Viên: Lại Văn Long Trường Thpt Lê hoàn a Chøng minh MB phân giác góc AMC; tam giác MBC, MAP đồng dạng b.Các tam giác MBC MAP M vị trí đặc biệt M' HÃy xác định M' c Tia M'B cắt AC P' Tính góc tam giác M'P'C 30 Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Gi¶ sư BAM BCA a Chøng minh hai tam giác ABM CBA đồng dạng b Chøng minh hƯ thøc: BC2 = 2AB2 So s¸nh BC đường chéo hình vuông cạnh AB c Chứng tỏ BA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC d Đường thẳng qua C song song với MA cắt đưòng thẳng AB D Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC 31 Cho đường tròn tâm O, bán kính R hai đường kính vuông góc AB CD Trên AO lấy điểm E mà OE = AO, CE c¾t (O) ë M a TÝnh CE theo R b Chøng minh tø gi¸c MEOD néi tiÕp đựơc Xác định tâm bán kính đường tròn ngoại tiÕp tø gi¸c c Chøng minh hai tam gi¸c CEO CDM đồng dạng Tính độ dài đường cao MH tam giác CDM 32 Cho đoạn thẳng AD cố định có độ dài a (a số dương), I trung điểm a AD; tia Ix vuông góc với AD Một đường tròn bán kính R, R tiÕp xóc víi 2 AD A cắt Ix B, C (B nằm I C) a Chứng minh tam giác BID đồng dạng với tam giác AIC tích IB.IC không đổi b Chứng minh B trực tâm tam giác ADC; Tìm trực tâm tam giác ABC Có nhận xét trực tâm tam giác ABC? c Nối BD cắt đường tròn (O) D' Chứng minh tam giác CDD' ADD' cân (trích ĐTTS THPT 1996- 1997, tØnh VÜnh Phóc) 33 Tõ mét ®iĨm A đường tròn(O), ta kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC, M B; M C Tõ M hạ đường vuông góc MI, MH, MK tương øng xng BC, AC, AB Gäi P lµ giao cđa MB vµ IK; Q lµ giao cđa MC vµ IH a Chøng minh c¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp đường tròn b Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc KMH c Chứng minh PQ // BC (trÝch §TTS THPT 1996- 1997, tØnh Vĩnh Phúc) 34 Cho đường tròn (O), bán kính R Một đường thẳng d cắt đường tròn hai điểm A B Từ điểm M d (M nằm hình tròn) kẻ tiếp tuyến MP, MQ tới đường tròn (O) Giỏo Viờn: Li Vn Long DeThiMau.vn Giáo Viên: Lại Văn Long Trường Thpt Lê hoàn a Chứng minh QMO QPO M di động d (M nằm hình tròn) đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua điểm cố định b Xác định vị trí M để tam giác MPQ tam giác c Với vị trí điểm M đà cho, hÃy tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác MPQ (trích ĐTTS THPT 1997- 1998, tØnh VÜnh Phóc) 35 Cho tam gi¸c ABC vuông A Trên AC lấy điểm D, dùng CE vu«ng gãc víi BD a Chøng minh tø giác ABCE nội tiếp đường tròn b Chứng minh AD.CD = ED.BD c Từ D kẻ DK vuông góc với BC Chứng minh AB, DK, EC đồng quy điểm DKE ABE (trích ĐTTS THPT 1997- 1998, tỉnh Vĩnh Phúc) 36 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B) kẻ tiếp tuyến thứ ba c¾t Ax, By theo thø tù ë C, D a Chøng minh: CD = AC + BD vµ AC.BD = R2 b Xác định vị trí điểm M ®Ĩ tø gi¸c ABDC cã diƯn tÝch nhá nhÊt c Cho biÕt R = cm, diƯn tÝch tø gi¸c ABDC 32 cm2 Tình diện tích tam giác ABM (trích ĐTTS THPT 2005- 2006, tỉnh Thái Bình) Giỏo Viờn: Lại Văn Long DeThiMau.vn ... tứ giác AIKD hình bình hành (trích ĐTTS THPT 2000- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc) Trên đường tròn (O; R), đường kÝnh AB, lÊy ®iĨm M cho MA > MB Các tiếp tuyến đường tròn (O) M B cắt điểm P; Các đường thẳng... d (M nằm hình tròn) kẻ tiếp tuyến MP, MQ tới đường tròn (O) Giỏo Viên: Lại Văn Long DeThiMau.vn Giáo Viên: Lại Văn Long Trường Thpt Lê hoàn a Chøng minh QMO QPO M di động d (M nằm hình tròn)... tròn (O) M B cắt điểm P; Các đường thẳng AB, MP cắt điểm Q; Các đường thẳng AM, OM cắt đường thẳng BP điểm R, S a Chứng minh tứ giác AMPO hình thang b Chứng minh MB // SQ (trích ĐTTS THPT 2001- 2002,